En muchos lugares de la física estadística usamos la función de partición . Para mí, las explicaciones de su uso son claras, pero me pregunto cuál es su significado físico. ¿Alguien puede explicar con un buen ejemplo sin demasiadas complicaciones matemáticas?
Comentarios
- Además de ser un factor de normalización, muchas de sus características importantes para Los cálculos surgen de su semejanza con Z y transformadas de Laplace, gracias a la distribución de Boltzmann exponencial con energía, que es una especie de " co-indidencia " porque no ' no funcionarían con una distribución diferente.
- ¿Leíste el " que significa sección " en el artículo de Wikipedia ? En caso afirmativo, ¿qué ' no te satisface acerca de "? Codifica cómo se dividen las probabilidades entre los diferentes microestados " ?
- Posible duplicado de La efectividad irrazonable de la función de partición
Respuesta
La función de partición es una medida del volumen ocupado por el sistema en el espacio de fase. Básicamente, le dice cuántos microestados son accesibles para su sistema en un conjunto dado. Esto se puede ver fácilmente a partir del conjunto microcanónico .
En el conjunto microcanónico, donde cada microestado con energía entre $ E $ y $ E + \ Delta E $ es igualmente probable, la función de partición es
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
donde la integral es solo el hipervolumen de la región del espacio de fase donde la energía (hamiltoniana) $ \ mathcal H $ del sistema está entre $ E $ y $ E + \ Delta E $, normalizado por $ h ^ {3N} $ para hacerlo adimensional. El factor $ N! ^ {- 1} $ toma en cuenta el hecho de que al intercambiar la «etiqueta» en dos partículas el microestado no cambia.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
le dice que la entropía es proporcional a el logaritmo del número total de microestados correspondientes al macroestado de su sistema, y este número es solo $ Z_ {mc} $.
En los conjuntos canónicos y gran canónicos, el significado de la función de partición permanece lo mismo, pero como la energía ya no está fija, la expresión va a cambiar.
La función de partición canónica es
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {¡NORTE! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
En este caso, integramos todo el espacio de fase, pero asignamos a cada punto $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a peso $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, donde $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, de modo que aquellos estados con energía mucho más alta que $ k_B T $ son menos probables. En este caso, la conexión con la termodinámica viene dada por
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
donde $ F $ es la energía libre de Helmholtz .
La función de partición gran canónica es
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ etiqueta {5} $$
donde esta vez también estamos sumando todos los valores posibles del número de partículas $ N $, ponderando cada término por $ \ exp (\ beta \ mu N) $, donde $ \ mu $ es el potencial químico .
La conexión con la termodinámica viene dada por
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Responder
Es «s $ e ^ {- F / T} $, donde $ F / T $ es la energía libre normalizada por la escala de energía termodinámica relevante, la temperatura. La exponencial es solo una reparametrización monótona, por lo que moralmente hablando, la función de partición es solo la energía libre que está disponible para hacer un trabajo útil.
Otra interpretación: si usted lo normaliza de modo que $ E = 0 $ es el estado fundamental, luego, en términos generales, es el recíproco de la «fracción del sistema que» está en el estado fundamental «. De manera extremadamente heurística, sea $ g $ la cantidad total del sistema que «está en el estado fundamental, $ e $ la cantidad total del sistema que» está en un estado salido, y $ s = g + e $ monto total del sistema. Entonces $ g / s $ es la fracción del sistema que está en el estado fundamental, y su recíproco es $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. El peso de Boltzmann da que el el peso relativo (o «cantidad») de cada estado excitado $ i $ con energía $ E_i $ relativo al peso del estado fundamental es $ e ^ {- \ beta E_i} $.Sumando todos los estados excitados $ i $, obtenemos la función de partición $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Respuesta
El significado físico de la función de partición es el siguiente: Expresa el número de estados térmicamente accesibles que un sistema proporciona a los portadores (por ejemplo, electrones).