Um den quadratischen Term im Antiferromagneten-Heisenberg-Modell zu diagonalisieren, können wir die Bogoliubov-Transformation einführen: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Diese Transformation kann den quadratischen Term im Hamilton-Operator diagonalisieren:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
mit $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Aber die Transformation U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ ist nicht einheitlich, da $ u_k, v_k $ real sind, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
Ist die Anzahl der Bosonen nicht erhalten , also kann die Transformation nicht einheitlich sein? Gibt es eine Einschränkung für die Transformation von Boson?
Kommentare
- Wichtig ist, dass nach der Transformation die Standardkommutierungsrelationen weiterhin gelten.
- verwandt: physics.stackexchange.com/q/53158
Antwort
Sie haben Recht, Bogoliubov-Transformationen sind im Allgemeinen nicht einheitlich. Per Definition sind
Bogoliubov-Transformationen lineare Transformationen von Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren, die die algebraischen Beziehungen unter ihnen.
Die algebraischen Beziehungen sind hauptsächlich die Kommutierungs- / Antikommutationsbeziehungen , die die bosonischen / fermionischen Operatoren definieren. Nirgendwo in der Definition haben wir angegeben, dass die Transformation einheitlich sein soll. Tatsächlich ist die Bogoliubov-Transformation (in ihrer allgemeinsten Form) symplektisch für Bosonen und orthogonal für Fermionen . In keinem Fall ist die Bogoliubov-Transformation einheitlich. Die Bogoliubov-Transformation von Bosonen entspricht der linearen kanonischen Transformation von Oszillatoren in der klassischen Mechanik (weil Bosonen Quanten von Oszillatoren sind), und wir wissen, dass die linearen kanonischen Transformationen aufgrund der symplektischen Struktur des klassischen Phasenraums symplektisch sind.
Um genau zu sein, was sind die Einschränkungen für Bogoliubov-Transformationen? Betrachten wir den Fall von $ n $ Einzelteilchenmodi von entweder Bosonen $ b_i $ oder Fermionen $ f_i $ (wobei $ i = 1,2, \ cdots, n $ die Einzelteilchenzustände wie Impulseigenzustände kennzeichnet). Sowohl $ b_i $ als auch $ f_i $ sind keine hermitianischen Operatoren, was für eine allgemeine Behandlung nicht ganz bequem ist (weil wir $ b_i $ und $ b_i ^ \ dagger $ nicht einfach als unabhängige Basis behandeln können, da sie immer noch miteinander verwandt sind Daher entscheiden wir uns, die Operatoren als die folgenden linearen Kombinationen umzuschreiben (motiviert durch die Idee, eine komplexe Zahl in zwei reelle Zahlen wie $ z = x + \ mathrm {i} y $ zu zerlegen): $$ \ begin {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ wobei $ a_i = a_i ^ \ dagger $ und $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (für $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) sind hermitische Operatoren (analog zu reellen Zahlen).Sie müssen die Kommutierungs- oder Antikommutierungsbeziehungen von den „komplexen“ Bosonen $ b_i $ und Fermionen $ f_i $ erben: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ Dolch] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ wobei $ g_ {ij} ^ a $ und $ g_ {ij} ^ c $ werden manchmal als Quantenmetrik für Bosonen bzw. Fermionen bezeichnet. In Matrixformen sind sie gegeben durch $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { Matrix} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ wobei $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ die $ n \ times n $ Identitätsmatrix ist. Um also die algebraischen Beziehungen zwischen den Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren zu erhalten, muss die Quantenmetrik beibehalten werden. Allgemeine lineare Transformationen der Operatoren $ a_i $ und $ c_i $ haben die Form von $$ a_i \ zu \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a__ \ qquad c_i \ zu \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ wobei die Transformationsmatrixelemente $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ real sein müssen, um sicherzustellen, dass die Operatoren $ a_i $ und $ c_i $ erhalten bleiben Hermitian nach der Transformation. Um die Quantenmetrik zu erhalten, muss $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c Eine echte lineare Transformation, die die obigen Bedingungen erfüllt, ist eine Bogoliubov-Transformation im allgemeinsten Sinne. Abhängig von der Eigenschaft der Quantenmetrik ist die Bogoliubov-Transformation entweder symplektisch oder orthogonal. Für die bosonische Quantenmetrik ist $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antisymmetrisch , sodass die Transformation $ W ^ a $ symplektisch ist. Für die fermionische Quantenmetrik ist $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ symmetrisch , sodass die Transformation $ W ^ c $ orthogonal ist.
Kommentare
- Kann jemand eine Ressource empfehlen, um mehr über diesen Formalismus zu erfahren, dh die Zerlegung der Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren als “ komplexe Zahlen “ und die Beibehaltung der Quantenmetrik?
Antwort
Die Unitarität einer quantenmechanischen Transformation wird nicht dadurch bestimmt, wie sie Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren mischt. (Es spielt keine Rolle, welche Art von Matrix — orthogonal, symplektisch oder einheitlich — am Mischen beteiligt ist!) Eher eine sollte untersuchen, ob die Transformation einem einheitlichen Operator zugeordnet ist, der auf den Hilbert-Raum einwirkt.
Das zitierte Bogoliubov-Transformations-OP kann wie folgt dargestellt werden ($ \ textbf {k} $ – Abhängigkeit wird unterdrückt): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ wobei $ \ lambda $ eine reelle Zahl ist. Diese Transformation ist genau dann einheitlich, wenn es einen einheitlichen Operator gibt $ U $ so, dass $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ In der Tat werden diese Beziehungen mit der folgenden Wahl erfüllt: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ Dolch}) \ Big], $$, also ist die Transformation einheitlich.
Antwort
Lassen Sie mich an diesem Teil der Matrixgleichung arbeiten $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Der wichtige Teil ist, dass die Transformation der Felder ebenso wie eine Trans gesehen werden kann Bildung der Matrix $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ where $ M ^ \ Dolch ~ = ~ M $. Die Determinante hierfür ist $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Die Determinante von $ M $ ergibt dann $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Diese können dann durch $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ und $ v_k ~ = ~ cosh (k) $ dargestellt werden.
Bewerten Sie nun den Kommutator $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Für die Kommuatoren $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ und wir sehen dann $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Das gleiche gilt eindeutig für $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Dies bedeutet, dass jedes System mit $ N \ hbar $ Aktionseinheiten konstant ist. Das Phasenraumvolumen des Systems ändert sich nicht. Dies bedeutet dann, dass Bogoliubov-Transformationen effektiv einheitlich sind.
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- Also die allgemeinen einheitlichen Transformationen ‚ s Definition sind länger $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ was lernen wir aus dem Lehrbuch? Ich verstehe ‚ nicht ‚ Dies bedeutet, dass jedes System mit Nℏ Aktionseinheiten konstant ist. Es gibt keine Änderung im Phasenraumvolumen des Systems ‚. Möchten Sie dies erklären?
- Gibt es übrigens Einschränkungen für die Transformation? des Bosonensystems (Hamiltonian)?
- @ZJX Ich verstehe ‚ nicht, warum Lawrence sagte, die bosonischen Bogoliubov-Transformationen seien “ effektiv einheitlich „. Ich denke, sie sollten im Allgemeinen symplektisch sein. Die Einschränkung ergibt sich aus der Beibehaltung der Definition der Bosonischen Operatoren (so dass Bosonische Operatoren während der Transformation Boson bleiben). Es gibt keine Einschränkung, die vom Bosonischen System (Hamiltonian) ausgeht. Solange der Hamiltonianer ein Hermitianer ist, ist er ein legitimer Hamiltonianer. Jede symplektische Transformation, die auf den Hamilton-Operator angewendet wird, ist eine legitime Bogoliubov-Transformation.
Antwort
Nein, sie ist einheitlich Transformation, aber nur, wenn man das Elektronenloch & des Hamilton-Operators zusammen betrachtet.
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- Aber hier geht es beim Modell um Spin, ‚ ist nicht die Fermion, richtig?