Ich habe einen kontinuierlichen Strahl über eine mittlere Spalte (nicht sicher, ob ich ihn richtig gezeichnet habe oder nicht)
Das Verschiebungs- und Kraftdiagramm sieht wie folgt aus:
Das erste Diagramm ist das Biegemoment, das zweite die Axialkraft, das dritte die Verschiebung.
Nun, was ist die Randbedingung bei $ R_A $, $ R_B $ und $ R_C $?
Nach dem, was ich schließen kann, scheint es
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (entspricht der Auslenkung an den drei Trägern)
$ M (0) = M (2L) = 0 $ oder $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (entspricht dem Moment).
Aber ich vermute, dass mir noch einige Randbedingungen fehlen, um leiten Sie das vollständige Verschiebungs- / Kraftdiagramm für den Kontinuum ab Strahl. Gibt es Randbedingungen, die ich verpasst habe?
Antwort
Nun, Sie vermissen die Kompatibilität der Pisten an der mittleren Stütze :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
Im Fall von symmetrische Geometrie & Beim Laden ist die Neigung des Trägers am mittleren Träger Null.
Da das Biegemoment bei x = L keine Ableitung hat, werden Sie Die Auslenkungen der beiden Hälften müssen separat abgeleitet und kompatibel „zusammengefügt“ werden.
Update: Ableitung der Strahlablenkungsformel:
Ausgehend von der Euler-Bernoulli-Strahlgleichung (unter der Annahme eines konstanten EI) und x von außen unterstützt zur Mitte hin: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Viermalige Integration:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Wenn das Problem symmetrisch ist, sind die Randbedingungen: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Daher können wir sofort sehen, dass: $ B = D = 0 $
Wir haben jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (A, C). Beim Lösen finden wir: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Wir können jetzt alle ersetzen die Konstanten zurück in die Gleichung für w. Vereinfachung der Ergebnisse in:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Dies ist identisch mit dem angegebenen Ergebnis hier (beachten Sie, dass das Koordinatensystem in der Mitte x = 0 hat). Beachten Sie auch, dass dies genau das gleiche Ergebnis ist wie ein gestützter Cantilever . Dies liegt an der Symmetrie, was bedeutet, dass die Strahlneigung in der Mitte Null ist (was die gleiche Randbedingung wie bei einem Ausleger ist).
Sie können auch die Biegemomentgleichung einsetzen:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Kommentare
- a) Die Kompatibilität der Neigungsbedingung ist nur hilfreich, wenn man den kontinuierlichen Strahl als zwei Spannbalken modellieren kann. Wie ist es in diesem Fall hilfreich? b) Warum sagen Sie, dass das Biegemoment bei $ L $ diskontinuierlich ist? Das Momentendiagramm in meiner Frage zeigt deutlich, dass es kontinuierlich ist.
- Wäre dankbar, wenn Sie etwas näher darauf eingehen können und wenn Sie zeigen können, wie Ihre Randbedingungen zum Diagramm des Verschiebungs- / Biegemoments für den kontinuierlichen Strahl führen können .
- @Graviton, a) Ich werde die Frage mit der Ableitung aktualisieren. b) Sie haben Recht, ich war ein bisschen locker mit meiner mathematischen Terminologie. Was ich meine ist, dass das Biegemoment bei x = L keine Ableitung hat.