¿Cuál es la definición de distribución simétrica? Alguien me dijo que una variable aleatoria $ X $ provenía de una distribución simétrica si y solo si $ X $ y $ -X $ tiene la misma distribución. Pero creo que esta definición es parcialmente cierta. Porque puedo presentar un contraejemplo $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ y $ \ mu \ neq0 $. Obviamente, tiene una distribución simétrica, ¡pero $ X $ y $ -X $ tienen una distribución diferente! ¿Estoy en lo cierto? ¿Alguna vez pensaron en esta pregunta? ¿Cuál es la definición exacta de distribución simétrica?
Comentarios
- Cuando dices, una » distribución es simétrica «, tienes que especificar con respecto a qué punto es simétrico. En el caso de la distribución normal que presenta, la simetría se da alrededor de $ \ mu $. En este caso $ X- \ mu $ y $ – (X- \ mu) $ tienen la misma distribución. En términos de densidad, esto se puede expresar como: $ f $ es simétrico alrededor de $ \ mu $ si $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. Por cierto, es de buena educación aceptar las respuestas cuando está satisfecho con una de ellas.
- Sí, hemos pensado en esta pregunta. Simétrico generalmente significa simétrico alrededor de $ 0 $ y, para evitar más contraejemplos, la afirmación de que distribuciones son simétricas no es algo que sea cierto acerca de la función de distribución de probabilidad acumulativa . Su » contraejemplo » tiene simetría sobre el punto $ \ mu \ neq 0 $, no sobre el punto $ 0 $.
- @Dilip Cuando una definición depende de una forma de describir algo, pero se puede demostrar que esa definición es una propiedad intrínseca de ese algo, entonces no tiene sentido aplicar la definición a un diferente forma de descripción. En este caso, la simetría es una propiedad de una distribución , pero eso no implica que todas las descripciones de esa distribución (incluidos PDF y CDF) deban ser » simétrico » de la misma manera. Al aplicar la simetría del PDF al CDF, su comentario confunde la pregunta en lugar de aclararla.
- shijing, @Procrastinator ha observado que ha hecho muchas preguntas sin aceptar ninguna respuesta. Eso sugiere que es posible que no esté familiarizado con el funcionamiento de este sitio. Para aclarar cualquier malentendido, ¿podría leer la parte relevante de nuestras preguntas frecuentes hasta el final ? Solo le tomará un par de minutos y seguir sus instrucciones mejorará el valor de nuestro sitio para usted.
- @whuber El CDF es una de las pocas descripciones en las que la palabra distribución realmente ocurre en el nombre, y estaba tratando de aclarar que la propiedad de simetría no era válida para la CDF.
Respuesta
Brevemente: $ X $ es simétrico cuando $ X $ y $ 2aX $ tienen la misma distribución para algún número real $ a $. Pero llegar a esto de una manera totalmente justificada requiere algunas digresiones y generalizaciones, porque plantea muchas preguntas implícitas: ¿por qué esta definición de» simétrico «? ¿Puede haber otros tipos de simetrías? ¿Cuál es la relación entre una distribución y sus simetrías y, a la inversa, cuál es la relación entre una «simetría» y aquellas distribuciones que podrían tener esa simetría?
Las simetrías en cuestión son reflejos de la línea real. Todos tienen la forma
$$ x \ to 2a-x $$
para un $ a $ constante.
Entonces, suponga que $ X $ tiene esta simetría por al menos un $ a $. Entonces la simetría implica
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
mostrando que $ a $ es una mediana de $ X $. De manera similar, si $ X $ tiene una expectativa, inmediatamente se deduce que $ a = E [X] $. Por lo tanto, generalmente podemos precisar $ a $ fácilmente. Incluso si no, $ a $ (y, por lo tanto, la simetría en sí) todavía está determinada de forma única (si es que existe).
Para ver esto, sea $ b $ cualquier centro de simetría. Luego, aplicando ambas simetrías, vemos que $ X $ es invariante bajo la traslación $ x \ a x + 2 (b-a) $. Si $ b-a \ ne 0 $, la distribución de $ X $ debe tener un período de $ b-a $, lo cual es imposible porque la probabilidad total de una distribución periódica es $ 0 $ o infinita. Por lo tanto, $ ba = 0 $, lo que muestra que $ a $ es único.
De manera más general, cuando $ G $ es un grupo que actúa fielmente en la línea real (y por extensión en todos sus subconjuntos de Borel), podríamos decir que una distribución $ X $ es «simétrica» (con respecto a $ G $) cuando
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
para todos los conjuntos medibles $ E $ y elementos $ g \ en G $, donde $ E ^ g $ denota la imagen de $ E $ bajo la acción de $ g $.
Como ejemplo, deje que $ G $ siga siendo un grupo del pedido $ 2 $, pero ahora deje que su acción sea tomar el recíproco de un número real (y dejar que fije $ 0 $). La distribución estándar lognormal es simétrica con respecto a este grupo. Este ejemplo puede entenderse como una instancia de una simetría de reflexión en la que ha tenido lugar una reexpresión no lineal de las coordenadas. Esto sugiere enfocarse en transformaciones que respeten la «estructura» de la línea real. La estructura esencial para la probabilidad debe estar relacionada con los conjuntos de Borel y la medida de Lebesgue, los cuales pueden definirse en términos de distancia (euclidiana) entre dos puntos.
Una distancia que preserva map es, por definición, una isometría . Es bien sabido (y fácil, aunque un poco complicado, demostrar) que todas las isometrías de la línea real son generadas por reflejos. Por lo tanto, cuando se entiende que «simétrico» significa simétrico con respecto a algún grupo de isometrías , el grupo debe ser generado por como máximo una reflexión y hemos visto que la reflexión está determinada únicamente por cualquier distribución simétrica con respecto a él. En este sentido, el análisis anterior es exhaustivo y justifica la terminología habitual de distribuciones «simétricas».
Por cierto, una gran cantidad de ejemplos multivariados de distribuciones invariantes bajo grupos de isometrías se obtiene considerando distribuciones «esféricas». Estos son invariantes en todas las rotaciones (en relación con algún centro fijo). Estos generalizan el caso unidimensional: las «rotaciones» de la línea real son solo los reflejos.
Finalmente, vale la pena señalar que una construcción estándar, promediando sobre el grupo, da una forma para producir cargas de distribuciones simétricas. En el caso de la línea real, dejemos que $ G $ se genere mediante la reflexión sobre un punto $ a $, de modo que conste del elemento identidad $ e $ y esta reflexión, $ g $. Sea $ X $ cualquier distribución. Defina la distribución $ Y $ configurando
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
para todos los conjuntos de Borel $ E $. Esto es manifiestamente simétrico y es fácil comprobar que sigue siendo una distribución (todas las probabilidades siguen siendo no negativas y la probabilidad total es $ 1 $).
Ilustrando el proceso de promediado de grupo, el PDF de una distribución Gamma simétrizada (centrada en $ a = 2 $) se muestra en oro. La Gamma original está en azul y su reflejo en rojo.
Comentarios
- (+1) Me gustaría agregar que, en la configuración multivariante, la definición de simetría no es único. En este libro hay 8 posibles definiciones de distribuciones simétricas multivariadas.
- @Procrastinator I ‘ Tengo curiosidad por saber qué quieres decir con » no único. » AFAIK, cualquier cosa que justifique el nombre » simetría » se refiere en última instancia a una acción de grupo en un espacio. Sería interesante para ver qué diferentes tipos de acciones han encontrado útiles los estadísticos. Debido a que ese libro está agotado y no está disponible en la Web, ¿podría dar un ejemplo rápido de dos tipos de simetría realmente diferentes considerados en ese libro?
- Su intuición es correcta, esto está relacionado con características estadísticas : Simetría central $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Simetría esférica $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ para todas las matrices ortogonales $ {\ bf O} $. No puedo recordar el resto, pero intentaré tomar prestado el libro en estos días. En este enlace puedes encontrar algunos de ellos.
- @Procrastinator Gracias. Tenga en cuenta que los dos ejemplos que ofrece son casos especiales de la definición general que he proporcionado: la simetría central genera un grupo de isometrías de dos elementos y las simetrías esféricas también son un subgrupo de todas las isometrías. La » simetría elíptica » en el enlace es una simetría esférica después de una transformación afín, por lo que ejemplifica el fenómeno que señalé con el lognormal ejemplo. Las » simetrías angulares » forman de nuevo un grupo de isometrías. La » simetría de medio espacio » [sic] no es una simetría, pero permite salidas discretas de ella: que ‘ s nuevo.
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La respuesta dependerá de lo que quieras decir con simetría. En física, la noción de simetría es fundamental y se ha generalizado mucho. La simetría es cualquier operación que deja el sistema sin cambios.En el caso de una distribución de probabilidad, esto podría traducirse a cualquier operación $ X \ a X «$ que devuelva la misma probabilidad $ P (X) = P (X») $.
En el caso simple del primer ejemplo, se está refiriendo a la simetría de reflexión sobre el máximo. Si la distribución fuera sinusoidal, entonces podría tener la condición $ X \ a X + \ lambda $, donde $ \ lambda $ es la longitud de onda o el período. Entonces $ P (X) = P (X + \ lambda) $ y todavía encajaría en una definición más general de simetría.