Dívám se na model BEKK Multivariate GARCH.
Ve standardním modelu GARCH obecně očekáváme,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Koeficient alfa ( $ \ alpha $ ) musí být podstatně menší než beta ( $ \ beta $ ), viz například Verbeeks „Průvodce kapitolou moderní ekonometrie o GARCHU“ s přibližně 0,1 alfa a 0,8 beta.
Nyní přecházím do prostředí s více proměnnými, na BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
tj MV-ARCH (1),
Znal by někdo vhodné parametry pro matici $ A_ {ij} $ s odkazem? A také BEKK (1,1) s výrazem GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Potřebuji vhodné hodnoty parametrů (jako v tom, co bychom očekávali) pro A a B . Chápu, že se to mezi datovými soubory podstatně změní atd. Ale obecně nějaké hodnoty, které bychom mohli očekávat?
Odpověď
Bohužel existují žádné přímé kontroly u $ a_ {ij} $ „sa $ b_ {ij} $ “ Koeficienty v případě BEKK, jako $ \ alpha + \ beta < 1 $ zajišťují stacionárnost a slabou časovou závislost v GARCHU (1,1) případ. Podmínky jsou v případě BEKK trochu komplikovanější.
Proces je stacionární a slabě časově závislý (v tom smyslu, že jde o geometricky ergodický Harrisův opakující se Markovův řetězec), pokud jsou všechny vlastní hodnoty $ k ^ 2 \ krát k ^ 2 $ matice $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ jsou méně než 1 a $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ je jednoznačně pozitivní, ale to bude vždy případ $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , protože je konstrukčně pozitivní. $ \ otimes $ označuje produkt Kronecker .
Věta 2 v Comte a Lieberman (2003) tvrdí, že tato podmínka zajišťuje konzistenci odhadu maximální pravděpodobnosti, a pokud dále předpokládáme, že proces má konečný moment šestého řádu, je $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , pak věta 3 v Hafner a Preminger (2009) stanoví asymptotickou normálnost MLE.
Podle mých znalostí literatura neposkytuje žádná přímá omezení parametrů, což zajišťuje konečné momenty šestého řádu procesu BEKK. Věta C.1 v příloze Pedersen a Rahbek (2014) poskytují dostatečné podmínky pro ARCH verzi Gaussova procesu BEKK ( $ B_ {11} = 0 $ ), mít $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Tato podmínka spočívá v tom, že všechna vlastní čísla $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ by měla být menší než $ 15 ^ {- 1/3} \ přibližně 0,4055 $ .
- F. Comte a O. Lieberman. Asymptotická teorie pro vícerozměrné procesy GARCH. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner a A. Preminger. O asymptotické teorii pro vícerozměrné modely GARCH. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen a A. Rahbek. Multivariační varianční cílení v modelu bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Komentáře
- Nejste si jisti, zda se to týká konkrétní formy BEKK zde studované, ale McAleer " Co vám neřekli o algebraické (ne) existenci, matematické (ne) pravidelnosti a (ne) asymptotických vlastnostech plné BEKK dynamické podmíněné kovarianční model " (2019) ukazuje, že BEKK nemusí existovat, s výjimkou restriktivních podmínek, čímž vytahuje koberec z méně než 4500 článků, které citují BEKK.
- @Duffau skvělá odpověď, ale máte nějaké představy o tom, jaký by měl být rozdíl mezi A a B?
- Díky @FrancisOrigi! Pamatujte tedy, že A a B jsou matice, takže neexistuje jasná představa " mezery ". V dynamických systémech, kde je proces definován maticemi, stabilita systému často určuje nějaký druh vlastního čísla. Stejně jako u BEKK se stabilita (stacionarita a slabá závislost) řídí vlastními hodnotami transformovaných matic, které jsem popsal výše. Pokud se chcete dozvědět více, podívám se na lineární vektorové autoregrese, jsou to nejjednodušší typ s vícerozměrnou dynamikou. Jsou ekvivalentem AR modelů v univariantním světě.