Coulomb ' s Gesetz: Warum ist $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [Duplikat]

Definieren des Symbols $ k $ in Coulombs Gesetz ist $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ als $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, vollkommen erlaubt, wenn man es einfach als definition von $ \ epsilon_0 $. Die Motivation für diese Definition ist, dass wenn Sie die Kräfte zwischen zwei entgegengesetzt geladenen Platten des Bereichs $ A $ berechnen und $ Q $ einen Abstand $ d $ voneinander berechnen, sie kommen out als $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, wobei der Faktor $ 4 \ pi $ aus der vernünftigen Anwendung von Gauß stammt Gesetz.

Wenn Sie dies zu einer Kapazitätstheorie weiterentwickeln, stellen Sie fest, dass die Spannung zwischen den Platten $ V = Q / C $ ist, wobei $ C = \ epsilon_0 A / d $. Wenn Sie ein Dielektrikum zwischen die Platten einfügen möchten (wie dies häufig der Fall ist), ändert sich die Kapazität in $$ C = \ epsilon A / d $$, wobei $ \ epsilon $ als elektrische Permittivität des Dielektrikums bezeichnet wird $ \ epsilon_0 $ wird dann natürlich als „die Permittivität des freien Raums“ verstanden (was natürlich einfach definiert, was wir unter Permittivität verstehen).

Die Frage ist dann natürlich, warum dies abgeleitet wird „unit, $ \ epsilon_0 $, als“ grundlegender „behandelt als das ursprüngliche $ k $? Die Antwort lautet, dass dies nicht der Fall ist, da sie äquivalent sind, aber die Permittivität des freien Speicherplatzes ist viel einfacher zu messen (und war es sicherlich auch während des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts, als die elektrische Forschung sehr stark auf schaltungsbasierte Technologien ausgerichtet war, so dass sie als Sieger hervorging, und warum zwei Symbole für äquivalente Mengen?

Die Einheit der Sekunde ist definiert als die Zeitdauer einer bestimmten Anzahl von Strahlungsperioden, die von einem Teil emittiert werden Ein bestimmter Typ des Elektronenübergangs zwischen den Energieniveaus in einem Isotyp von Cäsium (siehe hier ).

Es wird angenommen, dass sich Licht mit a bewegt konstante Geschwindigkeit $ c $ unabhängig vom eigenen Referenzrahmen. Nachdem wir nun eine Zeiteinheit festgelegt haben, können wir eine Längeneinheit definieren: Der Zähler ist die Entfernung, die das Licht in $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} zurücklegt $.

Wir definieren auch die SI-Einheit des Stroms (das Ampere) so, dass die Permeabilität des freien Raums einen gewünschten Wert in annimmt SI-Einheiten ($ 4 \ pi \ mal 10 ^ {- 7} $).

Wir können dann auch $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ definieren als $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Denken Sie jetzt daran, dass Sie kein Einheitensystem reparieren müssen, um dies zu tun (wie ich es zuvor getan habe). Da es sich bei den oben genannten um Definitionen handelt, gelten sie in jedem Einheitensystem. Um jedoch zu sehen, dass diese Definitionen nicht kreisförmig sind, ist es hilfreich zu sehen, dass wir $ \ mu _0 $ und $ c $ als rein physikalische Phänomene definieren können. Mit anderen Worten, damit die obigen Definitionen überhaupt Sinn machen, mussten wir zuerst wissen, dass wir $ c $ und $ \ mu _0 $ unabhängig von $ \ varepsilon _0 $ und $ k $ definieren können. Die obige Definition von SI-Einheiten hilft Ihnen zu sehen, dass dies möglich ist.

Kommentare

• Dies ändert sich mit dem neuen SI-System. Während $ c $ festgelegt ist, sind $ \ mu_0 $ und $ \ epsilon_0 $ nicht festgelegt.

Wenn die Frage lautet, warum „$ 4 \ pi $“ in der Coulomb-Konstante (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), dann könnte eine ebenso gültige Frage sein, warum die „4 $ \ pi $“ in der magnetischen Permeabilität des Vakuums $ \ mu_ {0} = 4 sind \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Vielleicht kann ein Hinweis in der Maxwell-Gleichung für die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Welle (Licht) in einem Vakuum gefunden werden, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Natürlich hat Maxwell diese Beziehung viel später als Coulomb abgeleitet.

Maxwell berichtet die elektrische Zulässigkeit für die magnetische Permeabilität im Vakuum, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $, die einen Wert von $ \ mu_ {0} = 4 \ erhält pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ in SI-Einheiten.

Der „Grund“ für das „$ 4 \ pi $“, das hier und in Coulombs Konstante (ob Sie es glauben oder nicht) erscheint dass Maxwells Gleichungen ohne $ 4 \ pi $ „-Faktoren geschrieben werden können!

Um dies zu verstehen, betrachten Sie, wie elektrostatische Phänomene im Coulombschen Gesetz als“ Feld „ausgedrückt werden Intensität in einem quadratischen Abstand „im Vergleich zum (äquivalenten) Gaußschen“ Gesetz, das den „Fluss durch eine geschlossene Oberfläche, die die Ladung einschließt“ beschreibt.

Der Gesamtfluss ist die Flussdichte multipliziert mit der Oberfläche , was für eine Kugel mit dem Radius $ r $ gegeben ist durch $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, so dass das Verhältnis $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ einfach das Ergebnis der Geometrie von ist Raum und sphärische Symmetrie.

Das SI-Einheitensystem (im Gegensatz zu den Gauß-Einheiten) wird als „rationalisiert“ bezeichnet, da es den Ausdruck von Maxwells Gleichungen ohne die $ 4 \ pi $ -Faktoren ermöglicht. Zu diesem Zweck wurde der $ 4 \ pi $ -Faktor einfach in die (SI-Einheits-) Definition der universellen Konstante für die Permeabilität des Vakuums „eingebaut“, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, aus dem wir die Coulombsche Konstante als k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $ ausdrücken können.