Die sieben Benchmark-Zahlen?

Ein anständiger Band über elementare Mathematik ist Mathematik für Grundschullehrer (Beckmann, 2010). Das Buch soll dazu beitragen, das Wissen der Lehrer über die Mathematik zu vertiefen, die hinter den Ideen in Grundlehrplänen steht (insbesondere Reformlehrpläne, denke ich). Daher ist es oft ein guter Ort, um nach solchen Dingen zu suchen.

Benchmarks (auch als „Orientierungspunkte“ bezeichnet) werden im Zusammenhang mit dem Vergleich von Brüchen eingeführt. Wenn Schüler versuchen, festzustellen, um welchen Bruch es sich handelt Größer, $ \ frac {4} {9} $ oder $ \ frac {3} {5} $. Eine vorgeschlagene Strategie besteht darin, dass die Schüler über ihre Beziehung zu einer anderen Zahl nachdenken, z. B. dem Bruch $ \ frac {1} { 2} $:

Beim Vergleich von $ \ frac {4} {9} $ und $ \ frac {3} {5} $ durch Vergleichen beider Brüche mit $ \ frac {1} {2} $ haben wir $ \ frac {1} {2} $ als Benchmark (oder Landmark) . Die Brüche $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ und $ 1 $ eignen sich gut als Benchmark. (S. 73)

Aus diesem Text geht hervor, dass die Zahlen etwas willkürlich sind ;; Es gibt keine endgültige Liste von Benchmark-Zahlen. Die Schüler würden einen Bruch-Benchmark wählen, der ihnen beim Vergleichen hilft.

Ich kann nicht sagen, ob andere Benchmarks auf die gleiche Weise verwenden (ein kurzer Blick auf einige Andere Bücher, die ich in Reichweite habe, zeigen den Begriff nicht an. Die Verwendung von hier ist jedoch klar: ein Benchmark Zahl ist eine Zahl, die nützlich ist, um über ein Problem nachzudenken. In diesem Fall wird der Benchmark als Referenzpunkt für den Vergleich von Brüchen verwendet.

Die Absicht ist, eher das Denken als das Verfahren zu fördern. Einige Schüler haben Algorithmen Es wird ihnen beigebracht, sie für den Bruchvergleich zu verwenden, wodurch sie das mathematische Denken durch ein paar auswendig gelernte Schritte und einige Arithmetik ersetzen können. Das Denken ermöglicht es ihnen jedoch, Vermutungen zu üben, eine Rechtfertigung für ihre Antwort zu finden und schließlich einen Weg zu finden verteidigen ihre Antwort anders als „das ist, was das Verfahren hervorgebracht hat.“

Ich sollte th Tinte jede nützliche Zahl, die zum Denken verwendet wird, könnte als Benchmark bezeichnet werden. In meiner Antwort auf eine andere Frage (hier zu sehen) schrieb ich beispielsweise über das Denken von Schülern, das einen Subtrahend in die Zahl $ 2000 $ umwandelt. In diesem Fall ist $ 2000 $ nützlich.

Eine andere Art von mathematischem Denken, das von einem Benchmark profitieren könnte, ist die Schätzung. Zahlen können durch nahegelegene Benchmarks ersetzt werden, die eine schnellere Berechnung ermöglichen, wenn das Ziel darin besteht, nur eine Antwort zu finden (eine oft sehr nützliche Strategie für viele reale Anwendungen).

Zusammenfassend: Ich glaube nicht, dass eine endgültige Liste von Benchmarks unterstützt wird. Dr. Beckmann liefert Vorschläge („gut zu verwenden“), aber der eigentliche Test ist, ob sie für den Denker inmitten ihrer mathematischen Überlegungen nützlich sind.

Zitierte Werke:

Beckmann, S. (2010). Mathematik für Grundschullehrer. New York: Pearson Addison-Wesley.

Kommentare

• Vielleicht ‚ Ich bin nur faul, aber als Kind würde ich nur die Dezimalerweiterung berechnen, um zwei Brüche zu vergleichen. I ‚ Ich habe eine Geschichte der Physik gelesen, die dieses Gefühl widerspiegelt … dass das Dezimalzahlensystem für den Approximationsaspekt von Newtons ‚ Denken äußerst wichtig war … aber ich ‚ bin kein Experte.
• @ JamesS.Cook ‚ ist nicht faul, die Darstellung zu verwenden, die bes Es passt zu Ihren Fähigkeiten und der jeweiligen Anwendung. Die Arbeit im Klassenzimmer hat natürlich ein zusätzliches Lernziel. In diesem Fall wenden wir uns der Argumentation für den Vergleich zu (insofern steht sie im Gegensatz zu einigen anderen “ Trick “ -Methoden). Welche Neugierde hat aus Neugier, als Sie als Kind Brüche mit Dezimalstellen verglichen haben, die gebrochenen und dezimalen Darstellungen miteinander verbunden? Mit anderen Worten, wie haben Sie sich informell bewiesen, dass die Dezimaldarstellung wirklich dieselbe Zahl war?
• Wenn ich mich erinnere, und das ist umstritten, glaube ich, dass es die Standardbedeutung war. Zum Beispiel ist $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, also bauen wir die Dezimalstellen aus der Addition ganzzahliger Vielfacher von $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … zusammen. Die Notwendigkeit von Serien wurde erst viel später erkannt, Annäherungen reichten für meine Zwecke als Kind aus. Ich erinnere mich nicht daran, über Konvergenz auf dem Spielplatz nachgedacht zu haben.
• @JamesS .Cook Die Art von “ atomarem “ Wissen hier ist also, dass $ \ frac {1} {10} = 0.1 $ (und so) für andere Fraktionen mit Zehnerpotenzen). Aber Sie müssten auch $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $ rechtfertigen. Auf den ersten Blick sieht dies komplexer aus als der Vergleich von zwei Brüchen basierend auf einem Benchmark (d. H. Sie ‚ würden diese Benchmark-Strategie zu diesem Zeitpunkt nicht mehr benötigen). Ihre Zehnerpotenz-Brüche sind offensichtlich ein wesentlicher Bestandteil des Verständnisses, wie der Stellenwert auf Bruchwerte angewendet wird.