Zachování 4-hybnosti ve speciální relativitě

Chápu, že vnitřní produkt dvou 4 vektorů je zachován pod Lorentzovými transformacemi

Ano, $ p_1.p_2 $ je Lorentzův invariant

Takže absolutní hodnota čtyř hybnosti je stejný v libovolném referenčním rámci.

Je to Není správné mluvit o „absolutní hodnotě“ vektoru (quadri). Při Lorentzově transformaci se zachovává $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

To je to, co (s největší pravděpodobností mylně) myšlenka byla míněna zachováním hybnosti.

Ne, zachování hybnosti je úplně jiná věc. Nakonec máte nějakou teorii popisující pole a interakce, popisující akci, která je invariantní některými symetriemi. Pokud je akce invariantní překlady prostoru a času, pak existuje konzervovaná veličina, která je hybnost / energie.

Nerozumím, proč rovnice jako P 1 = P 2 + P 3 (P i jsou 4-momentové vektory pro různé částice při kolizi například) by měl držet v rámci referenčního snímku. „Bylo mi řečeno, že při srážce částic nemůžete přidat jen čtyři rychlosti dohromady, tak proč byste to měli dělat s vektory hybnosti?

Pokud je teoretická akce invariantní překlady prostor / čas, pak je hybnost / energie zachována, takže celková hybnost / energie počátečních částic je stejná jako celková hybnost / energie konečných částic:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Pokud existuje několik počátečních částic, považují se za nezávislé (globální stav je tenzorovým součinem stavů počátečních částic). Nezávislost znamená, že mít:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$, kde je součet abou t všechny počáteční částice. Podobná rovnice platí pro konečné částice.

Pokud ve speciální relativitě přidáte dvě rychlosti, musíte použít vzorec

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Takže nemůžete jednoduše přidat dvě rychlosti dohromady. Rychlost obvykle není dobrá proměnná, se kterou se pracuje ve speciální relativitě. Je mnohem snazší použít zachování čtyř hybnosti, což je jednoduše dáno

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

pro srážku částic, kde dvě částice s $ p_1 $ a $ p_2 $ se srazí a pak se spojí a mají hybnost $ p $. Protože hybnost čtyř je dána

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

zachování čtyř hybnosti není nic jiného než zachování energie $ E $ a zachování tří hybnosti $ \ vec {p} $.

Odpovědi na vaše otázky:

Proč může při srážce částic přidáváme čtyři hybnosti? Protože zachování energie a hybnosti platí také v relativitě.

Proč can „t přidáme při srážce částic čtyři rychlosti? Protože neexistuje nic jako „zachování rychlosti“, ani klasicky, ani v relativitě.

Komentáře

• Tato odpověď byla skvělá. Mám objasňující otázku – bude $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ invariantní, tedy $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Každou komponentu můžete jednoduše ověřit a jsou pouze ochranou hybnosti ve 3 hybnosti. Neexistuje žádná rychlostní ochrana, takže je nelze sečíst.