Die Frage, die mir gestellt wurde, lautet:
Silberatome in einem Metallgitter füllen nur $ 88 \, \% $ des Raums aus ($ 12 \, \% $ ist leer). Die Dichte von Silber beträgt $ 10,5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Angenommen, Silberatome sind harte Kugeln ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, wenn $ r $ der Atomradius ist), wie groß ist der Radius eines Silberatoms? Geben Sie die Antwort in Einheiten von $ 10 ^ {- 12} $ Metern an.
Die Atommasse von $ \ ce {Ag} $ beträgt 107.8682.
Meine Lösung:
$$ V = 0,88 \ mal V $$
$$ V = \ frac {0,88 \ mal 10,5 \ mal 6,022 \ mal 10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Dann wechselte ich zu den $ 10 ^ {12} $ Metern, das Ergebnis war $ 4.953 \ times10 ^ {17 } $ und es ist nicht korrekt. Was mache ich falsch?
Kommentare
- Ich ' habe die Informationen über die Atommasse hinzugefügt von $ \ ce {Ag} $, um für Sie und andere zu klären, welche Informationen Sie ' benötigen, um das Problem zu lösen.
- tatsächlich Ag kristallisiert in FCC und die Kugeln füllen $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ ca. 0,74048 $$
Antwort
Wenn Sie die Einheiten in Ihre Berechnung einbezogen hätten, hätten Sie bemerkt, warum Ihre Gleichung nicht korrekt ist.
Molmasse $ M $ ist definiert als $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ wobei $ m $ ist Masse und $ n $ ist Substanzmenge.
Seit der Avogadro-Konstante $ N_ \ mathrm A. $ ist $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ wobei $ N $ ist die Anzahl der Partikel, die Masse $ m $ eines Atoms $ (N = 1) $ ist $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Dichte $ \ rho $ ist definiert als $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ wobei $ V $ ist Volumen.
Somit ist das Volumen einer Stichprobe $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ unter Verwendung von Gleichung $ \ text {(3)} $ , das Volumen $ V $ kann für ein einzelnes Atom berechnet werden: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Angenommen, ein Bruchteil von $ 88 \, \% $ des Volumens $ V $ ist mit einer harten Kugel gefüllt, dem Volume $ V_ \ text {sphäre} $ der kugel ist $$ \ begin {align} V_ \ text {sphäre} & = 0,88 \ times V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Da das Volumen einer Kugel $$ V_ \ text {sphäre} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ wobei $ r $ der Radius der Kugel ist, Der Radius $ r $ ist $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sphäre}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10.5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$