Erhaltung des 4-Impulses in der speziellen Relativitätstheorie

Ich verstehe, dass das innere Produkt zweier 4-Vektoren unter den Lorentz-Transformationen

Ja, $ p_1.p_2 $ ist eine Lorentz-Invariante

Damit der absolute Wert der vier Impulse ist in jedem Referenzrahmen gleich.

Es i Es ist nicht richtig, über den „absoluten Wert“ eines (Quadri) -Vektors zu sprechen. Was in einer Lorentz-Transformation erhalten bleibt, ist $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Dies ist, was ich (höchstwahrscheinlich fälschlicherweise) Denken war mit der Erhaltung des Impulses gemeint.

Nein, die Erhaltung des Impulses ist eine ganz andere Sache. Letztendlich haben Sie eine Theorie, die Felder und Wechselwirkungen beschreibt und durch eine Aktion beschreibt, die durch einige Symmetrien unveränderlich ist. Wenn die Aktion durch räumliche und zeitliche Übersetzungen unveränderlich ist, gibt es eine konservierte Größe, die Impuls / Energie ist.

Ich verstehe nicht, warum Gleichungen wie P 1 = P 2 + P 3 (P i sind 4-Impulsvektoren für verschiedene Teilchen in einer Kollision Zum Beispiel) sollte innerhalb eines Referenzrahmens gelten. Mir wurde gesagt, dass Sie bei einer Kollision von Partikeln nicht einfach vier Geschwindigkeiten addieren können. Warum sollten Sie dies also mit den Impulsvektoren tun können?

Wenn die theoretische Aktion durch Raum / Zeit-Übersetzungen unveränderlich ist, bleibt der Impuls / die Energie erhalten, sodass der Gesamtimpuls / die Gesamtenergie der Anfangsteilchen der Gesamtmenge entspricht Impuls / Energie der endgültigen Teilchen:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Wenn mehrere Anfangsteilchen vorhanden sind, werden sie als unabhängig betrachtet (der globale Zustand ist das Tensorprodukt der Zustände der Anfangsteilchen). Die Unabhängigkeit bedeutet, dass Sie habe:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ wobei die Summe ungefähr ist t alle anfänglichen Partikel. Eine ähnliche Gleichung gilt für die endgültigen Partikel.

Wenn Sie in der speziellen Relativitätstheorie zwei Geschwindigkeiten hinzufügen, müssen Sie verwenden die Formel

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Sie können also nicht einfach zwei Geschwindigkeiten addieren. Normalerweise ist die Geschwindigkeit keine gute Variable, um mit der speziellen Relativitätstheorie zu arbeiten. Es ist viel einfacher, die Vier-Impuls-Erhaltung zu verwenden, die einfach durch

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

für eine Partikelkollision gegeben ist, bei der zwei Teilchen mit $ p_1 $ und $ p_2 $ kollidieren und kleben dann zusammen und haben den Impuls $ p $. Da der Vierimpuls durch

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c gegeben ist \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

Die Erhaltung von vier Impulsen ist nichts anderes als die Erhaltung von Energie $ E $ und die Erhaltung von drei Impulsen $ \ vec {p} $.

So beantworten Sie Ihre Fragen:

Warum kann Wir fügen bei einer Teilchenkollision vier Impulse hinzu, weil die Energie- und Impulserhaltung auch für die Relativität gilt.

Warum kann „t fügen wir bei einer Partikelkollision vier Geschwindigkeiten hinzu? Weil es weder klassisch noch relativ gesehen eine „Geschwindigkeitserhaltung“ gibt.

Kommentare

• Diese Antwort war großartig. Ich habe eine klärende Frage: Wird $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ invariant sein, also $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Sie können einfach jede Komponente überprüfen und sie sind nur Impulserhaltung in 3-Impuls. Es gibt keine Geschwindigkeitserhaltung, daher können Sie sie nicht addieren.