Vzorek náhodného procesu je uveden jako:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
kde $ w (t) $ je proces bílého šumu se střední hodnotou $ 0 $ a výkonovou spektrální hustotou $ \ frac {N_0} {2 } $ a $ f_0 $, $ A $ a $ B $ jsou konstanty. Najděte funkci automatické korelace.
Zde je můj pokus o řešení:
Nechte $ a = 2 \ pi f_0t $ a $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {autokorelace} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ doprava) \ doprava \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Očekávané termíny s hlukem v nich se rovnají $ 0 $ (poslední je pouze automatická korelace bílého šumu … tedy zjednodušení výše. Použití trigonometrických identit: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
máme:
\ begin {align} \ text {Autokorelace} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ vpravo) + B ^ 2 \ vlevo (\ frac {N_0} {2} \ vpravo) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Máme co do činění s konstantními podmínkami, takže očekávaný termín zmizí a v počátečních podmínkách získáme: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ left [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$
Z nějakého důvodu si nemohu pomoct, ale cítím, že jsem udělal něco nesprávně při výpočtu té autokorelace … má to být funkce $ \ tau $, ale má a $ Je tam $ … Velmi bych ocenil, kdyby mě někdo dokázal nasměrovat správným směrem nebo vysvětlit, co jsem pokazil. Nevím, zda na tom záleží, ale v této třídě se zabýváme pouze stacionárními procesy širokého smyslu.
Komentáře
- Pokud nejste ujistěte se, že náhodný proces $ x (t) $ je WSS, neměli byste očekávat, že jeho ACF bude funkcí samotného $ \ tau $. Proto se zdá správné zahrnout zde časové podmínky $ t $. Ale myslím si, že kosinový výraz uvnitř $ x (t) $ může zahrnovat buď náhodnou amplitudu, nebo náhodnou fázi, kterou zapomenete psát, pak můžete mít šanci se zbavit časového prvku $ t $, pokud si přejete tolik takže …
- Proces $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ je cyclostationary proces (splňuje požadavky stacionárnosti pro ty časové posuny, které jsou násobky $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) a vůbec ne proces WSS. Všimněte si například, že ani průměrná funkce $ E [x (t)] $ není konstanta, jak by měla být pro proces WSS. Jak říká @ Fat32 (+1), možná jste zapomněli zahrnout náhodnou fázi $ \ Theta $ do své definice $ x (t) $ (potřebná vlastnost pro WS stacionaritu je, že $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $, které platí pro $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ nebo $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ za $ n = 0,1,2,3 $).
Odpověď
Myslím, že vy „Udělal jsem téměř všechno správně, ale mám problém s výpočtem očekávané hodnoty týkající se $ t $. Měli byste vypočítat očekávanou hodnotu kosinové funkce. Bohužel to jednoduše“ nezmizí „, jak jste napsali.
Podívejte se na stránku Wikipedie . Zde najdete další, explicitnější vzorec pro funkci automatické korelace funkce $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Všimněte si, že ve srovnání se stránkou Wikipedie jsem si dovolil použít v integraci proměnnou $ t $ místo $ u $, whi ch by byla matematicky přesnější verze.)
Jak můžete vidět z této rovnice, „integrujete pryč“ závislost na t a ve skutečnosti by vám měla zůstat funkce nezávislá na $ t $.
Všimněte si, že existuje také verze, která nepřechází do nekonečna, ale je omezena na období $ T $. Možná je ve vašem případě tato verze vhodnější.To samé však platí i pro tuto verzi: $ t $ je integrováno pryč a nemělo by být proměnnou ve výsledném vzorci.
Komentáře
- Vy míchají dva různé pojmy, když píšete “ Jak můžete vidět z této rovnice, “ integrujete pryč “ závislost na $ t $, a skutečně by vám měla zůstat funkce nezávislá na $ t $ “
- můžete také vezměte vzorec ze stránky Wikipedie bez $ t $ a napište $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Důležité je zde v obou případech, že argument funkce $ f $ je ta je integrován přes – proto již nemáte $ t $ v konečném výsledku, ale pouze $ \ tau $.
- @Dilip Můžete se také podívat zde ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – toto je v podstatě první výsledek po jednoduchém vyhledávání na google. Tam na straně 22-2 (strana 3 v PDF) je příklad funkce autokorelace, která byla vypočítána tímto vzorcem a je nezávislá na $ t $. Na předchozí stránce také najdete matematicky ne tak dobrý integrální notaci.
- Zdaleka není na mně, abych zpochybňoval platnost vzorce, který podle vás najdete, na Wikipedii nebo se vyučuje v online kurzu MIT, ale zdá se mi, že v \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {zarovnat}, že druhý integrál na druhém řádku (jehož integrand je konstantní hodnota wrt $ t $) se rozchází, pokud $ \ tau $ nemá hodnotu takovou, že $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Máte pravdu, tento integrál se rozchází. Ani první integrál nemá smysl, protože se nesbližuje. Z tohoto důvodu je v mé odpovědi poslední odstavec.