Eine Stichprobe eines zufälligen Prozesses lautet:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
wobei $ w (t) $ ein Prozess mit weißem Rauschen mit einem Mittelwert von $ 0 $ und einer spektralen Leistungsdichte von $ \ frac {N_0} {2 ist } $ und $ f_0 $, $ A $ und $ B $ sind Konstanten. Finden Sie die Autokorrelationsfunktion.
Hier ist mein Lösungsversuch:
Lassen Sie $ a = 2 \ pi f_0t $ und $ b = 2 \ pi f_0 (t +) \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autokorrelation von} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A. \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ rechts) \ rechts \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ rechts \} + E \ links \ {AB \ cos (b) (wt) \ rechts \} \\ & \ quad + E. \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ rechts \} + E \ links \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ rechts \} \\ & = E \ links \ {A. ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ rechts \} + B ^ 2 \ links (R_w (\ tau) \ rechts) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ rechts \} + B ^ 2 \ links (\ frac {N_0} {2} \ rechts) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Die Erwartungsterme mit dem Rauschen in allen sind gleich $ 0 $ (das letzte ist nur die automatische Korrelation von weißem Rauschen … daher die Vereinfachung über. Verwenden trigonometrischer Identitäten: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
Wir haben:
\ begin {align} \ text {Autokorrelation von} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ rechts \} + B ^ 2 \ links (\ frac {N_0} {2} \ rechts) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ rechts] + B ^ 2 \ links (\ frac {N_0} {2} \ rechts) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Wir haben es mit konstanten Begriffen zu tun, daher verschwindet der Erwartungsbegriff und unter unseren Anfangsbedingungen erhalten wir: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ links [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ rechts] + B ^ 2 \ links (\ frac {N_0} {2} \ rechts) (\ delta (\ tau)) $$
Aus irgendeinem Grund kann ich nicht anders, als das Gefühl zu haben, dass ich etwas falsch gemacht habe, um diese Autokorrelation zu berechnen … es soll eine Funktion von $ \ tau $ sein, hat es aber a $ t $ ist da drin … Ich würde es sehr begrüßen, wenn mich jemand in die richtige Richtung weisen oder erklären könnte, was ich vermasselt habe. Ich weiß nicht, ob es wichtig ist, aber in dieser Klasse beschäftigen wir uns nur mit stationären Prozessen mit weitem Sinn.
Kommentare
- Es sei denn, Sie sind es Stellen Sie sicher, dass der zufällige Prozess $ x (t) $ WSS ist. Sie sollten nicht erwarten, dass sein ACF eine Funktion von $ \ tau $ allein ist. Daher erscheint es hier richtig, Zeitbedingungen $ t $ einzuschließen. Aber ich denke, dass der Kosinus-Term in $ x (t) $ entweder eine zufällige Amplitude oder eine zufällige Phase enthält, die Sie vergessen haben zu tippen. Dann haben Sie möglicherweise die Möglichkeit, das Zeitelement $ t $ loszuwerden, wenn Sie dies wünschen also …
- Der Prozess $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ ist ein cyclostationärer Prozess (erfüllt die Stationaritätsanforderungen für diese Zeitversätze, die sind Vielfache von $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) und überhaupt kein WSS-Prozess. Beachten Sie zum Beispiel, dass selbst die mittlere Funktion $ E [x (t)] $ keine Konstante ist, wie sie für einen WSS-Prozess sein sollte. Wie @ Fat32 (+1) sagt, haben Sie möglicherweise vergessen, eine zufällige Phase $ \ Theta $ in Ihre $ x (t) $ -Definition aufzunehmen (die erforderliche Eigenschaft für die WS-Stationarität ist $ E [\ cos (2 \ Theta)). ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $, was für $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ oder $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac gilt 14 $ für $ n = 0,1,2,3 $).
Antwort
Ich denke, Sie „Ich habe fast alles richtig gemacht, habe aber ein Problem bei der Berechnung des Erwartungswerts in Bezug auf $ t $. Sie sollten den Erwartungswert der Kosinusfunktion berechnen. Leider“ verschwindet „er nicht einfach, wie Sie geschrieben haben.
Schauen Sie sich die Wikipedia-Seite an. Dort finden Sie eine andere, explizitere Formel für die Autokorrelationsfunktion einer Funktion $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Beachten Sie, dass ich mir im Vergleich zur Wikipedia-Seite die Freiheit genommen habe, die Variable $ t $ in der Integration anstelle von $ u $ zu verwenden. whi ch wäre die mathematisch genauere Version.)
Wie Sie aus dieser Gleichung ersehen können, „integrieren“ Sie die Abhängigkeit von t, und tatsächlich sollten Sie eine Funktion haben, die von $ t unabhängig ist $.
Beachten Sie, dass es auch eine Version gibt, die nicht unendlich oft ist, sondern auf einen Zeitraum von $ T $ beschränkt ist. Vielleicht ist diese Version in Ihrem Fall besser geeignet.Dies gilt jedoch auch für diese Version: $ t $ ist entfernt und sollte keine Variable in der resultierenden Formel sein.
Kommentare
- Sie mischen zwei verschiedene Begriffe, wenn Sie “ schreiben. Wie Sie aus dieser Gleichung ersehen können, integrieren Sie “ “ die Abhängigkeit von $ t $, und tatsächlich sollte Ihnen eine Funktion verbleiben, die von $ t $ unabhängig ist. “
- Sie können Nehmen Sie auch die Formel von der Wikipedia-Seite ohne $ t $ und schreiben Sie $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limitiert _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Wichtig ist hier in beiden Fällen, dass das Argument der Funktion $ f $ t ist und über integriert ist – daher haben Sie im Endergebnis nicht mehr das $ t $, sondern nur noch $ \ tau $.
- @Dilip Sie können auch hier ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – Dies ist im Grunde das erste Ergebnis nach einer einfachen Google-Suche. Dort finden Sie auf Seite 22-2 (Seite 3 im PDF) ein Beispiel für eine Autokorrelationsfunktion, die nach dieser Formel berechnet wurde und unabhängig von $ t $ ist. Außerdem finden Sie die mathematisch nicht so solide Integralschreibweise auf der vorherigen Seite.
- Es liegt mir fern, die Gültigkeit einer Formel in Frage zu stellen, von der Sie behaupten, dass sie auf Wikipedia zu finden ist oder wird in einem MIT-Online-Kurs unterrichtet, aber es scheint mir, dass in \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \) tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} das zweite Integral in dieser zweiten Zeile (dessen Integrand eine Konstante für $ t $ ist) divergiert, es sei denn, $ \ tau $ hat zufällig einen Wert, der $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Sie haben Recht, dieses Integral divergiert. Nicht einmal das erste Integral ist sinnvoll, da es nicht konvergiert. Aus diesem Grund gibt es den letzten Absatz in meiner Antwort.