Die Bloch-Kugel ist wunderschön minimalistisch.

Herkömmlicherweise hat ein Qubit vier reale Parameter; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Einige schnelle Erkenntnisse zeigen jedoch, dass die $ a $ -vs- $ b $ Kompromiss hat aufgrund der Normalisierung $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ und einige genauere Erkenntnisse zeigen, dass Sie bei der Erstellung von Erwartungswerten in QM $ \ chi $ oder $ \ phi $ selbst, aber nur der Unterschied $ \ chi – \ phi $ , das ist $ 2 \ pi $ -periodisch. (Dies wird in den Kommentaren unten weiter behandelt, aber kurz: QM sagt nur Durchschnittswerte $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ voraus und verschiebt die Gesamtphase einer Wellenfunktion durch einen $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ hebt sich daher in jeder Vorhersage auf.)

Wenn Sie also höchst abstrakt darüber nachdenken, was Sie brauchen, zeichnen Sie einfach eine Linie von 0 bis 1, die den $ a $ -vs darstellt – $ b $ Kompromiss: Wie viel kostet das in einem dieser beiden Zustände? Dann zeichnen Sie Kreise darum: Wie groß ist die Phasendifferenz? Was verhindert, dass es sich um einen Zylinder handelt, ist, dass die Phasendifferenz keine Rolle mehr spielt, wenn $ a = 1 $ oder $ b = 1 $ , daher müssen die Kreise auf Punkte verkleinert werden. Et voila , Sie haben etwas, das einer Kugel topologisch entspricht. Die Kugel enthält alle Informationen, die Sie für Experimente benötigen, und sonst nichts.

Sie ist auch physisch, eine reale Kugel im 3D-Raum.

Dies ist die schockierendere Tatsache. Wenn man nur das einfache Bild oben betrachtet, könnte man denken, dass dies alles harmlose Mathematik ist: nein! Tatsächlich ist das fundamentale Qubit ein Spin- $ \ frac 12 $ -System, wobei die Pauli-Matrizen angeben, wie sich das System um die $ x $ , $ y $ oder $ z $ -Achsen. Dies ist ein System, in dem wir $ | 0 \ rangle $ mit $ | \ uparrow \ rangle $ identifizieren. $ | 1 \ rangle $ mit $ | \ downarrow \ rangle $ , und die Phasendifferenz kommt vorbei Wählen Sie die $ + x $ -Achse über $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

Die orthogonalen Raumrichtungen sind in der QM-Behandlung nicht Hilbert-orthogonal, weil die Physik einfach nicht so ist dieses Systems funktioniert. Hilbert-orthogonale Zustände sind nicht angemessen: Wenn Sie sich in diesem Zustand befinden, befinden Sie sich definitiv nicht in diesem Zustand.Dieses System hat jedoch einen Spin mit einer bestimmten Gesamtgröße von $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , aber nur $ \ hbar / 2 $ zeigt in die Richtung, in die es „am meisten zeigt“, was bedeutet, dass es auf einer Art „Ring“ verteilt werden muss. um diese Richtung. Wenn Sie also messen, dass es sich in der $ + z $ -Richtung befindet, stellt sich heraus, dass es auch in der $ + x $ , halb in Richtung $ – x $ . (Hier bedeutet „sort-of“: Wenn Sie eine $ x $ -Messung verwenden.)

Fragen wir also “ In welche Richtung dreht sich der Spin- $ \ frac12 $ am meisten? “ Dies erfordert die Konstruktion eines Observablen. Ein Beispiel: Wenn die $ + z $ -Richtung am häufigsten von einem Status $ | \ uparrow eingesponnen wird \ rangle $ dann ist die beobachtbare Größe für $ z $ -spin die Pauli-Matrix $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ in diesem Zustand, $ -1 $ im Hilbert-senkrechten Zustand $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Wenn Sie sich $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | ansehen + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ Sie werden sehen, dass der oben definierte Zustand $ | {+ x} \ rangle $ ein Eigenvektor ist mit dem Eigenwert +1 und ähnlich sollte es eine $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ geben, die die $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ und Sie können $ \ sigma_x = | {+ wiederherstellen x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Dann der Status orthogonal zu $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ ist $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ Die beobachtbare Größe, die in diesem Zustand +1 oder im entgegengesetzten Zustand -1 ist, lautet: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ Schreiben Sie dies als $ v_i \ sigma_i $ , wobei der $ \ sigma_i $ sind die Pauli-Matrizen, die wir erhalten: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Lassen Sie nun $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ und $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ Wir stellen fest, dass dies sind: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Das Bloch-Rezept verwendet also einen $ (\ theta, \ phi) $ , der einfach die sphärischen Koordinaten des Punktes auf sind Die Kugel, die ein solches $ | \ psi \ rangle $ ist, dreht sich am meisten in Richtung.

Also, anstatt rein theoretisch zu sein Visualisierung kann man sagen, dass sich das Spin- $ \ frac 12 $ -System, das prototypische Qubit, tatsächlich in die durch die Bloch-Kugelkoordinaten vorgegebene Richtung dreht! (Zumindest insofern, als sich ein Spin-up-System dreht.) Es ist rücksichtslos physisch : Sie möchten es in eine mathematische Ecke winken lassen und es heißt: „Nein, für echte Systeme bin ich zeigte in diese Richtung im realen 3D-Raum und Sie müssen auf mich achten. “

Wie diese Ihre Fragen beantworten.

1. Ja, N und S sind räumlich parallel, aber im Hilbert-Raum sind sie orthogonal. Diese Hilbert-Orthogonalität bedeutet, dass ein System nicht sowohl Spin-up als auch Spin-down sein kann.Umgekehrt bedeutet das Fehlen einer Hilbert-Orthogonalität zwischen beispielsweise den Richtungen $ z $ und $ x $ , dass Wenn Sie den $ z $ -Spin messen, können Sie den Spin im $ x $ -Richtung, die ein Schlüsselmerkmal solcher Systeme ist. Es ist in der Tat etwas verwirrend, zwei verschiedene Begriffe von „orthogonal“ zu haben, einen für den physischen Raum und einen für den Hilbert-Raum, aber es kommt von zwei verschiedenen Räumen, die Sie betrachten.

2. Ein Weg, um zu sehen, warum die Winkel physikalisch sehr nützlich sind, ist oben angegeben. Wie im ersten Abschnitt erwähnt, können Sie es aber auch als rein mathematische Übung betrachten, bei der versucht wird, den Konfigurationsraum mit einer Kugel zu beschreiben: Dann haben Sie natürlich den Polarwinkel als Phasendifferenz, die $ 2 \ pi $ -periodisch, so dass dies eine natürlich azimutale Koordinate ist; Daher sollte die Art und Weise, wie die Koordinate entlang 0/1 liegt, eine polare Koordinate sein, wobei $ 0 $ $ | 0 zugeordnet ist \ rangle $ und $ \ pi $ Zuordnung zu $ | 1 \ rangle $ . Der naheliegende Weg, dies zu tun, ist die Zuordnung von $ \ cos (\ theta / 2) $ von 1 bis 0 entlang dieses Bereichs als Amplitude für die $ | 0 \ rangle $ state; Die Tatsache, dass $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ bedeutet, dass der $ | 1 \ rangle $ muss eine $ \ sin (\ theta / 2) $ -Amplitude aufnehmen, um dieser zu entsprechen.

Kommentare

• Ich habe eine ähnliche Verwirrung in Bezug auf die Bloch-Sphäre wie das OP. Könnten Sie vielleicht ein wenig erklären, was Sie mit “ meinen, und einige genauere Erkenntnisse zeigen, dass Sie bei der Erstellung von Erwartungswerten im QM $ \ chi $ und $ \ nicht beobachten können phi $ selbst, aber nur der Unterschied $ \ chi – \ phi $, der $ 2 \ pi $ -periodisch ist „?
• @Moses: sicher. Alle Vorhersagen von QM sind Erwartungswerte der Form $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Berechnen Sie dies für $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ mit $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (also $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $), um $ \ langle zu finden A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big) Der Erwartungswert enthüllt daher alles über $ \ phi $ oder $ \ chi $ selbst, aber möglicherweise nur $ \ delta = \ phi- \ chi $ über diesen $ e ^ {i \ delta} $ -Term, der offensichtlich $ 2 \ pi $ – ist. periodisch in $ x $.
• Allgemeiner ist die globale Phase einer Wellenfunktion nicht beobachtbar; Diese Erwartungsklammern besagen, dass die Erwartungen im Status $ | \ psi ‚ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ $$ \ langle A \ rangle_ sein müssen {\ psi ‚} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Es könnte OP helfen, die Natürlichkeit von $ \ frac {\ theta} {2} $ zu verinnerlichen um darauf hinzuweisen, dass es der Tatsache entspricht, dass es sich um ein Spin-$ \ frac {1} {2} $ -Partikel handelt. Der halbe Spin führt dazu, dass die Rotationsgeneratoren nicht $ \ sigma $, sondern $ \ frac {\ sigma} {2} $ sind (um den Eigenwert $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $ beizubehalten). Somit wird die Transformation, die auf den Zustand für eine physikalische Rotation von $ \ theta $ einwirkt, zu $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – was zu einer Rotation von $ \ frac führt {\ theta} {2} $ für den Zustand.
• Warum brauchen wir eine 3D-Kugel und nicht nur einen Kreis in einer Ebene? Wenn wir uns das Qubit als die 2 möglichen Werte des Spins eines Atoms oder seiner Überlagerung vorstellen … Was ‚ ist die physikalische Bedeutung des Azimutwinkels ϕ?

Sie können Punkte auf der Oberfläche einer Einheitskugel auf folgende einfache Weise mit reinen Spinzuständen verknüpfen.

Ein Punkt der Kugel $ (n_x, n_y, n_z) $ ist einem Eigenvektor des Operators $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ mit einem positiven Eigenwert zugeordnet und umgekehrt. Dies schließt alle Spin-1/2-Einzelpartikel-Spinzustände ein.

Und dies ist weder zufällig noch Visualisierung oder Mathematik. Wenn Sie ein Stern-Gerlach-Gerät mit einer Magnetfeldinhomogenität haben, die in die Richtung $ (n_x, n_y, n_z) $ zeigt, wird dieser Strahl konsistent in eine bestimmte Richtung abgelenkt, wenn er den Zustand hat, der für $ n_x \ sigma_x eigen ist + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Aber ist das nicht sehr verwirrend? Wenn der Nord- und Südpol gewählt werden, sind beide Zustände in derselben Zeile und nicht mehr orthogonal,

Es ist nicht im geringsten verwirrend. Die Geometrie hängt mit der Ausrichtung des physischen Geräts im Labor zusammen, für das Ihr Status zuverlässige Ergebnisse liefert.Das entgegengesetzt ausgerichtete Gerät liefert ebenfalls zuverlässige Ergebnisse. Dies ist bei orthogonalen Zuständen üblich, bei denen teonorthgonale Zustände demselben Operator eigen sein können.

Verschiedene Punkte der Bloch-Kugel identifizieren also unterschiedliche Orientierungen, die das „up“ -Ergebnis für verschiedene Zustände ergeben. Verwechseln Sie die Ausrichtung des Messgeräts im 3D-Raum nicht mit der Geometrie der Zustände im Spinraum.

Wie kann man also einen beliebigen Punkt $ auswählen? p $ auf der Oberfläche der Kugel und zerlegen sie möglicherweise in $ 0,1 $ Zustände, um $ a $ und $ b $ zu finden?

Es ist umgekehrt. Wie haben Sie beschlossen, einen Zustand 0 und einen anderen 1 zu nennen? Sie haben eine zufällige Ausrichtung ausgewählt und sie z genannt und Ihr Gerät so ausgerichtet, dass die Inhomogenität des Magnetfelds auf diese Weise angezeigt wird. Das gab dir ein Auf und Ab.

Aber jetzt können wir jeden Spinzustand angeben. Sie haben einen beliebigen Punkt $ (n_x, n_y, n_z) $ und finden dann den Eigenvektor von $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Mit positivem Eigenwert. Nennen Sie es $ \ left | s \ right \ rangle, $ then $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$, also gibt es Ihre $ a $ und $ b $, außer Sie kennen die Gesamtphase und -größe nicht, aber ein einzelner Teilchen-Spin-Zustand hat keine davon .

Bedeutet dies, dass man die Bloch-Kugel nicht als gültige Grundlage für unser System betrachten sollte und dass sie nur eine Visualisierungshilfe ist?

Nein, das heißt, Sie sollten die Geometrie im Labor nicht mit der Geometrie des Hilbert-Raums verwechseln. Die Physik ist eine experimentelle Wissenschaft, daher sind sie definitiv verwandt, aber sie sind nicht gleich.

Wenn Sie einen Vektor auf Eigenräume projizieren möchten, projizieren Sie die Beschriftungen nicht aufeinander. Sie können einen Spin-Zustand und einen anderen Spin-Zustand haben, und wenn Sie einen durch ein Stern-Gerlach-Gerät führen, das auf das andere ausgerichtet ist, teilen sich die räumlichen Freiheitsgrade auf und trennen sich in einen, der in dieser Richtung oben und einen räumlich unten ist Die Richtung und der Spin-Zustand ändern sich buchstäblich, um in dem räumlich nach oben gerichteten Strahl nach oben und in dem nach unten gerichteten Strahl nach unten zu zeigen. Der Spin des einen Teilchens hat sich also mit seiner eigenen Position verwickelt.

Die Größe der Hilbert-Projektion gibt Auskunft über die Größe der räumlichen Teile, die abgelenkt und gespalten wurden. Aber Sie brauchen sie auch nicht buchstäblich sich an solche Regeln zu erinnern. Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung für das Stern-Gerlach-Gerät aufschreiben, teilt sich der Strahl und trennt sich in Teile mit der richtigen Größe, und die Spins richten sich nach den beiden Polarisationen aus, und dies geschieht, ohne dass Sie dies anweisen.

Also dann ist der Spinzustand klar. Es sagt Ihnen, in welche Richtung es zuverlässig gehen wird, wenn Sie ihm eine Chance geben. Und wenn Sie es in eine anders ausgerichtete Stern-Gerlach legen, wird es gezwungen sein, in eine der beiden Richtungen zu gehen, die diese Ausrichtung zulässt, und es wird sich teilen und in beide Richtungen gehen. Um die Größe jedes Teils zu erhalten, können Sie die Schrödinger-Gleichung entwickeln oder die Eigenvektoren des Operators $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ berechnen und mit dem Eigenvektor des positiven Eigenwerts orthogonal zum anderen Vektor punktieren.

Und ja, es gibt einfachere Möglichkeiten, dies zu tun, und Sie können mehr daraus herausholen. Aber hoffentlich sehen Sie die andere Geometrie.

Können Sie zeigen, wie man dann die $ cos \ theta / 2 $ und $ e ^ {i \ phi erhält } $ Begriffe?

Ich habe die Pauli-Spinoperatoren verwendet. Wenn Sie eine Basis auswählen möchten, können Sie sie als Matrizen schreiben (ein Operator ist eine Funktion in einem Vektorraum Nachdem Sie eine Basis ausgewählt haben, steht eine Matrix für einen Operator. Der Operator ist vorhanden und derselbe, unabhängig davon, welche Basis Sie später auswählen oder nicht. $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Und der Eigenvektor mit positivem Eigenwert ist $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ es sei denn, $ n_z = 1 $, dann ist es $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Lassen Sie uns den Fall von behandeln $ n_z = 1 $ zuerst, in diesem Fall $ a = 1 $ und $ b = 0 $ und $ \ theta = 0 $, also $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ all funktioniert.

Wenn Sie den Eigenvektor als Einheitsvektor schreiben möchten, erhalten Sie $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Wenn Sie die Phase so anpassen möchten, dass die erste Koordinate real und positiv ist, erhalten Sie $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

Der Rest ist Trigometrie, z. B. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Also müssen wir nur zeigen, dass $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ und das $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Letzteres ist eine Triggeridentität $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Ersteres ist $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

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• Warum brauchen wir eine 3D-Kugel und nicht nur einen Kreis in einer Ebene? Wenn wir uns das Qubit als die 2 möglichen Werte des Spins eines Atoms oder seiner Überlagerung vorstellen … Was ‚ ist die physikalische Bedeutung des Azimutwinkels ϕ?

A. Zwei-Zustands-Systeme

Es sei ein Zwei-Zustands-System, wobei die Zustände unabhängig von den Raum-Zeit-Koordinaten sind. In diesem Fall hat das System einen neuen Freiheitsgrad . Ein klassisches Beispiel ist ein Teilchen mit Spin-Drehimpuls $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Lassen Sie die beiden Zustände dort die entsprechen Grundzustände \ begin {Gleichung} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {Gleichung} namens up bzw. down .

Ein Systemzustand wird durch den Zustandsvektor \ begin {Gleichung} \ ausgedrückt vert \ psi \ rangle = \ xi \ vertu \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {wobei} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {und} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {Gleichung} Die komplexen Zahlen $ \: \ xi, \ eta \: $ sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden und die nicht negativen Realzahlen $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ die Wahrscheinlichkeiten für das System im Zustand $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ .

Der Hilbert-Raum der Systemzustände ist in vielerlei Hinsicht identisch mit (der Einheitskugel) des komplexen Raums $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Eine beobachtbare Größe des Systems würde durch einen $ \: 2 \ dargestellt times2 \: $ hermitische Matrix A der Form \ begin {Gleichung} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {Gleichung} also der lineare Raum des $ \: 2 \ times2 \: $ hermitische Matrizen sind in vielerlei Hinsicht identisch mit $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Aus der üblichen Basis von $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ konstruieren wir eine Basis für diesen Matrizenraum \ begin {Gleichung} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v Phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {Gleichung}

Nun, wenn die Grundzustände $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ der Gleichung \ eqref {01} entsprechen den Eigenzuständen der Eigenwerte $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ eines Observablen, dann würde dieses Observable durch die Matrix
\ begin {Gleichung} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {Gleichung} nicht in \ eqref {04} enthalten. Anstelle der Basis \ eqref {04} könnten wir jedoch die folgenden linearen Kombinationen verwenden: \ begin {align} E „_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E „_2 \! = \! E_2 \! = \! \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E „_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \! hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E „_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} und Ändern von Symbolen und Anordnung

\ begin {Gleichung} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \. boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {Gleichung} wobei $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ die Pauli-Matrizen .

Nun sind die Grundzustände $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ der Gleichung \ eqref {01} sind Eigenzustände von $ \: \ sigma_3 \: $ , daher muss es mit dem Index $ \: „ausgedrückt werden. 3 „\: $ \ begin {Gleichung} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {Gleichung} Dies muss für die Wahrscheinlichkeitsamplituden $ \: \ xi, \ eta \: $ auch \ begin {Gleichung} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {und} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {Gleichung} Der Grund dafür ist, dass wir als Grundzustände des Hilbert-Raums gleich gut die Eigenzustände $ \: \ vert u_1 \ rangle, verwenden können. \ vert d_1 \ rangle \: $ von Eigenwerten $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ von $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {Gleichung} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {Gleichung} , so dass \ begin {Gleichung} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {und} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {Gleichung} oder der für $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {Gleichung} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {Gleichung} , so dass \ begin {Gleichung} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {und} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {Gleichung} Die Eigenzustände $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ sind in Abbildung 04 schematisch dargestellt.

Nun \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} also \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ left eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Auch \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} In den Gleichungen \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} von $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ bezeichnen wir das komplexe Konjugat der komplexen Zahl $ \: z \: $ und mit $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ die Real- und Imaginärteile von $ \: z $ .

Da $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ setzen wir (siehe Abbildung 01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \ :, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {Polarwinkel in Bezug auf $ x_3- $ Achse} \: \ :, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} so \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {Azimutwinkel in Bezug auf die $ x_3- $ Achse} \: \ :, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Unter diesen Definitionen \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} und Gleichungen \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} ergeben die folgenden Wahrscheinlichkeiten \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Beachten Sie, dass der Status $ \ vert \ psi \ rangle $ von Gleichung \ eqref {09} könnte ausgedrückt werden als \ begin {Gleichung} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {Gleichung} oder Ignorieren der Phase Faktor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {Gleichung} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {Gleichung}

B. On Sphere – In Ball

In Abbildung 01 sehen wir die Details der Definitionen \ eqref {18a}, \ eqref {18b} und \ eqref {18c}. Dies ist eine ebene Ansicht von einem Punkt auf der Ebene des Kreises $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ in Abbildung 03. Beachten Sie, dass diese Abbildung 01 gültig ist, wenn alle Indizes $ \: „3“ \: $ durch $ \ ersetzt werden : „1“ \: $ oder $ \: „2“ $ . Die Definition und Bedeutung verschiedener Punkte wird im Folgenden angegeben.

In Abbildung 02 sehen wir die Geometrie der Gleichungen \ eqref {21a}, \ eqref {21b} und \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Dies ist eine ebene Ansicht von einem Punkt auf den Positiven der Achse $ \: x_3- $ .

Sehen Sie hier eine 3D-Ansicht von Abbildung 03

In Abbildung 03 haben wir eine Kugel mit dem Durchmesser 1 in einem dreidimensionalen Raum $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ ist nicht identisch mit dem physischen Raum. Auf der Kugel repräsentiert ein Punkt $ \: \ Xi \: $ einen Zustand des Systems \ begin {Gleichung} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {Gleichung} Nun zu $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: on \: \: + 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: repräsentiert \: \: the \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = Punkt \: \: auf \: \: – 1/2 \: \: von \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! Achse \: \: repräsentiert \: \ : das \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of \: \: the \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! Achse \ Tag {26.03} \ Label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = Größe \: \: von \: \: Wahrscheinlichkeit \: \: Amplitude \: \: von \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: Eigenzustand \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = Größe \: \: von \: \: Wahrscheinlichkeit \: \: Amplitude \: \: von \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = Wahrscheinlichkeit \: \: von \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = Wahrscheinlichkeit \: \: von \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ Boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ Boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: Winkel \: mit \: Respekt \: zu \: dem \: x _ {\ Boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimuthal \: angle \: with \: respekt \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ Tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = half \: der \: polar \: angle \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = Radius \: von \: der \: Kreis, \: Schnittpunkt \: von \: der \: Kugel \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: with \: the \: plane \: through \: point \: \ Xi \: normal \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Kommentare

• wie immer tolle Figur.
• Ich habe keine ‚ verstehe nicht, wenn Sie sagen, dass (05) nicht ‚ nicht in (04) enthalten ist, ist nicht ‚ t es $ E_3 $? Außerdem verstehe ich ‚ nicht, wie $ E_3 – E_4 $ nicht ‚ nicht alle Nullen und ein -2
@ gary69: Willkommen bei PSE. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Es war ein Tippfehler in Gleichung $ \ eqref {04} $, den ich nach rechts bearbeite. Wenn Sie in Zukunft den Ruf meiner Antwort sehen können, werden Sie feststellen, dass dieser Tippfehler in der 7. Ausgabe vom 25. August 2020 gemacht wurde.

Ein bloß erweiterter Kommentar, der die feine Antwort von @Timaeus auf eine einprägsamere Form rationalisiert.

Der Zustandsvektor
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definiert eine reine Zustandsdichtematrix durch ihren Projektionsoperator $$ \ bbox [gelb] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Beachten Sie die offensichtliche Invarianz unter Gesamtumphasierung von $ | \ psi \ rangle $ .

Der Ausdruck allgemeine Prinzipien „ dieser idempotenten hermitischen Dichtematrix ist offensichtlich auch $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ mit $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Das heißt, die Die Achse $ \ hat z $ dreht sich um volle (adjungierte) Drehwinkel zur Achse $ \ hat n $ Angeben eines Halbwinkel-Operatorausdrucks (Spinor, Fundamental).

Denken Sie an Photonenspin

Das Nachdenken über diesen konkreteren Fall hat mir geholfen, einige nützliche Bilder in meinen Kopf zu bekommen. Es gibt sogar ein bekanntes mehr Optikorientiertes Analogon: Die Poincaré-Kugel .

Photonenspin ist eine Zwei-Zustands-Quantensystem , das, wie Frobenius erwähnt , das Modell der Bloch-Kugel ist.

Photonenspin ist ebenfalls einfach experimentell verstehen / visualisieren / manipulieren.

Physikalische Polarisationsfilter

Zuerst Lassen Sie uns über das Konkreteste nachdenken: die Polarisatorfilter.

Es gibt zwei Arten von Polarisatorfiltern, an die Sie denken könnten:

• linearer Polarisator, in einem beliebigen Winkel zwischen -90 und 90.

  ZB Hier ist eine bei 90 Grad:

  

  und hier ist eine bei 45 Grad:

  

  und hier ist eine bei 0 Grad:

  

  Quelle

  Wikipedia beschreibt einige Möglichkeiten, solche Filter zu erstellen, und die obigen Bilder sind Polariod-Filter , die in Sonnenbrillen und in der Fotografie verwendet werden und daher leicht verfügbar sind

  Aus quantenmechanischer Sicht machen die 90- und 0-Grad-Orientierungen die gleiche Messung: Der einzige Unterschied besteht darin, dass einer das Photon passieren lässt, der andere es blockiert. Aber wir können beide gleichermaßen verwenden Bestimmen Sie den Grad der linearen vertikalen Polarisation des Photons: Sie müssen nur das Komplement des Werts nehmen ue.

  Und da jede Messung einer hermitischen Matrix entspricht, können wir sowohl 0 als auch 90 mit einer einzigen Matrix darstellen:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Und die Matrix für 45 Grad lautet:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• Zirkularpolarisator, der , wie Wikipedia erklärt , normalerweise mit einer Viertelwellenplatte + einer linearen Platte hergestellt wird Polarisator:

  

  Quelle .

  Die entsprechende Matrix lautet:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Die obigen Matrizen sind die sogenannten Pauli-Matrizen .

Einige interessante Zustandsvektoren

Geben wir nun 6 Polen Namen, die 6 mögliche interessante Photonenzustände auf der Bloch-Kugel darstellen und versuchen Sie zu verstehen, wie sie mit den Filtern interagieren.

Quelle .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { linear 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {kreisförmig im Uhrzeigersinn} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {kreisförmig gegen den Uhrzeigersinn} \\ \ end {alignat *} $$

Das erste, was wir bemerken, ist das Folgende Paare sind alle Basen:

• $ \ vert 0 \ rangle $ und $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ und $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ und $ \ vert -i \ rangle $

Zum Beispiel könnten wir darstellen:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Und dann beobachten wir auch Folgendes:

• $ \ vert 0 \ rangle $ und $ \ vert 1 \ rangle $ sind Eigenvektoren der $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ und $ \ vert – \ rangle $ sind Eigenvektoren von $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ und $ \ vert -i \ rangle $ sind Eigenvektoren von $ M_i $

Wenn wir uns daran erinnern, dass das Ergebnis einer Messung in der Quantenmechanik der Eigenvektor eines Eigenwerts ist, dessen Wahrscheinlichkeit proportional zur Projektion ist, erhalten wir die folgenden Stichprobenwahrscheinlichkeiten für diese Experimente:

• $ \ vert 0 \ rangle $ state on:

  • linearer Polarisator 90 °: 100% pass

  • linearer Polarisator 0 °: 0% Durchgang

  • linearer Polarisator 45 °: 45% Durchgang, weil:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • linearer Polarisator -45 °: 45% Durchgang

  • Zirkularpolarisatoren: 45% Durchgang.Dies liegt daran, dass ein linearer Zustand 0 in zwei zirkulare Polarisationen zerlegt werden kann:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • linear 90 °: 0% pass
  • linear 0 °: 100% pass
  • linear 45 °: 45% bestanden
  • linear -45 °: 45% bestanden
  • kreisförmig: 45% bestanden

span class = „math-container“> $ \ vert + \ rangle $ :

• linear 90 °: 45% pass
• linear 0 °: 45% pass
• linear 45 °: 100% Durchgang
• linear -45 °: 0% Durchgang
• Zirkularpolarisatoren: 45% Durchgang