In einem regulären Pentagramm (5-Punkt-Stern) beträgt der Winkel in jedem Punkt 36 Grad, also die Winkel in allen fünf Punkten Summe auf 180 Grad:
Was ist mit einem unregelmäßigen Pentagramm wie dem folgenden?
Jetzt können die Winkel alle unterschiedlich sein. Die Situation ist viel komplizierter. Können Sie beweisen, dass die Winkel in allen fünf Punkten immer noch 180 Grad betragen?
Einschränkungen (um zu verdeutlichen, dass dies weder ein mathematisches Problem [im Gegensatz zu einem mathematischen Puzzle] noch eine Rechenübung oder eine fortgeschrittene euklidische Geometrie ist):
- keine arithmetischen Operationen erlaubt (Addition, Multiplikation, …)
- Sie können ein neues Liniensegment auf den Stern zeichnen, aber nicht mehr als dieses
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- Entschuldigung, Rand, aber ich denke, dies ist nur ein weiteres mathematisches Problem … (“ beweisen „, “ Winkel „, “ Summe „, “ 180 Grad „)
- @MarkN Nach dem kanonischer Meta-Beitrag zu diesem Thema ist das Zeichen eines mathematischen Puzzles im Gegensatz zu Problem zu haben Eine clevere oder elegante Lösung, häufig ein “ aha “ Moment , eine unerwartete Problemstellung oder ein unerwartetes oder nicht intuitives Ergebnis . Die Lösung, an die ich denke, hat definitiv die erste dieser Funktionen und IMO auch die letzten beiden.
- Dies ist kein ‚ ein Mathe-Puzzle – es ‚ ein logisches Rätsel. Normalerweise lernen Sie diese Logik nur von jemandem, der auch Mathematik unterrichtet.
Antwort
$ \ hskip 1.5in $ 
nicht verträumt?
Dies ist das Bild eines Pfeils, der jeden der aufeinanderfolgenden Winkel einfegt der Stern. Beachten Sie, dass nach dem Verfolgen aller $ 5 $ -Winkel die Ausrichtung umgekehrt wird. Dies bedeutet, dass $ 180 ^ {\ circ} $ gedreht wurde und dies die Summe der Winkel sein muss. Wir können das Gleiche mit dem Stern in Ihrer Figur tun, also seine Winkel summieren sich ebenfalls auf $ 180 ^ {\ circ} $.
Eine Verallgemeinerung:
Wir können dasselbe mit einer Figur wie dieser machen, deren Winkel sich auf $ 180 ^ {\ circ} $ summieren: $ \ hskip 1.5 Geben Sie in $ 
Wir können dies auch für ein Dreieck tun. Die wichtige Eigenschaft ist folgende:
Es dürfen keine Eckpunkte des Sterninneren zum Kegel vorhanden sein, der von einem Strahl durchquert wird einen bestimmten Winkel.
Erfüllt diese Bedingung – was im Grunde bedeutet, dass wir niemals Scheitelpunkte „ignorieren“ müssen, sondern nur den Pfeil drehen und sehen, was es ist Treffer – Wir stellen fest, dass wir die Scheitelpunkte „im Uhrzeigersinn“ anordnen können, sodass bei jedem Winkel entweder der Kopf oder das Ende des Pfeils zum nächsten Scheitelpunkt in der Reihenfolge gelangen (und sie wechseln sich ab). Offensichtlich machen sowohl Kopf als auch Schwanz eine volle Umdrehung, wenn doppelt so viele Winkel wie Scheitelpunkte verfolgt wurden, was das gewünschte Ergebnis ergibt.
(Man könnte meine Bedingung auch als „Zuweisen der Scheitelpunkte die Zahlen $ 1 $“ ausdrücken von $ 2n + 1 $ im Uhrzeigersinn gesehen, von einem zentralen Punkt aus gesehen, muss es sein, dass $ 1 $ mit $ n $ und $ n + 1 $ verbunden ist und alle anderen Punkte analog verbunden sind „)
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- (Auch für das, was es ‚ wert ist, hat mir dieses Rätsel sehr gut gefallen, auch wenn meine Antwort nicht die ist beabsichtigte – ich hatte eine gute, “ Nun, das ‚ ist offensichtlich “ Moment, gefolgt von ein paar Stunden intensiven Kopfkratzens, um herauszufinden, warum es offensichtlich war, gefolgt von “ Aha! Es war offensichtlich! „)
- Ich nehme an, Ihr Kommentar ist ein Verweis auf diesen Witz ? =)
- Akzeptiert, weil ‚ noch schöner ist als die Antwort, nach der ich auch gesucht habe, und auch eine Verallgemeinerung abdeckt.
Antwort
Platzieren Sie Ihren Stift in Zeile 1.
Drehen Sie Ihren Stift so, dass er mit Linie 2 übereinstimmt. Sie haben ihn gerade um den Winkel oben im Pentagramm gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Drehen Sie ihn nun erneut gegen den Uhrzeigersinn auf Linie 3. Dann wieder auf Zeile 4, dann 5 und schließlich zurück zu 1. Sie haben gerade Ihren Bleistift nacheinander durch alle fünf Winkel des Pentagramms gedreht.
Und was ist passiert? Der Stift liegt jetzt auf derselben Linie, an der er begonnen hat, und zeigt in die entgegengesetzte Richtung.Wenn Sie verfolgen, in welche Richtung der Stift bei jedem Schritt zeigt, können Sie sehen, dass Sie ihn insgesamt um eine halbe Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn gedreht haben. Woher $ 180 ^ \ circ $.
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- Dies ist ein schöner Beweis, wenn Sie ihn optimieren, um die Möglichkeit auszuschließen, dass Sie den gedreht haben Bleistift durch ein anderes ungerades Vielfaches von $ 180 ^ \ circ $. Mit dieses Heptagramm zeigt der Bleistift ebenfalls in die entgegengesetzte Richtung, hat sich jedoch um $ 540 ^ \ circ $
- gedreht. Es gibt eine kontinuierliche Verformung von das Referenzpentagramm zu einem deformierten Pentagramm. Daher kann die Drehung nicht von einem Vielfachen von 180∘ zu einem anderen springen.
- Grundsätzlich jedes $ \ {m: n \} $ – Gramm, wobei $ n < \ frac m 2 $ dreht $ 360 \ mal (\ frac m 2 – n) $ Grad.
- Schöne Erklärung Lopsy … einfach, sauber 🙂 Ich wollte sagen, nimm 4 Winkel und visuell Fangen Sie an, sie auf 0 zu reduzieren. Überlegen Sie, wie der Stern dabei aussieht. Der fünfte Winkel wächst weiter, bis 4 Winkel 0 sind und der fünfte 180 (dh eine gerade Linie). ) Aber ich mag die Erklärung von Lopsy ‚ besser ..;)
- Das Schöne an dieser Antwort ist, dass sie nicht ‚ Ich lese nicht wie ein mathematischer Beweis. Jeder kann es verstehen.
Antwort
Hier ist ein weiterer Beweis.
Bezeichnung Geben Sie die Punkte wie gezeigt ein und zeichnen Sie das Liniensegment CD. Verwenden Sie A, B usw., um die Winkel anzugeben, für die wir die Summe ermitteln sollen.
Jetzt
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (Winkel in einem Dreieck)
Es reicht also aus, zu beweisen, dass
$ \ Winkel ADC + \ Winkel DCA = B + C + D + E $
Jetzt
$ \ angle ADC = D. + \ angle BDC $ und $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
Es reicht also aus zu beweisen, dass
$ \ angle BDC + \ angle E. CD = B + E $
was offensichtlich wahr ist, weil
Die LHS ist die Ergänzung von $ \ angle DFC $ und die RHS ist die Ergänzung von $ \ angle EFB $ , wobei $ \ angle DFC $ und $ \ angle EFB $ gleich sind, weil sie vertikal entgegengesetzt sind
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- Dies ist die Antwort, nach der ich gesucht habe.
- Sie können diese Lösung also nach zwei Regeln destillieren: Winkel in Dreiecken = 180 und entgegengesetzte Winkel von 2 Schnittlinien sind gleich.
- @randal ‚ thor Diese Lösung beinhaltet auch das Hinzufügen, würde also Ihren Einschränkungen nicht entsprechen, oder Sie sollten Ihre Einschränkungen ändern.
- Ja, ich wollte sagen, dass dies nicht so ist, sondern eine der mathematischsten -ish Antworten hier. Das Fehlen von Arithmetik bedeutet nicht, dass es sich nicht um ‚ t math …
Antwort
Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt immer 540 °.
Der Winkel jedes Außenpunkts ist immer die Summe der beiden benachbarten Innenwinkel – 180 °. Wir können dies sagen, da bei gegebenen Innenwinkeln A und B die Winkel des Dreiecks 180 – A, 180 – B, X betragen. Nach der Definition der Winkel eines Dreiecks ist X gleich $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Jeder Innenwinkel des Fünfecks wird zweimal verwendet, und es gibt 5 Punkte, also $ (2 \ mal 540) – (5 \ mal 180) = 180 ° $
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- Ich glaube, dies ist eine Geometrie der Klasse 9, die ihren Kopf herausragt …
- Dies ist komplizierter als der Beweis, an den ich gedacht habe. Ich kann die Frage bearbeiten, um die möglichen Beweise etwas weiter einzuschränken, aber ‚ gebe Ihnen immer noch +1. Könnten Sie Ihren zweiten Satz rechtfertigen? Außerdem verstehe ich ‚ nicht, was der dritte Satz sagt.
- Wenn wir A und B zwei benachbarte Innenwinkel des Fünfecks sein lassen, dann ist der Winkel von Der Punkt im Dreieck ist 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Netter Beweis, aber es wäre cool, wenn Sie ein Bild oder 2 oder verwenden könnten sogar ein GIF!
- Ich denke, es ist ‚ möglich, diesen Beweis zu verallgemeinern, um zu zeigen, dass die Winkel an den Punkten von any n -Grammsumme zu $ 180 ^ \ circ $, vorausgesetzt, die Form verbindet jeden Punkt mit zwei benachbarten Punkten auf dem n -gon.(Beachten Sie, dass das unikursale Hexagramm ‚ das Verbindungskriterium nicht erfüllt; das aus zwei Dreiecken gebildete Hexagramm auch nicht und nur eines der beiden unikursalen Heptagramme.)
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Antwort
Hier ist ein weiterer guter Beweis, diesmal durch Induktion. Wir können das Pentagramm erstellen, indem wir mit dem regulären und beginnen Verschieben von vier Punkten nacheinander. Es reicht also zu beweisen, dass
das Verschieben eines Punktes in einem Pentagramm die Summe der Winkel am nicht ändert Punkte
Lassen Sie „s
Punkt A nach A verschieben und aufrufen sowohl der Winkel bei A als auch der Winkel bei A „der obere Winkel
Wir erhalten Folgendes:
Es reicht aus, zu beweisen, dass
die Änderung des oberen Winkels und die Änderungen des Winkels es bei C und D summieren sich zu Null.
In diesem neuen Diagramm
Wir zeigen
die Änderung des oberen Winkels als $ xw $ und die Änderungen bei D und C als $ -y $ und $ z $,
und wir müssen beweisen, dass
$ xw-y + z = 0 $, oder mit anderen Worten, dass $ x + z = w + y $,
, was nach wie vor offensichtlich ist, weil
LHS und RHS sind die Komplemente vertikal entgegengesetzter Winkel bei G.
Antwort
Ein anderer Ansatz:
Ausgehend vom regulären Stern wissen wir, dass $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Zeichnen wir nun ein Liniensegment wie im Diagramm gezeigt.
Beachten Sie, dass $ B, D, E $ bleiben unverändert! Aus unseren Beobachtungen geht hervor, dass $ Y = C – X $ und $ Z = A + X $.
Somit ist die Summe der Punkte unseres neuen Sterns $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
So können wir weiterhin Segmente zeichnen und neue Sterne erstellen (und neu skalieren) sie), bis wir die gewünschte Form erreicht haben.
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- Schön, aber können Sie vielleicht etwas hinzufügen, um es intuitiver zu machen, dass Sie eine machen können Allgemeines unregelmäßiges Pentagramm durch eine Folge von Bewegungen eines Punktes entlang einer der Linien durch diesen Punkt und Neuskalierungen.
- Ich könnte versuchen, wenn nur die Geometrie ‚ nicht schaden würde Mein Gehirn so sehr D:
Antwort
Es ist unvermeidlich, dass einige Arithmetik muss durchgeführt werden – die beabsichtigte Schlussfolgerung ist schließlich eine quantitative -, daher sollte die Herausforderung nicht t sein o die Arithmetik verstecken oder bei einem anderen Namen nennen, sondern sie offensichtlich und absolut einfach machen. Das folgende Argument reduziert die Arithmetik auf die Beobachtung, dass fünf eins mehr als vier ist (und dass ein Ganzes zweimal die Hälfte ist, eine Tatsache, die im Vorbeigehen verwendet wird).
Der Stern windet sich zweimal um seine Mitte, und daher muss jeder, der ihn durchquert, zwei volle Kreise (vier Halbkreise) drehen. Alle Drehungen erfolgen nur an den Eckpunkten, an denen der maximale Betrag eine vollständige Kehrfläche von einem halben Kreis ist. Für fünf Eckpunkte wären das fünf Halbkreise oder ein Halbkreis mehr als tatsächlich gedreht: 180 Grad. Der Mangel zwischen diesem Maximum und dem tatsächlich erreichten Drehbetrag ist genau die Summe der Innenwinkel QED.
Dieser Ansatz wird in der modernen Mathematik (dh nach dem 18. Jahrhundert) verfolgt. Es verallgemeinert sich auf beliebige Figuren mit beliebigen Abmessungen, die in anderen Figuren gezeichnet sind und selbst gekrümmt werden können. Es ist bekannt als Gauß-Bonnet-Theorem .
Antwort
Es gibt einen kreisbasierten Satz, der besagt: „Das Maß eines eingeschriebenen Winkels ist das halbe Maß des Bogens, den er abfängt.“ Dies bedeutet, dass für den Winkel x der Bogen, den er abfängt, 2x ist. 
Wenn Sie nun den Stern in einen Kreis einschreiben, erhalten Sie Folgendes:
Wenn Sie die vorherige Zeichnung beschriften, erhalten Sie diese;
Mit diesem Satz wissen wir, dass der Winkel ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, und ∠ 5 = b / 2. Wenn wir das verteilen, erhalten wir ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Da sich die Maße aller Bögen in einem Kreis zu 360 addieren, wissen wir außerdem, dass a + b + c + d + e = 360 . Schließlich erhalten wir unter Verwendung der Substitutionseigenschaft ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 oder ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Somit beträgt die Summe aller Winkel 180.
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- ‚ hat einen Fehler in Ihrem Argument: Nicht jedes Pentagramm kann eingeschrieben werden ein Kreis.
- @ThomasKwa Können Sie mir ein Beispiel geben?
- @ user1812 Verschieben Sie einfach einen beliebigen Punkt in Ihrem Beispiel in den Kreis hinein oder aus ihm heraus. Es sind nur drei Punkte erforderlich, um einen Kreis zu definieren, und ein Pentagramm hat fünf.
Antwort
Dieser Beweis in Ein Sinn ist nichts anderes als das Zählen des Winkelgrades.
Denken Sie daran, dass die Innenwinkel eines Fünfecks, ob regelmäßig oder unregelmäßig, 540 betragen. Die Winkel eines Schnittpunkts von 2 geraden Linien summieren sich zu 360, wobei auch die entgegengesetzten Winkel kongruent sind.
Betrachten Sie die 5 Punkte des zentralen Fünfecks, die Punkte, an denen der Schnittpunkt von 2 Linien auftritt. Um diese 5 Punkte herum sind insgesamt 360 x 5 = 1800 Grad und 5 x 4 = 20 zu zählende Winkel.
Von den 20 Winkeln stammen 5 vom Fünfeck, 5 weitere stimmen mit diesen überein. Dies entspricht also 540 + 540 = 1080 Grad. Die Überreste der 1800 – 1080 = 720 Grad stammen aus dem Inneren der 5 Dreiecke.
5 Dreiecke enthalten Innenwinkel im Wert von 5 x 180 = 900 Grad. 720 dieser Grade befinden sich an den Ecken des Fünfecks / Dreiecks / Schnittpunkts.
Dies lässt an den Spitzen des Sterns 900 – 720 = 180 Grad.
Bearbeiten: Die Arithmetik hier ist einfach eine Abkürzung für Winkel Addition und Subtraktion wie in anderen Antworten.
Antwort
Das zentrale Pentagon als A, B, C, D. , E enthält 540 GRAD
Summiere die 5 PAAR-Zusatzwinkel, d. H. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Diese 720 Grad repräsentieren die „Basis“ Winkel der 5 Dreiecke, die 5 * 180 = 900 900-720 = 180 betragen (die 5 gesuchten Winkel.
Die fünf Dreiecke an den Punkten summieren sich zu 5 * 180 = 900
Kommentare
- In der Frage wird ausdrücklich darum gebeten, dies zu beweisen, ohne arithmetische Operationen zu verwenden.