Ableitung der reduzierten Masse [Duplikat]

Das Zweikörpersystem kann einfacher mit reduzierter Masse analysiert werden, da sich das Problem im Grunde auf einen einzelnen Körper reduziert. Die erste Annäherung kann erhalten werden, indem angenommen wird, dass m1 >> m2, wie der Planet, der den Stern umkreist, weil der Schwerpunkt mit m1 zusammenfällt. Somit kann angenommen werden, dass der schwere Körper in Ruhe ist und sich leichter um ihn herum bewegt.

Ableitung: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {sei eine Masse und Position des massiven Körpers und} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {der leichtere.} $$

$$ \ text {Es wird angenommen, dass} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Die Kraft zwischen den Massen (Schwerkraft) hängt von der Differenz der Positionsvektoren ab}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {ist die Kraft auf Körper 1 aufgrund von Körper 2} $$ In unserer Näherung nehmen wir an, dass die schwere Masse bei ist am Ursprung ruhen. Also: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Und die Bewegungsgleichung lautet: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ , das gelöst werden kann, um die Position zu erhalten.

Um eine „wahre“ Bewegung zu erhalten, stellt sich heraus, dass unsere Annäherung unter Berücksichtigung des Massenschwerpunkts (CM) (der eine Masse ist) exakt gemacht werden kann gewichteter Durchschnitt der Positionen zweier Massen in diesem Fall) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Wir werden Anrufmenge} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {reduzierte Masse} $$ $$ \ text {So}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Es kann leicht gezeigt werden, dass die externe Nettokraft auf das System gleich der ist Gesamtmasse multipliziert mit der Beschleunigung des Massenschwerpunkts. Wenn Sie nicht überzeugt sind, habe ich vor einer solchen Ableitung in diesem POST

geschrieben, da davon ausgegangen wird, dass keine externen Kräfte vorhanden sind (die Kraft der Schwerpunkt zwischen den Massen „zählt“ als innerer), der Schwerpunkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ impliziert \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Lassen Sie CM als Ursprung eines Trägheitskoordinatensystems nehmen. Die Position der beiden Massen ist also gegeben durch: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ impliziert \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ impliziert \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Since}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {wir erhalten:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ impliziert \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ impliziert \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Daher sind Bewegungsgleichungen}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W. Das ist unsere Gleichung, die wir zuvor in unserer Näherung mit reduzierter Masse erhalten haben. Beachten Sie, dass wenn m1 >> m2 reduzierte Masse fast gleich m2 ist.

Dies besteht die Bewegung des Zweikörpersystems aus seinem CM und seiner Bewegung um es herum. Die Bewegung um sie herum kann als eine einzelne, reduzierte Masse beschrieben werden, die sich um das feste Zentrum bewegt.