Hier möchten wir zeigen, dass die Box-Muller-Methode ein Paar von generiert unabhängige Standard-Gaußsche Zufallsvariablen . Aber ich verstehe nicht, warum wir die Determinante verwenden? Wenn Sie zwei unabhängige Variablen haben, ist die Gelenkdichtefunktion für mich nur das Produkt der Zwei-Dichte-Funktion. Jemand kann mir hier die Bedeutung der Determinante erklären? Bitte.
Kommentare
- Es gibt eine " Änderung der Variablen ", die beim Übergang von X nach Y beteiligt sind, und daher haben Sie Multiplizieren Sie mit dem Jacobi die Transformation, die die Determinante ist, die Sie oben sehen. Siehe zum Beispiel Satz 8 hier math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, ich verstehe, danke Alex für Ihre Antwort.
Antwort
Sei $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, wir haben
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ ist einheitlich auf $ [0, 1] $ definiert, daher $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ In der Tat $$ f_Z (z) = \ begin {Fälle} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {case} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Daher ist $ X_2 $ gleichmäßig auf $ [0,1] $ verteilt, also ist $$ f_W (w) = \ begin {case} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {case} $$ Da $ X_1 $ und $ X_2 $ unabhängig sind, ist $ Z. $ und $ W $ sollten unabhängig sein. Wir haben $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {case} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {und} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {case} $$ Definiere die Funktion $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $, so dass $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ also $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ mit anderen Worten $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q „(q ^ {- 1} (y_1, y_2)) |} $$ können wir leicht $$ z zeigen = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ dann $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Antwort
Es ist ersichtlich, dass $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ und dieser $ Y_2 \ über Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Daher $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ über Y_1}} $ und $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Differential nehmen, um $ dX_1 = {1 \ über {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ über {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
In ähnlicher Weise ist $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Daher Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ über {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ über {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ über 2 } $ .
Für PDFs als $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ über {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
gibt $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ über 2} $
zeigt, dass $ Y_1, Y_2 $ unabhängige Gaußsche Zufallsvariablen sind.
Commen ts
- Bereich von $ X_1 $ sollte (0,1) sein, aber $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ ist $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $