Beispiele aus der Praxis für gängige Verteilungen

Wikipedia hat eine Seite, auf der viele Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Links zu mehr Details zu jeder Distribution. Sie können die Liste durchsehen und den Links folgen, um ein besseres Gefühl für die Typen o zu bekommen f Anwendungen, für die die verschiedenen Verteilungen üblicherweise verwendet werden.

Denken Sie daran, dass diese Verteilungen zur Modellierung der Realität verwendet werden und wie Box sagte: „Alle Modelle sind falsch, einige Modelle sind nützlich“.

Hier sind einige der gängigen Verteilungen und einige der Gründe, warum sie nützlich sind:

Normal: Dies ist nützlich, um Mittelwerte und andere lineare Kombinationen zu betrachten (z Regressionskoeffizienten) aufgrund der CLT. Im Zusammenhang damit ist, wenn bekannt ist, dass etwas aufgrund additiver Wirkungen vieler verschiedener kleiner Ursachen entsteht, die Normalverteilung eine vernünftige Verteilung sein kann: Beispielsweise sind viele biologische Maßnahmen das Ergebnis mehrerer Gene und mehrerer Umweltfaktoren und daher häufig ungefähr normal .

Gamma: Rechts schief und nützlich für Dinge mit einem natürlichen Minimum bei 0. Wird häufig für verstrichene Zeiten und einige finanzielle Variablen verwendet.

Exponentiell: Sonderfall des Gammas. Es ist memorylos und lässt sich leicht skalieren.

Chi-Quadrat ($ \ chi ^ 2 $): Sonderfall des Gamma. Entsteht als Summe der quadratischen Normalvariablen (wird also für Varianzen verwendet).

Beta: Definiert zwischen 0 und 1 (kann aber auch zwischen anderen Werten transformiert werden), nützlich für Proportionen oder andere Größen, die zwischen liegen müssen 0 und 1.

Binomial: Wie viele „Erfolge“ aus einer bestimmten Anzahl unabhängiger Versuche mit derselben Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“.

Poisson: Häufig für Zählungen. Schöne Eigenschaften: Wenn die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitraum oder Bereich einem Poisson folgt, folgt die Anzahl in der doppelten Zeit oder dem doppelten Bereich immer noch dem Poisson (mit dem doppelten Mittelwert): Dies funktioniert zum Hinzufügen von Poissons oder zum Skalieren mit anderen Werten als 2.

Beachten Sie, dass, wenn Ereignisse im Laufe der Zeit auftreten und die Zeit zwischen den Ereignissen einem Exponential folgt, die Anzahl, die in einem Zeitraum auftritt, einem Poisson folgt.

Negatives Binomial: Zählt mit Minimum 0 (oder ein anderer Wert, abhängig von der Version) und keine Obergrenze. Konzeptionell ist es die Anzahl der „Fehler“ vor k „Erfolgen“. Das negative Binom ist auch eine Mischung aus Poisson-Variablen, deren Mittelwerte aus einer Gammaverteilung stammen.

Geometrisch: Sonderfall für das negative Binom, bei dem es sich um die Anzahl der „Fehler“ vor dem ersten „Erfolg“ handelt. Wenn Sie eine Exponentialvariable abschneiden (abrunden), um sie diskret zu machen, ist das Ergebnis geometrisch.

Kommentare

• Vielen Dank für Ihre Antwort. Wikipedia bietet jedoch eine allgemeinere Beschreibung, die mir ‚ gefallen würde. Grundsätzlich ist meine Frage, warum einige Distributionen nett sind? Um eine mögliche Antwort im Falle einer Normalverteilung zu geben, kann dies mit dem zentralen begrenzten Theorem zusammenhängen – das besagt, wenn Sie eine unendliche Anzahl von Beobachtungen abtasten, können Sie tatsächlich in Asympotik erkennen, dass eine ausreichende Statistik dieser Beobachtungen bei gegebener Unabhängigkeit eine Normalverteilung aufweist . Ich suche nach weiteren Beispielen wie diesen.
• Nicht gerade eine echte Distribution, aber was ist mit bimodal? Ich kann ‚ an keine Beispiele aus dem wirklichen Leben denken, nachdem ich festgestellt habe, dass die vielen geschlechtsspezifischen Unterschiede beim Menschen nicht bimodal sind.
• Multinomial hinzufügen

Kaufen und lesen Sie mindestens die ersten 6 Kapitel (erste 218 Seiten) von William J. Feller “ Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, Band 2 „ http://www.amazon.com/dp/0471257095/ref=rdr_ext_tmb .Lesen Sie mindestens alle Probleme zur Lösung und versuchen Sie vorzugsweise, so viele wie möglich zu lösen. Sie müssen Band 1 nicht gelesen haben, was meiner Meinung nach nicht besonders verdienstvoll ist.

Obwohl der Autor vor 45 1/2 Jahren gestorben ist, bevor das Buch überhaupt fertig war, ist dies einfach das Das beste Buch gibt es, abgesehen von keinem, um eine Intuition in Wahrscheinlichkeits- und stochastischen Prozessen zu entwickeln und ein Gefühl für verschiedene Verteilungen zu verstehen und zu entwickeln, wie sie sich auf Phänomene der realen Welt und verschiedene stochastische Phänomene beziehen, die auftreten können und auch. Und mit dem Festkörper Fundament, das Sie daraus aufbauen, Sie werden in der Statistik gut bedient sein.

Wenn Sie es durch nachfolgende Kapitel schaffen, was etwas schwieriger wird, sind Sie fast allen Lichtjahre voraus. Einfach ausgedrückt: Wenn Sie Feller Vol 2 kennen, kennen Sie die Wahrscheinlichkeit (und die stochastischen Prozesse), was bedeutet, dass Sie alles, was Sie nicht wissen, wie z. B. neue Entwicklungen, schnell erlernen und beherrschen können, indem Sie auf diesem soliden Fundament aufbauen.

Fast alles, was zuvor in diesem Thread erwähnt wurde, ist in Feller Vol 2 (nicht das gesamte Material in Kendall Advanced Theory of Statistics, aber das Lesen dieses Buches wird nach Feller Vol 2 ein Kinderspiel sein) und vieles mehr auf eine Weise, die Ihr stochastisches Denken entwickeln sollte und Intuition. Johnson und Kotz sind gut für Kleinigkeiten bei verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Feller Vol. 2 ist nützlich, um zu lernen, wie man probabilistisch denkt und was man aus Johnson und Kotz extrahiert und wie man es verwendet.

Die asymptotische Theorie führt zur Normalverteilung, den Extremwerttypen, den stabilen Gesetzen und dem Poisson. Das Exponential und das Weibull treten tendenziell als parametrische Zeit für Ereignisverteilungen auf. Beim Weibull handelt es sich um einen Extremwerttyp für das Minimum einer Stichprobe. In Bezug auf die parametrischen Modelle für normalverteilte Beobachtungen ergeben sich die Chi-Quadrat-, t- und F-Verteilungen beim Testen von Hypothesen und bei der Schätzung des Konfidenzintervalls. Zur Untersuchung der Testkraft haben wir die nichtzentralen t- und F-Verteilungen. Die hypergeometrische Verteilung ergibt sich aus Fischers genauem Test für Kontingenztabellen. Die Binomialverteilung ist wichtig, wenn Experimente zur Schätzung der Proportionen durchgeführt werden. Das negative Binomial ist eine wichtige Verteilung, um die Überdispersion in einem Punktprozess zu modellieren. Dies sollte Ihnen einen guten Einstieg in die Praxis ermöglichen parametrische Verteilungen. Für nichtnegative Zufallsvariablen auf (0, ∞) ist die Gamma-Verteilung flexibel, um eine Vielzahl von Formen bereitzustellen, und die logarithmische Normalen werden ebenfalls häufig verwendet. Auf [0,1] liefert die Beta-Familie symmetrische Verteilungen, einschließlich der Uniform Als Verteilungen nach links oder rechts verzerrt.

Ich sollte auch erwähnen, dass es die klassischen Buchreihen von Johnson und Kotz gibt, die diskrete Verteilungen enthalten, wenn Sie alle wichtigen Details zu Verteilungen in der Statistik wissen möchten. kontinuierliche univariate Verteilungen und kontinuierliche multivariate Verteilungen sowie Band 1 der Advanced Theory of Statistics von Kendall und Stuart.

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• Vielen Dank für die Antwort, dies ist äußerst nützlich. Nochmals vielen Dank, es hat mir wirklich geholfen.

Nur um die anderen hervorragenden Antworten zu ergänzen.

Die Poisson-Verteilung ist nützlich, wenn wir Zählvariablen haben, wie andere erwähnt haben. Aber es sollte noch viel mehr gesagt werden! Das Poisson entsteht asymptotisch aus einer binomial verteilten Variablen, wenn $ n $ (die Anzahl der Bernoulli-Experimente) grenzenlos zunimmt und $ p $ (die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Experiments () so auf Null geht, dass $ \ lambda = np $ bleibt konstant, von Null und unendlich begrenzt. Dies zeigt uns, dass es nützlich ist, wenn wir eine große Anzahl von individuell sehr unwahrscheinlichen Ereignissen haben. Einige gute Beispiele sind: Unfälle, wie die Anzahl der Autounfälle in New York in ein Tag, da jedes Mal, wenn zwei Autos vorbeifahren / sich treffen, die Wahrscheinlichkeit eines Absturzes sehr gering ist und die Anzahl solcher Gelegenheiten tatsächlich astronomisch ist! Jetzt können Sie selbst über andere Beispiele nachdenken, wie beispielsweise die Gesamtzahl der Flugzeugabstürze in der Welt in einem Jahr. Das klassische Beispiel, bei dem die Anzahl der Todesfälle durch Tritte in der preußischen Kavallerie!

Wenn der Poisson in der Epidemiologie zur Modellierung der Anzahl von Krankheitsfällen verwendet wird, findet man ihn oft nicht passend gut: Die Varianz ist auch groß! Das Poisson hat Varianz = Mittelwert, was leicht an der Grenze des Binomials zu erkennen ist: Im Binomial ist die Varianz $ np (1-p) $, und wenn $ p $ auf Null geht, geht $ 1-p $ notwendigerweise auf Eins, Die Varianz geht also zu $ np $, was die Erwartung ist, und beide gehen zu $ \ lambda $.Eine Möglichkeit besteht darin, nach einer Alternative zum Poisson mit größerer Varianz zu suchen, die nicht dem Mittelwert entspricht, wie z. B. dem negativen Binomial. ¿Aber warum tritt dieses Phänomen größerer Varianz auf? Eine Möglichkeit besteht darin, dass die individuellen Krankheitswahrscheinlichkeiten $ p $ für eine Person nicht konstant sind und auch nicht von einer beobachteten Kovariate abhängen (z. B. Alter, Beruf, Raucherstatus, …). Dies wird als unbeobachtete Heterogenität bezeichnet und manchmal als verwendete Modelle denn es heißt Gebrechlichkeitsmodelle oder gemischte Modelle. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, anzunehmen, dass die $ p $ in der Population aus einer bestimmten Verteilung stammen, und unter der Annahme, dass es sich beispielsweise um eine Gammaverteilung handelt (was die Mathematik vereinfacht …), erhalten wir die Gamma-Poisson-Verteilung – – das das negative Binomial wiederherstellt!

Kürzlich veröffentlichte Forschung legt nahe, dass die menschliche Leistung entgegen allgemeiner Meinung NICHT normal verteilt ist. Daten aus vier Bereichen wurden analysiert: (1) Akademiker in 50 Disziplinen, basierend auf der Veröffentlichungshäufigkeit in den wichtigsten fachspezifischen Fachzeitschriften. (2) ) Entertainer wie Schauspieler, Musiker und Schriftsteller sowie die Anzahl der prestigeträchtigen Auszeichnungen, Nominierungen oder Auszeichnungen. (3) Politiker in 10 Nationen und Wahl- / Wiederwahlergebnisse. (4) College- und Profisportler, die sich die individuellsten ansehen verfügbare Maßnahmen, wie die Anzahl der Heimläufe, Empfänge in Mannschaftssportarten und Gesamtsiege in Einzelpersonen Häfen. Der Autor schreibt: „Wir haben in jeder Studie eine klare und konsistente Verteilung des Potenzgesetzes gesehen, unabhängig davon, wie eng oder breit wir die Daten analysiert haben …“

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• Wer hat vorgeschlagen, dass die menschliche Leistung normal verteilt ist?! Das 80-20-Prinzip wurde von Pareto (1906!) Vorgeschlagen.

Cauchy-Verteilung wird häufig verwendet in der Finanzierung zur Modellierung von Vermögensrenditen. Bemerkenswert sind auch Johnsons Bounded- und Unbounded-Verteilungen aufgrund ihrer Flexibilität (ich habe sie bei der Modellierung von Vermögenspreisen, Stromerzeugung und Hydrologie angewendet).