Tato otázka již má odpověď zde :
Komentáře
- Máte máte o tom nějaké myšlenky? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ by bylo špatné – zvažte téměř jistě konstantní nenulovou hodnotu $ X $
- Žádný pane. Vím, že Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 a E (XY) = E (X) E (Y), protože X, Y jsou nezávislé, ale o X nic netuší ^ 2 a Y ^ 2 jsou nezávislé nebo ne.
- Pokud jsou $ X $ a $ Y $ nezávislé, pak jsou také nezávislé $ X ^ 2 $ a $ Y ^ 2 $ a $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Obecný případ produktu zde: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (produkt 2 je uveden v otázce)
- Moc děkuji Glen_b
Odpověď
Chcete-li se k odpovědi dostat, můžete sledovat Henryho komentáře. Další možností, jak přijít k odpovědi, je použít skutečnost, že pokud $ X $ a $ Y $ jsou nezávislé, pak $ Y | X = Y $ a $ X | Y = X $ .
Podle opakovaných očekávání a odchylek výrazů
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Komentáře
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ může být správný, ale je podivně nesymetrický jako $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ bude. Myslel bych, že $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ by bylo přirozenější, zatímco $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ by také bylo pravdivé
- @Henry Well, pomocí $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $ dostaneme $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. To ' je symetrické.