Die Darstellung für das Modell AR (1) lautet wie folgt:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
wobei $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ ist eine Konstante).
Ich möchte die dortigen Berechnungen verstehen stehen hinter der allgemeinen Formel der Autokovarianz von AR (1), die $ γ (h) = \ operatorname {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Bisher habe ich die folgenden Schritte ausgeführt: Ich habe mit $ γ (1) $ begonnen:
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ Operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ Operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ Operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Wie Sie sehen, kann ich von diesem Punkt aus nicht fortfahren, da ich nicht weiß, welche Werte dies sind von $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ und $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Jede Unterstützung wird sehr geschätzt. Vielen Dank im Voraus.
Antwort
Schreiben wir $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
seit $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ (dh die vergangene Ausgabe ist unabhängig von der zukünftigen Eingabe).
In ähnlicher Weise $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Wenn wir so weitermachen, erhalten wir $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , wobei $ h \ geq0 $ . Verallgemeinern für negative $ h $ ergibt $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , wobei $ \ gamma (0) ) = var (Y_t) $ .
PS Bei dieser Analyse wird davon ausgegangen, dass $ \ epsilon_t $ WSS ist, daher $ y_t $ aus der LTI-Filtereigenschaft.
Kommentare
- In der ersten Zeile steht ein Tippfehler. Das Identitätszeichen ist falsch platziert.
- In der ersten Zeile würde ich Ersetzen Sie das 3. Zeichen “ + “ durch das Zeichen “ = “ -Zeichen: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Beim Versuch, den von @Jesper adressierten Tippfehler zu bearbeiten, habe ich dieses spezifische = Zeichen konvertiert zu + unterschreiben und mehr falsch gemacht :). Ich sehe, dass der Grund das Rendern ist. Obwohl die Reihenfolge der Tex-Anweisungen korrekt ist, wurden sie in einer anderen Reihenfolge angezeigt. Wie auch immer, ich ‚ habe Align-Anweisungen verwendet und es viel klarer gemacht. Hoffe, es ist ‚ in Ordnung.
- Ist der Ausdruck für bedingte Autokovarianz der gleiche? Das heißt, $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ hold?
Antwort
Ausgehend von dem, was Sie angegeben haben:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Wobei $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Wir können $ (1) $
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Dann
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Wenn wir $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ lassen, dann Gleichung $ (2) $ kann wie folgt geschrieben werden:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Varianz
Die Varianz der $ (3) $ wird erhalten, indem der Ausdruck quadriert und die Erwartungen berücksichtigt werden. Dies endet mit:
\ begin { Array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Nehmen Sie nun die Erwartung:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Her Wir werden aufrufen:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ ist die Varianz des stationären Prozesses.
- Der zweite Term auf der rechten Seite der Gleichung ist Null, weil $ \ tilde {y} _ {t-1} $ und $ \ epsilon_ {t} $ sind unabhängig und beide haben keine Erwartung.
- Der letzte Begriff rechts ist die Varianz der Innovation, die als $ \ sigma ^ {2} $ bezeichnet wird (beachten Sie, dass es keine gibt Index dafür).
Schließlich
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Wenn wir nach der Varianz des Prozesses suchen, nämlich $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ haben wir:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autokovarianz
Wir werden denselben Trick verwenden, den wir für die Formel $ (3) $ verwenden. Die Autokovarianz zwischen Beobachtungen, die durch $ h $ -Perioden getrennt sind, lautet dann:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Die Innovationen sind nicht mit den früheren Werten der Serie korreliert, dann $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ und wir bleiben mit:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
Für $ h = 1, 2, \ ldots $ und mit $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
Für den speziellen Fall des $ AR (1) $ wird die Gleichung $ (5) $ zu:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
Und unter Verwendung des Ergebnisses aus der Gleichung $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ Wir erhalten
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Originalquelle: Andrés M. Alonso & Carolina García-Martos-Folien. Hier verfügbar: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf