Beweis der schwächeren Baker-Campbell-Hausdorff-Formel [Duplikat]

Zunächst gehe ich von endlichen dimensionalen Operatoren aus: Andernfalls müssen Sie bestimmte Begrenzungsbedingungen für die Operatoren überprüfen. Da die CBH-Reihe hier durch die verschwindenden Doppelkommutatoren abgeschnitten wird, sind die Bedingungen für lineare Operatoren auf z. B. $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ mild.

Sie müssen Operationen mit $ \ mathrm {Ad} $ üben. Schlagen Sie Folgendes nach. In der Lie-Gruppe $ \ mathfrak {G} $ mit Algebra $ \ mathfrak {g} $ der Tangentenvektor zum Pfad:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G. }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

bei der Identität ist $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Hier ist $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ die Adjoint Representation . Es ist ein Lie-Gruppen-Homomorphismus von der allgemeinen Lie-Gruppe $ \ mathfrak {G} $ zur Matrix-Lie-Gruppe $ GL (\ mathfrak {g}) $. Sein Kernel ist das Zentrum von $ \ mathfrak {G} $. Da es sich um einen Homomorphismus handelt, haben wir $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Eine weitere nützliche Identität ist:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

und diese Reihe ist universell konvergent , wenn der Operator $ B \ mapsto [A, \, B] $ geeignet ist begrenzt ( zB $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ für einige $ K (A. ) \ in \ mathbb {R} $ – dies gilt sicherlich in endlichen Dimensionen).

Nun zu (1) und der Homomorphismus-Eigenschaft ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \) , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $) finden Sie Folgendes:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ Lambda \, A} \, e ^ {\ Lambda \, B} \, e ^ {- \ Lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ rechts) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ rechts) \ rechts) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Alles oben Genannte ist vollkommen allgemein. Sie müssen es auf Ihren abgeschnittenen Fall spezialisieren. Verwenden Sie also die universell konvergente (und hier auf zwei Begriffe abgeschnittene) Reihe (2), um $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^) zu erweitern {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ und kürzen Sie es für Ihren Sonderfall, und ich denke, Sie sollten Fortschritte machen.

Ein pedantischer Ärger: Obwohl beide Ordnungen für den Namen ziemlich häufig sind, ist die Reihenfolge, die den historischen Vorrang genau widerspiegelt, „Campbell-Baker-Hausdorff“, da jeder der Autoren seine Beiträge 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) und 1906 (Hausdorff) leistete ), beziehungsweise. Jeder war sich der „Arbeit seiner Vorläufer“ bewusst, aber wie in Fascicule 16 Ch 1 von Bourbaki (1960) angegeben, „fand jeder die Demonstrationen seiner Vorläufer nicht überzeugend (!)“. Diese Aussage bringt mich immer zum Kichern und gibt mir etwas Trost „Ich bin nicht der einzige mit einer Verständnisrate von etwa 5% beim Lesen von technischer Literatur (ich schätze, ich muss eine Zeitung durchschnittlich etwa 20 Mal lesen, um sie zu“ bekommen „). Eine amüsante Tatsache ist, dass keiner dieser drei tatsächlich die Serie ausgearbeitet hat. Stattdessen stellten sie den Satz auf, dass die Reihe innerhalb einer Nachbarschaft von $ \ mathbf {0} $ in der Lie-Algebra konvergent war und nur lineare und Lie-Klammeroperationen umfasst. Die Formel selbst stammt von Dynkin und wurde 1947 vollständig ausgearbeitet!

Kommentare

• Vielen Dank für die Antwort! Ich ' werde mein Bestes tun, um Ihre Antwort zu studieren, trotz meines geringen Einführungswissens über Lügengruppen und Algebren.
• @quarkleptonboson I ' haben Gl. (3) um dir zu helfen.Stellen Sie sich alle Operatoren als quadratische $ N \ mal N $ -Matrizen vor und alle Lie-Klammern und -Multiplikationen werden dann zu konkreten Matrixmultiplikationen. (2) ist immer eine wörtliche Matrix-Potenzreihe, da die Gruppe invertierbarer linearer Transformationen auf $ \ mathfrak {g} $ immer eine Matrixgruppe ist.