Zunächst ist es ein ziemlich langwieriges Hausaufgabenproblem. >
Ein Teilchen mit einer Masse, die dem 208-fachen der Masse eines Elektrons entspricht, bewegt sich in einer Kreisbahn um einen Ladungskern $ + 3e $. Angenommen, das Bohr-Modell des Atoms ist auf dieses System anwendbar,
- Leiten Sie einen Ausdruck für den Radius der $ n $ -ten Bohr-Umlaufbahn her.
- Ermitteln Sie den Wert von $ n $ für die der Radius gleich den Radien der ersten Umlaufbahn von Wasserstoff ist.
- Ermitteln Sie die Wellenlänge der Strahlung, die emittiert wird, wenn rotierende Teilchen von der dritten Umlaufbahn zur ersten springen.
Nun habe ich den ersten Teil gemacht und die Antwort richtig verstanden. Folgendes habe ich getan.
Angenommen, die Masse des sich drehenden Partikels ist $ M $, seine Geschwindigkeit ist $ v $ und $ M = 208 m_ {e} $. Die elektrostatische Kraft ist die Zentripetalkraft Daher
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Nach dem Bohr-Modell ist
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
wobei $ h $ die Plancksche Konstante ist. Daher
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Quadrieren,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen, die $ v ^ 2 $ enthalten ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Nach dem Auflösen nach $ r $ erhalten wir ungefähr Folgendes:
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Alle obigen Angaben sind korrekt. Das Problem liegt im zweiten und dritten Teil; Wenn ich $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ setze, erhalte ich NICHT die erforderliche Antwort. Um mich dem dritten Teil zu nähern, begann ich mit der Standard-Rydberg-Gleichung
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Ich habe jeden Wert eingegeben, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; Aber auch hier wurde die Antwort nicht richtig verstanden.
Die Antwort auf den zweiten Teil lautet 25 $ (n = 25) $ und auf den dritten Teil 55,2 Pikometer.
Antwort
So beantworten Sie den zweiten Teil:
Wir kennen $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Teil eins hat einen Fehler, da er
ist $$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ impliziert & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Wir kennen auch den Bohr-Radius:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ ca. 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Daher können wir schreiben und abbrechen:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ daher & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ daher & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ ca. 25 \ end {align} $$
Der dritte Teil:
Die Rydberg-Formel lautet
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
mit dem Rydberg $ \ mathcal {R} $ -Konstante, definiert für ein von einem Elektron emittiertes Photon. Wir nehmen an, dass die Masse des Kerns 7 Atomeinheiten (drei Protonen + vier Neutronen) beträgt. Unter Berücksichtigung von $ m_p \ ca. 1836m_e $ kommen wir zu
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nun muss die Rydberg-Konstante geändert werden, um die einzuschließen Masse des Partikels:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {Me ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Mit $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), ich muss $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Ohne Berücksichtigung der reduzierten Masse, dh $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ , zu dem ich gekommen bin $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Beide Werte liegen ziemlich nahe an der angegebenen Lösung.
(Wenn die Frage wirklich das Myon betraf, beträgt das genauere Gewichtsverhältnis 206,77 und die entsprechenden Wellenlängen 55,1 pm und 56,0 pm.)