Maximal zu erwartender Unterschied zwischen Spielern bei Verwendung von 4W6 Drop niedrigster

$ \ newcommand {\ E} {\ mathbb {E}} $ (Ich schreibe dies unter der Annahme, dass Sie mit der Manipulation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und -erwartungen vertraut sind, aber hoffentlich nichts Besonderes. Lassen Sie mich wissen, ob ich noch etwas erklären sollte. Ich mache das auch ziemlich rechnerisch, um nur eine Antwort zu bekommen, anstatt zu versuchen, alles von Hand zu machen.)

Nehmen wir an, wir haben $ n = 5 $ Spieler, die jeweils einen Charakter zusammenrollen 6 Fähigkeitswerte, jeweils mit $ X_ {ij} $ bezeichnet. Definieren Sie $ Y_i = \ sum_ {j = 1} ^ 6 X_ {ij} $ als die Summe der Fähigkeitswerte des $ i $ -ten Spielers. Dann fragen Sie nach der Erwartung von $ Z = \ max_ {i , i „} \ lvert Y_i – Y_ {i“} \ rvert = Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $ unter Verwendung der Notation, dass $ Y _ {(1)} $ der erste sortierte Wert von $ ist \ {Y_1, \ dots, Y_n \} $ (dh das Minimum) und $ Y _ {(n)} $ ist das $ n $ th (das Maximum).

Einzelwerte $ X_ {ij } $

Der einfachste Weg, die Verteilung von $ X_ {ij} $ zu finden, wie in der von Ihnen verlinkten Antwort, besteht darin, sie nur brutal zu erzwingen, indem Sie alle $ 6 ^ 4 = 1296 $ möglichen Rollen berücksichtigen. Hier ist ein kurzer Python-Code (es gibt wahrscheinlich einen besseren Weg, dies zu tun …):

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def as_kth_of(a, k, n): """vector a => shape (1, ..., 1, a.size, 1, ..., 1) where new shape is length n, a.size is in kth""" return a[(np.newaxis,) * k + (slice(None),) + (np.newaxis,) * (n - k - 1)] def pmf_drop_lowest(sides, number): rolls = np.arange(1, sides + 1) totals = sum(as_kth_of(rolls, k, number) for k in xrange(number)) mins = np.ones_like(totals) * 10000 for k in xrange(number): mins = np.minimum(mins, as_kth_of(rolls, k, number)) return np.bincount((totals - mins).ravel()) / totals.size score_pmf = pmf_drop_lowest(6, 4) plt.bar(np.arange(score_pmf.size) - .5, score_pmf) 

Gesamtpunktzahl der Fähigkeiten $ Y_i $

Jetzt können wir die Verteilung der Summe der Fähigkeitswerte $ Y_i = X_ {i1} + X_ {i2} + ermitteln \ dots + X_ {i6} $.

Wie verteilt sich die Summe zweier unabhängiger, diskreter Zufallsvariablen $ A + B $? Nun, $ \ Pr (A + B = c) = \ sum_ {k = – \ infty} ^ \ infty \ Pr (A = k) \ Pr (B = k – c) $. Es stellt sich heraus, dass diese Operation als Faltung , und zum Glück hat Numpy eine Funktion, um dies für uns zu tun. (Der verlinkte Wikipedia-Artikel hat wahrscheinlich nicht viel darüber; Sie könnten dies versuchen Kapitel von Grinstead und Snell .)

Code:

total_pmf = 1 for _ in xrange(6): total_pmf = np.convolve(total_pmf, score_pmf) plt.bar(np.arange(total_pmf.size) - .5, total_pmf) 

Höchste und niedrigste Werte von $ Y $

Nachdem wir nun die Verteilung für $ Y_i $ kennen, lautet unsere Frage: Was ist der maximale paarweise Abstand zwischen zwei Elementen von $ Y $? Was ist alternativ der Unterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten $ Y $?

Schreiben Sie die Variable, die uns wichtig ist, als $ Z = Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $ dass $ \ EZ = \ E Y _ {(n)} – \ E Y _ {(1)} $, da die Erwartung linear ist. Dies erspart mir die Arbeit, die ich beim Verfassen dieser Antwort bei der Berechnung der gemeinsamen Verteilung der beiden geleistet habe. 🙂

Definieren wir zunächst die kumulative Verteilungsfunktion (cdf) $ \ Pr (Y \ le y) = \ sum_ {k = 0} ^ y \ Pr (Y = k) $. Dann ist das cdf von $ Y _ {(n)} $ $$ \ begin {align *} \ Pr (Y _ {(n)} \ le y) & = \ Pr \ left (Y_1 \ le y \ text {und} Y_2 \ le y \ text {und} \ dots \ text {und} Y_n \ le y \ right) \\ & = \ prod_ {i = 1} ^ n \ Pr \ left (Y_i \ le y \ right) \\ & = \ Pr (Y \ le y) ^ n \ end {align *} $$ da die $ Y_i $ unabhängig sind. Da $ Y _ {(n)} $ nichtnegative ganzzahlige Werte annimmt, können wir seine Erwartung als berechnen $$ \ begin {align *} \ E Y _ {(n)} & = \ sum_ {y = 1} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(n)} \ ge y) = \ sum_ {y „= 0} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(n)} > y“) \\ & = \ sum_ {y „= 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr (Y _ {(n)} \ le y“) \ right) = \ sum_ {y „= 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr (Y \ le y „) ^ n \ right). \ End {align *} $$ Code:

n_players = 5 total_cdf = np.cumsum(total_pmf) exp_max = np.sum(1 - total_cdf ** n_players) 

exp_max ungefähr 81 .5.

In ähnlicher Weise gilt für min: $$ \ begin {align *} \ Pr \ left (Y _ {(1)} \ le y \ right) & = 1 – \ Pr \ left (Y _ {(1)} > y \ right) \\ & = 1 – \ Pr \ left (Y_1 > y \ text {und} \ dots \ text {und} Y_n > y \ right) \\ & = 1 – \ Pr \ left (Y_i > y \ right) ^ n \\ & = 1 – \ left (1 – \ Pr \ left (Y \ le y \ right) \ right) ^ {n} \ end {align *} $$ und seine Erwartung ist: $$ \ E Y _ {( 1)} = \ sum_ {y = 0} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(1)} > y) = \ sum_ {y = 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr \ left (Y \ le y \ right) \ right) ^ n $$

Code:

exp_min = np.sum((1 - total_cdf) ** n_players) 

exp_min ungefähr 65,3 erhalten.

Der letzte erwartete Unterschied zwischen dem glücklichsten und dem unglücklichsten von 5 Spielern beträgt dann insgesamt 16,2 Fähigkeitspunkte. (Das ist ziemlich viel!)

Übrigens habe ich erwähnt, dass ich die gemeinsame Verteilung von $ Y _ {(1)} $ und $ Y _ {(n)} berechnet habe $ (als $ \ Pr (Y_ {n} = y „) \ Pr (Y _ {(1)} = y \ mid Y _ {(n)} = y“) $) Es stellt sich heraus, dass für fünf Spieler die Die Verteilung von $ Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $ sieht folgendermaßen aus:

Kommentare

• Beachten Sie, dass es möglicherweise besser ist, die Qualität einer Reihe von Fähigkeiten anhand ihrer Gesamtpunktzahl als anhand ihrer Summe zu bewerten. Das Ärgerliche daran ist, dass Sie dies können ' Kaufen Sie eine Punktzahl unter 7, sodass ' nicht immer genau definiert ist ….