Ist der nicht zylindrische siebenseitige Würfel von GameScience ' ein ausgeglichener / fairer Würfel?

Das eigentliche Experiment ist schwierig

Die verknüpften Würfel in der Frage sind nicht vorrätig, daher nur Personen, die bereits viele dieser Würfel haben und sind bereit, die statistischen Tests durchzuführen, können die “ wahre “ Antwort geben. Ich vermute, dass diese Bevölkerung ziemlich klein ist. Ich denke jedoch, dass die vorhandene Literatur und ein wenig Ableitung eine theoretische und historische Perspektive auf die Fairness dieses d7 geben können.

Es ist möglich, in bestimmten Szenarien ein faires d7 zu haben

Erstens ist es theoretisch definitiv möglich, eine siebenseitige Matrize zu haben. Die gezeigte Matrize ist ein fünfeckiges Prisma. Geometrisch wird die Fairness der Matrize am stärksten durch das Größenverhältnis der fünfeckigen Flächen zu den rechteckigen Seiten beeinflusst . Ich habe ein kurzes Modell der beiden Extreme erstellt:

• Gesichter sind größer als Seiten: Dies entspricht der Form auf der linken Seite. Dieses Extrem begünstigt stark die fünfeckigen Flächen – es ist im Grunde eine Münze, und es ist schwer vorstellbar, dass sie jemals an den Rändern landet.

• Seiten sind größer als die Gesichter: Dies entspricht der Form auf der rechten Seite In diesem Fall ähnelt der Würfel eher einem Bleistift und fällt fast immer auf die Seiten.

Wenn Sie das Größenverhältnis zwischen den Seiten und den Flächen reibungslos anpassen, gibt es einen bestimmten Punkt, an dem sich ein befindet Übergang zwischen der Bevorzugung der Seiten und der Bevorzugung der Gesichter. Dieser Abschnitt ist der Punkt, an dem der Würfel fair ist. Daher ist es möglich, einen fairen 7-seitigen Würfel zu haben.

Dieses magische Verhältnis m ist jedoch Es kann sein, dass nicht alle Bedingungen gleich sind. Diese Antwort auf MathOverflow argumentiert, dass für nicht-isoedrische Würfel die Fairness des Ergebnisses davon abhängt, wie Sie es werfen. Ebenso behauptet diese zufällige Seite im Internet , dass verschiedene Oberflächen das Ergebnis der Rolle beeinflussen könnten. Keine der Quellen liefert harte Beweise für ihre Behauptungen, aber es ist zu bedenken, dass das oben dargestellte Zwischenwertargument nicht beweist, dass ein einzelnes d7 unter all Bedingungen .

Das Patent für this d7 zeigt, dass es auf Fairness getestet wurde

Die Frage ist also, ob diese spezifischen Würfel die erforderliche Geometrie haben, um fair zu sein. Die Produktbeschreibungsseite, auf die das OP verweist, enthält eine Patentnummer: US PAT Nr. D-4,900,034. Diese Nummer entspricht dem Patent “ Zufällige Spielfiguren sowie Layout und Spieltabelle zur Verwendung mit derselben “ von Bernard Bereuter im Jahr 1988.Dieses Patent beschreibt unter anderem die Konstruktion und Fairness für dieses spezielle d7 für Glücksspielzwecke:

Verwenden von gebildeten Spielfiguren Experimente haben gezeigt, dass die gewünschte zufällige Landung der Stücke erreicht wird, wenn das reguläre Fünfeck mit Querschnitt genau in einen Kreis mit einem Durchmesser von 1 Zoll passt (was zu Umfangskanten 3 führt), aus Hartplastik eines Typs, wie er für Standardwürfel verwendet werden könnte mit einer Länge von 0,588 Zoll) und einer Länge des Prismas von 0,753 Zoll für Stücke, die über Filz mit Schaumrücken gerollt sind, der über eine harte horizontale Oberfläche gespannt ist.

…

A. zufälliges Glücksspielspielstück, umfassend ein nicht rechteckiges Prisma … mit gleichmäßig um seinen Umfang beabstandeten Zeichen, wobei die Länge des Prismas sich von der Länge einer Seite des regulären Polygonquerschnitts unterscheidet und gleich der Länge ist, die erforderlich ist, so dass die Wahrscheinlichkeit von Das Prisma, das auf einer seiner Endflächen landet, ist ungefähr gleich al auf die Wahrscheinlichkeit seiner Landung auf einer seiner Seitenflächen.

Also, Herr Bereuter hat anscheinend die empirischen Tests durchgeführt, die erforderlich sind, um das ideale Größenverhältnis für einen fairen siebenseitigen Chip zu bestimmen, zumindest auf einer bestimmten Oberfläche.

Leider, weil Seine Daten sind nicht öffentlich und die Würfel sind derzeit nicht verfügbar. Wir können seine Ergebnisse nicht selbst überprüfen oder wiederholen. Es ist sicherlich möglich, dass die auf dieser Website gekauften Würfel auch aus anderen Gründen nicht fair sind. Dennoch hat der Erfinder dieses d7 eindeutig erhebliche Anstrengungen unternommen, um die erforderlichen Abmessungen für die Erstellung eines fairen Würfels zu bestimmen.

Wenn GameScience die von ihnen zitierten Dimensionen des Patents genau befolgt, ist ihr d7 für RPG-Zwecke wahrscheinlich fair genug. Schließlich war mit dem ursprünglichen Patent der Würfel für Glücksspielzwecke vorgesehen, und meiner Erfahrung nach reagieren TTRPGs weitaus weniger empfindlich auf unfaire Würfel als Glücksspiel.

Kommentare

• Ich habe einen Streit mit dieser Antwort (Entschuldigung, dass ich sie nicht mit Quellen gesichert habe): Die Wahrscheinlichkeit, wenn ein Würfel auf einem Gesicht ruht, hängt (auch) davon ab, wie scharf / rund die Kante ist, wenn der Würfel genug Schwung hat, um zu würfeln über diesen Rand. Da das Trägheitsmoment und die Höhe des Schwerpunkts der Matrize je nach Art der Kante unterschiedlich sind, muss auch die Rundheitsnacht unterschiedlich sein. Ich sehe ‚ nicht, dass dies irgendwo angesprochen wird. Außerdem habe ich ‚ nicht nachgerechnet, wenn der Unterschied für die verschiedenen Gesichter signifikant ist, möglicherweise nicht viel.
• @mart that ‚ ist wahr, und ich habe keine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen. Ich habe versucht, es zu erwähnen, wenn ich sage, dass es andere Gründe geben könnte, warum die Würfel nicht ‚ t sind Messe. Um zu testen, ob Sie ‚ müssen, müssen Sie nicht nur die tatsächlichen Würfel erhalten, die nicht vorrätig sind, sondern auch einige der Würfel, die nicht ‚ haben keine abgerundeten Kanten, sind aber ansonsten identisch.
• Ich frage mich, ob jemand mit einem 3D-Drucker nach dem Scannen einer “ -Vorschrift unterschiedliche Würfel erstellen könnte “ sterben. Spielen Sie dann mit den Parametern an den Kanten.

Nein, sie sind nicht fair, es sei denn, Sie ignorieren die Seiten

Es gibt einige Anforderungen, damit ein einheitlicher fester Würfel fair ist.

Die aktiven Seiten müssen flächentransitiv sein.

Würfel sind nur fair, wenn alle von den Seiten, die verwendet werden, sind gleich wahrscheinlich, auf zu landen. Damit dies zutrifft, muss es flächentransitiv sein, dh alle Seiten haben die gleiche Form. Genauer gesagt …

Isoedrische Figur

In Geometrie, ein Polytop der Dimension 3 (ein Polyeder) oder höher ist isoedrisch oder flächentransitiv, wenn alle seine Flächen gleich sind. Insbesondere müssen alle Flächen nicht nur kongruent, sondern transitiv sein, d. H. Innerhalb derselben Symmetriebahn liegen. Mit anderen Worten, für alle Flächen A und B muss eine Symmetrie des gesamten Festkörpers durch Rotationen und Reflexionen vorhanden sein, die A auf B abbilden. Aus diesem Grund sind konvexe isoedrische Polyeder die Formen, die faire Würfel ergeben.

Isotoxische Figur

Regelmäßige Polyeder sind isoedrisch (flächentransitiv), isogonal (vertextransitiv) und isotoxal (kantentransitiv).

Dieser 7-seitige Würfel ist keines dieser Dinge. Wenn wir jedoch jedes Ergebnis auf den fünfeckigen Seiten ignorieren.

Anders ausgedrückt: Wenn ein Gesicht auf dem Würfel liegt, muss es eine Drehung (mindestens eines) geben, die zu jedem anderen Gesicht, jeder Kante führt. und Scheitelpunkt werden auf dieselbe Stelle wie eine andere Fläche, Kante bzw. Scheitelpunkt abgebildet. Versuchen wir es in 2-d.

Dies ergibt eine gute 2-Dimension sterben. Durch Drehen des Dreiecks um 120 Grad um die Mitte wird jeder Scheitelpunkt und jede Kante des Dreiecks einem anderen zugeordnet. Nehmen wir das auf drei Dimensionen, sagen wir einen Würfel. A d6. Wir sind alle vertraut. Ein d6 ist ein fairer Würfel, da mindestens eine Drehung vorhanden ist, die dazu führt, dass jede Fläche, Kante und jeder Scheitelpunkt auf die Position einer anderen abgebildet wird. Eine dieser Drehungen wäre offensichtlich eine Drehung, die durch „90 Grad auf einer Achse und 90 Grad auf einer anderen“ dargestellt werden kann. Oder in Euler-Winkel 90, 90, 0. Oder, wenn es hilft, 90 Grad Neigung und 90 Grad Gieren. Oder eine beliebige Kombination aus Pitch, Yaw und Roll.

Alle anderen fairen Würfel haben diese Eigenschaft. Es gibt eine Drehung, die jede Fläche, Kante und jeden Scheitelpunkt eines d4 auf eine andere Fläche, Kante und einen anderen Scheitelpunkt abbildet. Es gibt eine für eine d20. Es gibt in der Tat viele Rotationen, die dies für diese fairen Würfel tun. Aber es gibt keine Rotation, die dies für einen d7 tut. Sie könnten es um 180 Grad um die „Auf“ -Achse drehen (weder auf 6 noch auf 7 sitzen), aber dann wäre die Oberkante nicht in die Position einer anderen Kante verschoben worden. Sie könnten es flach auf 6 legen und um 72 Grad drehen, aber dann wären die fünfeckigen Gesichter nicht in ein anderes Gesicht übersetzt worden.

Der Mittelpunkt jedes Gesichts muss gleich weit vom Schwerpunkt entfernt sein.

Wenn es um (faire) Würfel geht, muss der Der Schwerpunkt liegt genau im Mittelpunkt des Objekts. Dies bedeutet, dass alle Gesichter gleich weit davon entfernt sind. Das Ergebnis ist, dass nach einem Wurf jedes Gesicht die gleiche Chance hat, aufzutauchen. Wenn jedoch der Schwerpunkt vom geografischen Mittelpunkt der Matrize wegbewegt wird, ändert sich die Rotationsachse und die Matrize ist nicht mehr fair. Quelle

Das Ändern des Massenschwerpunkts wird als Gewichtung des Stempels bezeichnet. Wenn der Schwerpunkt weiter von der Mitte des Stempels entfernt ist, rollt die effektiv hellere Fläche häufiger nach oben als nicht.

Faire Würfel machen, indem Gesichter ignoriert werden

Würfel mit einer ungeraden Anzahl flacher Gesichter können als „lange Würfel“ gemacht werden. [ 26] Sie basieren auf einer unendlichen Anzahl von Prismen. Alle (rechteckigen) Flächen, auf denen sie tatsächlich landen können, sind kongruent, daher sind sie gleichermaßen fair. (Die anderen beiden Seiten des Prismas sind abgerundet oder mit einer Pyramide bedeckt, die so gestaltet ist, dass der Würfel niemals auf diesen Flächen ruht.) Quelle

Dieser letzte Satz ist der wichtigste Teil. Dieser 7-seitige Würfel ist für die Bereiche 1 bis 5 geeignet, vorausgesetzt, Sie ignorieren das 6 und 7 Gesicht. Wie wir oben gelesen haben, kann jedes Prisma fair sein, vorausgesetzt, die Enden sind „abgedeckt“ oder werden ignoriert ( siehe Long Dice ). Ein echtes d7 würde also aus einem siebeneckigen Prisma bestehen. Wenn man die Enden ignoriert, gibt es eine Drehung, die jede Fläche, jeden Scheitelpunkt und jede Kante auf die Position einer anderen Fläche, Kante und Scheitelpunkt abbildet. Kehren wir zu dem obigen Beispiel zurück. Wir legen es flach auf die 6. Kante und drehen es um 72 Grad. Voila! Jede der Flächen befindet sich jetzt an der Stelle, an der sich früher eine Fläche befand. Jede Kante befindet sich an der Stelle, an der sich eine andere Kante befand, und jeder Scheitelpunkt befindet sich an der Stelle eines anderen Scheitelpunkts . Mit Ausnahme der Kappen, die wir ignoriert haben.

In jüngerer Zeit haben Sie möglicherweise Fasswürfel bemerkt. Sie verwenden dasselbe Grundprinzip, außer dass ihre Seiten eher Dreiecke als Rechtecke sind.

Warum funktionieren nicht symmetrische unorthodoxe Formen nicht?

Das Ergebnis ist, dass die Matrize flächentransitiv ist und einen Schwerpunkt hat, der gleich weit von den Flächenmitten entfernt ist, dass sie dieselbe Kraft in eine Richtung benötigt, um sie umzudrehen, unabhängig davon, welche Fläche sie hat gelandet auf. Wenn wir auf das d7 zurückblicken, können wir leicht erraten, dass das Aufbringen einer Kraft von Gesicht 1 auf Gesicht 2 dieselbe Kraft ist, die es von Gesicht 2 auf Gesicht 3 ändert, wenn es auf dem Tisch ruht. Dies liegt an der Tatsache, dass die Winkel zwischen den Flächen gleich sind und dass die Flächen auf diesen Seiten gleich sind. Es gibt so viel Oberfläche, die den Tisch berührt, wenn „1“ aktiv ist, wie wenn „2“ aktiv ist. Betrachten wir die Gesichter 6 und 7.

Wenn Gesicht 6 oben ist, ist Gesicht 7 unten. Es gibt jetzt eine größere Oberfläche auf dem Tisch. Darüber hinaus ist der Winkel zwischen Gesicht 6 und jedem anderen Gesicht, das es berührt, größer (90 Grad gegenüber 72 Grad). Beides bedeutet, dass mehr Kraft erforderlich ist, um es auf eine der anderen Flächen zu drücken.Wenn also der Würfel fällt und die Fläche 6 oder 7 gegen Ende des Sturzes auf den Tisch trifft und einen Teil seiner Geschwindigkeit und Rotationsgeschwindigkeit verliert, ist es wahrscheinlicher, dass X Kraft not führt dazu, dass der Würfel über dieses Gesicht fällt und auf 1-5 landet.

Kommentare

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