Otázka, kterou jsem dostal, je:
Atomy stříbra v kovové mřížce vyplňují pouze $ 88 \, \% $ prostoru ($ 12 \, \% $ je prázdné). Hustota stříbra je 10,5 $ \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Za předpokladu, že atomy stříbra jsou tvrdé koule ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, když $ r $ je atomový poloměr), jaký je poloměr atomu stříbra? Odpověď dejte v jednotkách $ 10 ^ {- 12} $ metrů.
Atomová hmotnost $ \ ce {Ag} $ je 107,8682.
Moje řešení:
$$ V = 0,88 \ krát V $$
$$ V = \ frac {0,88 \ times10,5 \ times6,022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5,158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Pak jsem přešel na $ 10 ^ {12} $ metrů, výsledek byl $ 4,953 \ times10 ^ {17 } $ a není to správné. Co dělám špatně?
Komentáře
- Přidal jsem ' informace o atomové hmotnosti z $ \ ce {Ag} $ ve snaze objasnit vám a ostatním, jaké informace ' budete potřebovat, abyste problém vyřešili.
- ve skutečnosti Ag krystalizuje v FCC a koule zaplňují $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ přibližně 0,74048 $$
odpověď
Pokud byste do výpočtu zahrnuli jednotky, všimli byste si, proč není vaše rovnice správná.
Molární hmotnost $ M $ je definováno jako $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ , kde $ m $ je hmotnost a $ n $ je množství látky.
Protože konstanta Avogadro $ N_ \ mathrm A $ je $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ , kde $ N $ je počet částic, hmotnost $ m $ jednoho atomu $ (N = 1) $ je $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Hustota $ \ rho $ je definováno jako $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ , kde $ V $ je objem.
Objem vzorku je tedy $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ pomocí rovnice $ \ text {(3)} $ , objem $ V $ lze vypočítat pro jeden atom: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Za předpokladu, že zlomek $ 88 \, \% $ ze svazku $ V $ je naplněn tvrdou koulí, svazek $ V_ \ text {sphere} $ koule je $$ \ begin {align} V_ \ text {sphere} & = 0,88 \ krát V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Protože objem koule je $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ , kde $ r $ je poloměr koule, poloměr $ r $ je $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sphere}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0,88 \ krát 107,86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ krát 6,02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ krát 10,5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$