Sind Zahlen real?

Betrachten Sie die folgende Analogie. Was ist ein Huhn? Sind Hühner echt?

Es gab eine Zeit (die meisten Orte in Europa jedenfalls), in der dies eine noch dümmere Frage gewesen wäre als jetzt. Jeder wusste genau, was ein Huhn war. Selbst ein reicher Adliger hätte nur vielleicht fünfzehn Minuten laufen und auf ein Beispiel eines Huhns zeigen müssen. Es war ein lebendiger und bemerkenswerter Teil der täglichen Erfahrung eines jeden. Auch unsere Erfahrung mit Zahlen. Das (Punkt auf einen Karton mit sechs Eiern) ist sechs. Das (zeigen Sie auf einen Apfel und einen anderen Apfel, der in zwei Hälften geschnitten und eine der Hälften entfernt wurde) besteht aus drei Hälften. Und so weiter.

Die Tatsache, dass Sie nicht nur darauf zeigen können eine Sammlung von etwas und sagen „ es gibt negative drei „, „ es gibt eine Quadratwurzel von fünf “ oder „ es gibt sechs plus drei -i „sind der Grund, warum einige Leute, die mit diesen Ideen frustriert sind, sich berechtigt fühlen zu sagen, dass sie keine tatsächlichen Zahlen sind. Es ist in der Tat eine faire Kritik und weist auf die Tatsache hin, dass wir uns nie hinsetzen und Sprechen Sie darüber, was Zahlen wirklich sein sollen. Natürlich könnte heutzutage jemand auch sein ganzes Leben lang ohne ein Huhn auskommen, und sie akzeptieren, dass es ein Tier gibt, das vage an der Herstellung der Eier beteiligt ist, die sie manchmal zum Frühstück essen. Für diejenigen von uns, die nicht auf oder in der Nähe einer Farm oder eines Zoos mit Hühnern aufgewachsen sind, akzeptieren wir sicherlich die Existenz von Hühnern als Glaubensartikel für einige Jahre. In ähnlicher Weise nehmen wir die Idee, dass es „Zahlen“ gibt, die nicht Sammlungen von Dingen als empfangene Idee entsprechen.

Wenn also Zahlen nicht Sammlungen entsprechen müssen von Dingen, was sind sie? Nun, im Fall von (positiven) irrationalen Zahlen können sie Linienlängen oder Flächen — zu kontinuierlichen Mengen von etwas entsprechen, was a ist schöne Verallgemeinerung der Sammlungsgrößen. Und negative Zahlen können Defiziten oder Differenzen solcher Beträge entsprechen. Und komplexe Zahlen, ähm … nun, sie sind … nützlich für die Quantenmechanik und die Elektrotechnik …und ähm, so sind Quaternionen … Wir finden, dass wir die Definition der Zahl von „ Menge von “ auf „ nützlich für “ erweitern, was ich für eine halte Wichtig zu beachten.

Es gibt keinen offensichtlichen Ort, an dem wir einfach aufhören sollten. Die Tatsache, dass die komplexen Zahlen nicht einmal mehr geordnet werden können (unabhängig von den Quaternionen, für die Multiplikation pendelt nicht einmal ) schlägt vor, dass nur weil etwas x ² + 1 = 0 löst, dies nicht bedeutet, dass es eine Zahl ist (das komplexe Zahlen sind nicht „t “ Zahlen „im Allgemeinen). Aber wir können sagen, dass nur weil etwas eine Obergrenze für eine begrenzte Folge von Zahlen ist, es keine“ ta Zahl „ist (reelle Zahlen sind nicht“ t “ alle „Zahlen“ und insbesondere die Quadratwurzel von zwei oder fünf) oder nur weil etwas der Unterschied zweier Zahlen ist, ist es keine „Zahl“ ( negative Zahlen sind nicht „alle“ Zahlen „), oder das nur, weil etwas ein Verhältnis von zwei Zahlen ist n „mach es nicht zu einer Zahl ( positive rationale Zahlen sind nicht“ alle „Zahlen“). Aber das schließt alles außer den nicht negativen ganzen Zahlen aus; und die Leute haben historisch gesehen sogar schief auf Null geschaut. Sie könnten sogar argumentieren, dass eine Zahl keine Zahl ist, wenn Sie argumentieren, dass Sie mit einer Zahl einen Pluralbetrag meinen.

Es ist also ziemlich wichtig, sich zu fragen: Was ist eine Zahl?

Was ist ein Huhn? Es ist ein kleiner Vogel, der nicht sehr gut fliegt. Aber wir wollen Kiwis oder Papageientaucher nicht als „Hühner“ einschließen, also sollten wir vielleicht angeben, dass sie kurze Schnäbel haben und nicht gut schwimmen. Aber was ist mit Fasanen? Selbst wenn wir Hühner per Definition erfolgreich von allen anderen lebenden Vögeln isolieren, was ist dann mit den Vorfahren der Hühner, die sich zum modernen Nutztier entwickelt haben? Irgendwann gab es keine Hühner mehr, und dann gab es . Wann haben sich die Dinge geändert?

Das Problem mit Hühnern und auch mit Zahlen, ist, dass wir am Ende nur Definitionen für diese Wörter gemäß Konvention haben, die auf Beispielen basieren. Wir akzeptieren moderne Hühner als „Hühner“ und Kiwis nicht als „Hühner“. In ähnlicher Weise möchten wir „sechs“ und wahrscheinlich „drei Hälften“ und möglicherweise „negative zwei“ und „Quadratwurzel von fünf“ als Zahlen einschließen, aber wir möchten die Funktion f nicht einschließen :   ℤ → ℤ gegeben durch f (x) = 3 x +2 als Zahl. Es ist nicht das, woran wir denken möchten eine Zahl, weil sie nicht so verwendet werden kann, wie wir Zahlen verwenden möchten . Zahlen sind Werkzeuge zum Verständnis der Welt .

Welche Vögel akzeptieren wir als Hühner? Diejenigen, die sich auf eine bestimmte Art und Weise verhalten und die wir auf eine bestimmte Art und Weise verstehen können. Ihre Eier schmecken auf eine bestimmte Art und Weise, ihr Fleisch schmeckt auf eine bestimmte Art und Weise und sie verhalten sich in Wir kümmern uns darum, wie sie sich verhalten und wie sie schmecken, weil wir an ihnen als Merkmalen der Umgebung interessiert sind, mit der wir interagieren (vielleicht um sie zu essen). Das Konzept eines Huhns ist etwas, in dem wir sind entlüftet, um einige Tiere von anderen zu unterscheiden. Wenn wir uns nicht um den Unterschied zwischen einem Huhn und einem Fasan kümmern würden, hätten wir keine getrennten Ideen für Hühner und Fasane. (Nur weil wir unterschiedliche Wörter für Dinge haben, werden sie nicht unterschieden , aber es bedeutet, dass wir uns darum kümmern, welche Unterschiede sie unserer Meinung nach haben.) Das Konzept von „Huhn“ ist ein Werkzeug, das Wir verwenden, um einige der Tiere zu verstehen, die wir kennen.

In ähnlicher Weise ist das Konzept der „Zahl“ ein Werkzeug, mit dem wir die Beziehungen zwischen Objekten verstehen. Es geht jedoch über das Konzept der „Zahl“ hinaus „selbst: jede Zahl ist ein Konzept, das wir verwenden, um von anderen Zahlen zu unterscheiden. Wir denken selten, dass es nur“ eine Zahl „von etwas gibt, um anzuzeigen, dass es eine gibt mehr als null oder eins oder zwei, wir kümmern uns um welche Nummer. Der Unterschied zwischen sechs Eiern und sieben Eiern ist uns wichtig.

Aber es gibt noch einen weiteren Unterschied bei Hühnern: Wir sehen möglicherweise kleine Hühner oder große Hühner (eine einzelne Hühnersorte mit unterschiedlichen Eigenschaften), aber wir sehen sie nie Ei Sechser oder Apfel Sechser (ein einziges so Anzahl der Nummern mit unterschiedlichen Attributen). Wir sehen sechs Eier oder sechs Äpfel. In diesem Fall spielt die Zahl nicht die Rolle eines Substantivs, sondern eines Adjektivs . Das ganze Gerede von „Hühnern“, die Objekte sind, war irreführend. Was wir hätten denken sollen, ist so etwas wie „Ist rot echt“? „Ist groß echt“?

Nun, Farben sind echt und Größen sind echt, aber was macht eine Farbe „rot“? Wir können eine willkürliche Definition erfinden, die auf Lichtfrequenzen basiert, aber dann machen wir die Definition von Farbe von Zahlen abhängig, was keine Möglichkeit ist, das Problem des Verständnisses von Zahlen zu lösen. Am Ende haben wir wieder Konventionen an Beispielen.Aber sicher müssen die Dinge, die wir Nummern nennen, existieren ? Dass es wirklich eine Nummer drei gibt? Wir sehen es natürlich die ganze Zeit. Ebenso muss es eine Farbe Rot geben , darf es keine geben?

Die Farbe Rot hängt von unserem Sinnesapparat und der Art und Weise ab, wie unser Gehirn die von uns gesendeten Signale verarbeitet Augen. Die Farbe Rot ist eine aufstrebende Erfahrung, die sich aus der Struktur unseres Gehirns und unserer Sinnesorgane ergibt. Der Begriff der Farbe Rot ist eine nützliche Methode, um unsere Welt zu verstehen, basierend darauf, wie wir sie erleben. Es gibt keinen vernünftigen Weg dazu leugnen, dass es Dinge gibt, die rotes Licht scheinen ( Licht, das wir als rot wahrnehmen ); Dinge, die rotes Licht reflektieren ( die bevorzugt Licht reflektieren, das wir als rot wahrnehmen ); und dass rotes Licht ungefähr in einige Lichtfrequenzen fällt ( wir haben eine ganze theoretische Vorrichtung zur Beschreibung des Elektromagnetismus konstruiert, die nützlich genug ist, um Funktürme, Blitzableiter, Röntgengeräte, NMR-Geräte und Laser usw. zu bauen Diese Theorie beeinflusst das Licht, das wir als rot wahrnehmen, bestimmte lichtempfindliche Geräte auf bestimmte Weise, und diese Vorhersagen werden durch Experimente bestätigt. Das Konzept von „rot“ ist eine äußerst nützliche und robuste Art zu beschreiben, wie wir die Welt erleben .

Man könnte sogar sagen, dass die Welt von der Welt „unangemessen effektiv“ beschrieben wird Vorstellung von Farbe; Es gibt keinen besonderen Grund, warum so viel von unserer Erfahrung in Bezug auf Farbe beschrieben werden sollte. Wir sprechen nicht jeden Tag über den Duft von Stahl, den Klang von Kunststoff, den Geschmack von Granit. Irgendwie ist die Welt so gestaltet, dass unsere dominante Art der sensorischen Wahrnehmung äußerst nützlich ist, um einen Großteil der Welt zu beschreiben. Sicherlich muss farbiges Licht in genau dem Frequenzbereich, den wir mit unseren Augen sehen können, eine grundlegende Rolle bei der Funktionsweise des Universums spielen! Sicherlich hat „rot“ eine fundamentale Realität jenseits unserer eigenen Existenz; Sicherlich hat die Farbe Rot eine unveränderliche, sogar platonische Natur!

Ich bin anderer Meinung. Die Farbe Rot ist in der Tat sehr nützlich, um sie zu erfassen und zu verstehen, da wir auf diese Weise einige nützliche physikalische Phänomene wahrnehmen. Aber wenn wir ein etwas breiteres Spektrum wahrnehmen würden, das das beinhaltet, was wir Infrarot nennen, wäre das auch nützlich; Warum nicht? Aus zufälligen Gründen, nehme ich an. Vielleicht gibt es in warmen Klimazonen zu viel Lärm in diesen Frequenzen, obwohl dies nicht erklärt, warum einige Schlangenarten dies können spüre sie , solange wir nicht können. Der Grund, warum wir Rot unter anderen Farben wahrnehmen können, ist letztendlich, dass es ein nützlicher Unfall war.

Wenn die Zahl drei uns eine zu haben scheint Dies könnte daran liegen, dass das Konzept der Zahl nützlich ist, um es zu formulieren, wenn man auf die Welt um uns herum reagiert, und so sehr, dass es auf einer sehr tiefen Ebene mit unserem Gehirn verbunden ist. Dies bedeutet, dass es wirklich Mengen von Dingen auf der Welt gibt und dass einige Begriffe von „Menge“ so einfach und wichtig sind, dass Sie Kreaturen entwickeln können, die glauben, dass der Begriff der Menge so lebenswichtig ist. dass es unabhängig von irgendetwas existieren kann, eine Menge von zu haben.

Die nicht negativen ganzen Zahlen — die „natürlichen Zahlen“ — sind genau das, was wir unsere einfachsten Werkzeuge zum Messen der Menge nennen. Aber sie sind unsere Werkzeuge , die weit über unsere Fähigkeit hinausgehen, Mengen sofort zu erfassen, bis hin zu Dutzenden, Hunderten und Milliarden —, genau wie wir Werkzeuge haben Helfen Sie uns, das Infrarot zu erkennen, obwohl wir es nicht direkt wahrnehmen können.

Zahlen sind Konzepte. Sie sind unsere Werkzeuge, um nützliche Dinge über die Welt zu verstehen. Sie sind sehr, sehr, sehr nützliche Werkzeuge. und vielseitig genug, dass wir allen Grund zu der Annahme haben, dass sie verwendet werden können, um jedes Muster zu beschreiben, das wir verstehen können (und viele, die wir nicht verstehen können), unabhängig davon, ob dieses Muster jemals in der materiellen Welt verwirklicht wird. Es gibt jedoch keinen Grund mehr zu der Annahme, dass Zahlen (wie z. B. Drei) unabhängig voneinander existieren, ebenso wenig wie zu der Annahme, dass es ein platonisches Rot gibt, das unabhängig von einem roten Objekt existiert.

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• Eine hervorragende Antwort. +1
• Was ist mit ‚ real ‚ gemeint? … ohne diese Definition ist alles nur mumbo-jumbo;)
• Diese Antwort ist ‚ nicht so informativ, wie es scheint; es wirft eine ganze Reihe von Fragen in der Philosophie der Mathematik auf. Zum Beispiel ist die Behauptung, dass “ Zahlen Werkzeuge zum Verständnis der Welt “ sind, überhaupt nicht offensichtlich und ignoriert Positionen wie den mathematischen Platonismus vollständig oder Intuitionismus oder Formalismus.Darüber hinaus sind Behauptungen wie „, dass das Konzept der Zahl nützlich ist, “ empirisch, es werden jedoch keine Beweise dafür geliefert. @OP: Dies ist keine gute Antwort. Es befürwortet eine bestimmte, kontroverse Sicht der Zahlen. Darüber hinaus zitiert ‚ keine relevanten Forschungsergebnisse, um seine Behauptungen zu stützen.
• @Niel: Der Formalismus behauptet lediglich, dass mathematische Objekte bestimmte Markierungen auf einer Seite sind , nach bestimmten Regeln manipuliert (grob – es hängt davon ab, welche Marke Sie wählen). Wichtig ist, dass Formalisten ‚ nicht glauben, dass mathematische Ausdrücke Sätze ausdrücken, was im Widerspruch zu Ihrer Behauptung im OP steht, dass Zahlen Konzepte sind. Betreff: Die Behauptung, dass “ -Nummern nützlich sind „. Ich habe auf Ihr quasi-evolutionäres Argument für eine Art Nativismus über Zahlenkonzepte geantwortet, vielleicht nicht so klar, wie ich es hätte tun können.
• Cont ‚ d. Dies ist ein großes offenes Thema sowohl in der Psychologie als auch in der Linguistik und der Sprachphilosophie, und es ist unaufrichtig, das Thema so darzustellen, als ob Ihre Ansichten nicht ‚ umstritten wären. Hier ist ‚ mein Hauptproblem: Die Frage stellt eine große offene Frage in der Philosophie, und Sie präsentieren Ihre eigene Antwort mit kaum einem Hinweis auf die riesige Menge an Literatur, die dem Thema gewidmet ist . Die Sorge ist, dass jeder, der die ursprüngliche Frage gestellt hat, ‚ nicht zu schätzen weiß, wie umstritten Ihre Antwort ist, modulo die Positionen, die auf dem Gebiet untersucht wurden.

Es hängt davon ab, was genau Sie mit „real“ meinen. In einer Ansicht sind Zahlen genauso real wie Ihre linke Hand. Sie sind Entitäten, die geistesunabhängig, a-kausal und nicht raumzeitlich existieren (d. h. außerhalb von Raum und Zeit). Dies wäre die Ansicht von mindestens einer Version des mathematischen Platonismus, und es scheint auf die Vorstellung hinzuweisen, dass wir eine immer tiefere mathematische Struktur des Universums aufdecken.

Meiner Ansicht nach müsste ich sagen – ja; abstrakte Objekte wie die Quadratwurzel von 2 sind beispielsweise genauso real wie ein Stuhl. Sie sind reale Einheiten, aber sie sind Einheiten, die nicht an die Gesetze der Verursachung oder des Raums und der Zeit gebunden sind.

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• Schöne Antwort! Es könnte interessant sein, ein bisschen mehr darüber zu hören, warum Sie Ihre Antwort hier empfehlen würden.
• Ihr erster Satz gibt das Problem an, und dann schweifen Sie ab …

Die Art der Zahlen ist ein wirklich schwieriges Problem. Aus Sicht der „Philosophie der Mathematik“ ist der bisher beste Ausgangspunkt Freges Grundlagen (1884 – Die Grundlagen der Arithmetik) – schwierig, aber lohnend. Die heikle Frage der „Realität“ des Abstrakten Objekt (ausgehend von Platon und Aristoteles) ist, dass wir denken, dass Objekte real sind, wenn wir sie sehen und berühren können, und wir können Zahlen nicht sehen und berühren. Aber wenn sie nicht real sind, warum sind sie so … nützlich , unverzichtbar für die gesamte Menschheit? Eine Menge Arbeit in der Mathematik des 20. Jahrhunderts wurde darauf verwendet, einen Weg zu finden, um die Idee zu unterstützen, dass Zahlen nicht real sind (im alltäglichen Sinne des Wortes), aber Mathematik ist es trotzdem wert, studiert zu werden. Ein Spiel mit Symbolen, eine Reihe von Aussagen, die gemäß Konvention wahr sind, eine soziale Konstruktion usw.

Zahlen sind „real“ in dem Sinne, dass sie eine Art und Weise sind, wie der Mensch die Relativbewegung zwischen Objekten organisiert, die er in seiner Umgebung beobachtet. (zBDies hier + das dort = zwei von tho se). Zahlen sind jedoch nicht „aktuell“. Dies bedeutet, dass sie nicht als existierend qualifiziert werden können, außer im Kontext von Objekten, die der Mensch wahrnimmt. Wenn Sie „Zahl“ von den Objekten entfernen, die ihm einen bestimmten Wert geben, kann dies nur als „unendlich“ definiert werden. Was praktisch Null ist. Zahlen erfordern also, wie jedes abstrakte Konzept, dass ein Beobachter „real“ ist (in diesem Fall der Mensch). Dies macht natürlich das Lot für ALLEN Wert (Wahrheit) zu dem, der beobachtet.

Ich glaube, dass Ihre Verwirrung darauf zurückzuführen ist, dass Sie nicht bemerkt haben, dass die „Bezeichnungen“ zur Kategorisierung der verschiedenen Zahlengruppen verwendet wurden sind genau das, Etiketten. Die „reellen“ Zahlen, die „imaginären“ Zahlen, die „komplexen Zahlen usw.“ sind alle geordnete Mengen. Leider haben einige dieser Bezeichnungen außerhalb der Mathematik andere Bedeutungen. Außerhalb der Mathematik bedeutet „real“ normalerweise etwas Greifbares von mindestens einem unserer Sinne wahrgenommen, und „imaginär“ bedeutet etwas Immaterielles und nicht von unseren Sinnen wahrgenommenes. In der Mathematik sind diese Wörter jedoch nur Bezeichnungen, die zur Unterscheidung verschiedener Zahlengruppen verwendet werden. Die Person (en), die die Zahlen beschriftet haben, könnten Ich habe Grün anstelle von „real“ und Rot anstelle von „imaginär“ verwendet, und wir hätten die grüne Nummer, die rote Nummer usw. festgelegt.

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• Das “ nur “ Problem Ich sehe in Ihrer Erklärung Folgendes: In welchem Sinne ist die Reduzierung von Zahlen auf Mengen eine echte “ Erklärung „? Inwiefern sind wir zuversichtlicher in die … Realität, Existenz … von Mengen als in die Existenz von Zahlen?
• Sie haben die Namen, die sie aus einem bestimmten Grund haben. Sie ‚ sind nicht nur Etiketten, sie ‚ sind gute Etiketten. Die gestellte Frage lautet zum Teil warum sind sie gute Labels?

Wir haben sie „Zahlen“ genannt, aber in Wirklichkeit ist „Zahlen“ nur eine von Menschen gemachte Bezeichnung für natürlich vorkommende Regeln und Prinzipien. Ob wir sie jedoch „Zahlen“, „Zählungen“ oder einen anderen willkürlichen Namen nennen, sie würden weiterhin eine Schlüsselrolle bei der Manifestation der Realität spielen, unabhängig davon, ob wir sie kennen.

Wenn es sich um einen Außerirdischen handelt Die Rasse sollte uns kontaktieren, Zahlen und mathematische Berechnungen (in irgendeiner Form) wären etwas, das wir gemeinsam hätten. Verschiedene alte Zivilisationen hatten unterschiedliche Zahlensysteme, aber sie waren trotzdem „Zahlen“. Noch heute kann man den offensichtlichen Unterschied zwischen chinesischen Ziffern und arabischen Ziffern (0-1-2-3-4-5-6-) erkennen.] （（， 一 ， 二 ， 三 ， 四 ， 五 ， 六 Arabic Arabic））） und arabischen Ziffern (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); Trotz der unterschiedlichen Symbole ist das Konzept dahinter dasselbe.

Die Bezeichnung „Zahlen“ ist der Versuch, den „Code des Universums“ zu beschreiben. Grob gesagt würde ich ja sagen, es gibt Zahlen.

Alte Frage. Aber Spaß! Ich “ Ich bin überrascht, dass niemand Principia Mathematica erwähnt hat, wobei über 100 Seiten (163, wenn ich mich richtig erinnere) der Definition der Nummer “ 1 „.

Ich würde ein Spiel spielen, als ich in der High School war, indem ich 2 + 2 = 7 vorschlug, und wenn andere Die Schüler würden argumentieren, ich würde sie einfach bitten, mir das Gegenteil zu beweisen. Dies führte normalerweise zu vielen Handgesten, die mit 2 Fingern plus 2 Fingern begannen und normalerweise mit nur einem Finger endeten.

Das Summum Bonum ist einfach, dass Zahlen Ideen sind (mentale Konstrukte, die eine Wahrnehmung darstellen, und darin Sinn, sie existieren platonisch). Wie bereits sehr gut erklärt wurde, sind diese Ideen nützlich, um die Welt um uns herum zu beschreiben, und deshalb verwenden und verbessern wir diese Ideen weiterhin. Mein Vorschlag, dass 2 + 2 = 7 gegen die von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell dargelegten Regeln verstößt; Aber die Regeln, die mein Vorschlag impliziert, sind nicht weniger willkürlich als ihre, sondern nur weniger nützlich.

Natürlich sollten Sie auch “ Existenz wenn Sie eine solche Frage stellen.

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• Existieren Ihre Gedanken? Was ist mit jemand anderem ‚ s (in IHREM Kontext nicht der anderen Person ‚ s)?
• @slashmais Definiere “ existiere “ und dann werde ich dir ‚ antworten;)
• Ich sehe, was du dort getan hast 🙂 Ich habe versucht zu zeigen, wo meiner Meinung nach die Antwort auf eine Definition von ‚ existiert ‚ finden Sie hier: philosophie.stackexchange.com/a/10552/112 , und in diesem Sinne sagen Sie zu Recht, dass Zahlen Ideen sind – alles ist . Um meine Frage zu den Gedanken eines anderen ‚ zu beantworten: ‚ existiert ‚ in Ihr Kontext nur, wenn die andere Person den Gedanken (in / direkt) durch ein Verhalten ausdrückt, das Sie wahrnehmen können und aus dem Sie auf einen solchen Gedanken schließen können.

Die Einführung von gebrochenen und negativen rationalen Zahlen kann unter zwei Gesichtspunkten gerechtfertigt sein. Die Bruchzahlen sind für die Darstellung der Unterteilung einer Größeneinheit in mehrere gleiche Teile erforderlich, und die negativen Zahlen bilden ein wertvolles Instrument zur Messung von Größen, die in entgegengesetzte Richtungen gezählt werden können. Dies kann als Argument des angewandten Mathematikers angesehen werden. Auf der anderen Seite gibt es das Argument des reinen Mathematikers, bei dem der Begriff der Zahl, positiv und negativ, ganzzahlig und gebrochen, auf einer von messbarer Größe unabhängigen Grundlage beruht und in dessen Augen die Analyse ein Schema ist, das sich nur mit Zahlen befasst und hat an sich keine Bedenken hinsichtlich der messbaren Menge. Es ist möglich, eine mathematische Analyse auf der Grundlage der positiven Integralzahl zu gründen. Danach können die aufeinanderfolgenden Definitionen der verschiedenen Arten von Zahlen, der Gleichheit und Ungleichheit zwischen diesen Zahlen und der vier Grundoperationen abstrakt dargestellt werden. (Von h.s carslaw)

Welche Zahlen finden wir in der Natur? hast du negative zahlen gefundenWie der Name schon sagt, kommen in der Natur natürliche Zahlen vor. Angenommen, eine bestimmte Länge (beispielsweise ein Stick s ) wird als 1 angenommen Längeneinheit (z. B. 1 m ), wenn es einen anderen Stick gibt ( s2 ), was der Länge von zwei s Sticks Wir sagen, dass seine Länge 2 Einheiten ist von s . Zahlen sind Bezeichnungen zur Darstellung einer bestimmten Länge. Die gleiche Idee kann für alle messbaren Größen erweitert werden. Betrachten Sie für -ve-Zahlen den Ausdruck
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

wenn „a“ die Länge> „b „ Länge und “ c „ Länge> “ d „ Länge, dann sollte das Produkt + ve versuchen, Werte in den Ausdruck einzufügen. Sie werden feststellen, dass der Ausdruck gültig ist, wenn „?“ = „+“ mache ein Quadrat mit der Länge a und der Breite „c“ dann eine andere der Länge „b“ und „d“ durch Überlagerung von „b“ mit „a“ und „d“ on „c“ Betrachten Sie nun jedes Produkt als entsprechenden Bereich im Diagramm. Sie werden bald erkennen, dass „?“ durch „+ ersetzt werden sollte „ oder Sie können eine Regel erstellen, nach der das Verteilungsgesetz gilt, wenn wir zwei -ve-Zahlen mit einer Eigenschaft wie (-b) betrachten * -d) = (+ b * d) Stellen Sie sich die Bedeutung des Verteilungsgesetzes vor, das eine Formel wie (ab) ^ ergibt 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. Diese Formel gibt uns eine Verknüpfung zur Durchführung von Berechnungen, die nur möglich geworden ist, wenn wir -ve Zahlen solcher Eigenschaften haben (multiplizieren Sie zwei -ve Zahl bedeutet ein + ve Produkt ihrer Größe). Wenn wir keine -ve-Zahlen definieren, haben wir sicherlich immer eine lange Berechnung.

komplexe Nr.:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] Dieses Konzept wurde häufig verwendet Um Berechnungen wie bei der Netzwerkanalyse mit Impedanzen zu reduzieren.

sollten Sie lesen: Beginn der Algebra für Studenten Zweite Ausgabe von Lloyd L. Lowenstein (Autor)

Gibt es Zahlen außerhalb unserer Köpfe? Nein.

Ist das, was in unseren Köpfen existiert, real? Ja.

Gibt es Nummern? Ja.

Wenn das Wissen, dass etwas real ist, die Definition dessen ist, was real ist, dann sind Zahlen vielleicht so real wie alles im Universum.

Ich habe einen Hamster, ich liebe den Hamster. Ist der Hamster echt? Meine Erfahrung mit dem Hamster ist real, aber man kann sich den Hamster vorstellen, so ist die Natur der Träume, dass sie real zu sein scheinen. Zahlen sind so beschaffen, dass sie nichts anderes sind als unsere am meisten geträumten Träume.

Aber was ist für das Universum, einen Traum oder einen Felsen wichtiger? Auf diesem Felsen haben wir unsere Träume gebaut. Und ohne unsere Träume und die Träume aller Dinge gäbe es hier nichts.

Und doch, wie kommt es, dass ich 2 Augen und 10 Zehen habe? Liegt es daran, dass die Natur zählen kann? Oder ist es zufällig? Was ist ein Zeh, aber ein winziger unförmiger Zeh, der an einem größeren Zeh befestigt ist? Zufällige fleischliche Termine schmücken einen größeren fleischigen Anhang, der so benannt und nummeriert ist, dass Gedanken seinen eigenen fleischigen Körper beobachten.

Wer sind Sie mit Ihren Fingern und Ihren Augen, der dies liest, und warum lesen Sie Sir oder Madam? Ist es Neugier, Angst, Liebe oder etwas anderes, das dich heute antreibt?

Warum haben Sie über eine Nummer nachgedacht und sind hierher gekommen, um darüber zu lesen?

Weil du irgendwie wissen willst, ob DU echt bist. Vielleicht glaubst du, du bist eine Nummer. Vielleicht brauchen Sie etwas, irgendetwas, an das Sie sich heute klammern können, um einen Ort zu finden, an dem Sie Ihren müden Geist ausruhen können, wenn Sie durch diese Weite der Möglichkeiten reisen.

So viele Möglichkeiten!

Ich frage mich, was wirklich ist. Und die realsten Dinge, an die wir denken können, sind die Dinge, denen wir am meisten vertrauen können. Ich denke deshalb bin ich unwiderlegbar. Aber wer bist du? Ich weiß nicht wer ich bin, also denke „ich“?Ich kann nicht sicher sein, denn es kann ein anderer sein, der für mich denkt, vielleicht sehe ich ihnen nur beim Nachdenken zu. Und doch kenne ich die Nummer 1. Ja, und wenn ich eins von einer Sache und eine andere von derselben nehme, ich „Ich werde 2 dieser Dinge haben. Und dem kann ich für immer und ewig vertrauen … Aber ich begann mich zu fragen, ob das Hinzufügen von Dingen real ist. Gibt es wirklich jemals 2 von etwas? Wenn ich schaue, sehe ich mit meinen eigenen 2 Augen 2 verschiedene Bilder? Nein, ich sehe ein Bild, meine 2 Augen fungieren als 1. Was sehe ich? Ich sehe 1 Bild, daher habe ich ein Auge im Kopf.

Was ist also überhaupt eine Zahl? Ist es ein Wahrnehmungskonstrukt? Ist es eine Definition?

Es ist ein Glaube. Wie alle Dinge glauben wir, glaube ich. ICH GLAUBE. DU bist ich. Ich glaube an dich und mich. Ich glaube an uns. Ich glaube … an Zahlen.

Ich füge nur die hervorragende Antwort von @Niel de Beaudrap hinzu. Er stellte die „echte versus künstliche“ Dichotomie in Frage, die Menschen überbeanspruchen. Der Zweck dieser Antwort besteht darin, einige andere Aspekte der Frage aufzuzeigen, die noch nicht behandelt wurden.

• Sind Zahlen in der Natur zu finden? (ich nehme an, das hat er mit real gemeint)
• Wenn nicht, wie können wir sie für anwenden echte Dinge?

Und zwei kleinere Fragen

• Wie sind imaginäre Zahlen imaginärer als reelle Zahlen?
• Warum können „t komplexe Zahlen eine bestimmte Reihenfolge erhalten?

Werden Zahlen in der Natur gefunden?

Nein. Zahlen sind nicht in der Natur gefunden. Sie können „zwei Äpfel“ in der Natur finden, aber nicht „zwei“. Auch hier ist es interessant zu bemerken, was wir mit „zwei Äpfel“ meinen. Meinen wir zwei Objekte, die identisch sind? Dann können wir nicht darüber sprechen zwei Äpfel, weil kein Apfel wie der andere ist. Wir sprechen also über zwei Objekte at sind ähnlich. „Wie ähnlich“ ist die nächste Frage. Natürlich wollen wir vermeiden, eine Orange als Apfel zu zählen. Aber wir wollen es zählen, wenn wir Früchte zählen. Wir können auch keinen Apfel zählen, wenn wir „kleine Äpfel“ zählen. Zählen ist also offensichtlich künstlich. Aber so sind viele andere Dinge, die wir im Leben für selbstverständlich halten. Und natürlich sind es nicht nur reelle oder komplexe Zahlen. Selbst das Zählen von Zahlen ist künstlich. Wir akzeptieren das Zählen von Zahlen als Art von reellen und stellen nur künstlichere wie reelle Zahlen in Frage, weil wir es gewohnt sind, Zahlen zu zählen Das Zählen von Zahlen, Brüchen und Mengen ist für unsere heutigen Zwecke sehr nützlich, wie von @Niel de Beaudrap erklärt. Zahlen kommen also nicht in der Natur vor. Zahlen helfen uns, die Idee von Mustern zu erfassen, die wir in der Natur finden. Beachten Sie, dass das, was wir in der Natur finden, nicht das sein muss, was es in der Natur gibt. Es ist in der Tat real für uns, weil unsere Welt das ist, was wir fühlen.

Wenn nicht, wie können wir sie für echte Dinge anwenden?

Nun, das „s der schwierige Teil. Zahlen sind Werkzeuge in der Mathematik. Wissenschaftszweige wie Mathematik und Logik handeln nicht von den realen Dingen; sie sollen es nicht sein. Sie handeln in der Tat vom Abstrakten. Dies ist sowohl ihre Kraft als auch ihre Schwäche.

Wenn Sie ihnen einige Regeln einer Welt geben, die existieren können oder nicht, werden sie Ihnen viele andere Dinge über diese Welt erzählen. Wenn Sie ihnen also Regeln (irgendwelche Regeln) geben, werden sie Ihnen sagen Viele Konsequenzen dieser Regeln. Das ist ihre Macht. Deshalb sind sie fast überall anwendbar. Und sie werden Ihnen sagen, dass nur Konsequenzen dieser Regeln, die persönlichen Überzeugungen des Orakels dort keinen Platz haben Deshalb legen sie Wert auf Strenge.

Aber wenn Sie an einer Welt interessiert sind, deren Regeln Ihnen unbekannt sind, sind sie dort hilflos. Dies gilt genau für unsere physische Welt, wie wir sie kennen interessiert an den Regeln unserer Welt, aber die Mathematik kann sie nicht liefern. (Im Gegensatz dazu sind theoretische Physik und Mathematik enge Freunde). Daher benötigen Sie eine Brücke zwischen ihnen, um eine Verbindung herzustellen. Dies ist eine Lücke, die nur die Philosophie füllen kann. Und philosophische Werkzeuge wie Modelle sind der übliche Weg.

Kleinere Fragen

Wie sind imaginäre Zahlen imaginärer als reelle Zahlen? Nun, imaginäre Zahlen sind keine Unze imaginärer als reelle Zahlen. In einer Vorlesung über komplexe Zahlen bat der Professor die Schüler, die Hände zu heben, wenn sie denken, dass imaginäre Zahlen imaginär und reelle Zahlen real sind. Rund dreizehn Schüler hoben die Hände. Dann sagte er: „Okay, wir können darüber diskutieren. Die Hälfte von Ihnen kommt auf die Bühne.“

Warum können „komplexen Zahlen keine bestimmte Reihenfolge gegeben werden? Mit Reihenfolge meinen sie nicht“ eine allgemeine Sache; Sie sprechen über ein spezifisches Konzept namens Gesamtbestellung .Wenn Sie sagen, dass komplexe Zahlen nicht geordnet werden können, bedeutet dies, dass unabhängig von Ihrer Reihenfolge mindestens eine der Bedingungen für die Gesamtreihenfolge nicht erfüllt ist, die mit den üblichen Feldoperationen Addition und Multiplikation kompatibel sind. Weitere Informationen finden Sie unter dieser Frage in stackexchange und auf dieser Seite unter cut-the-knot . Tatsächlich wird die Menge {0,1, -1, i, -i} komplexer Zahlen selbst problematisch, wenn wir versuchen, eine Gesamtreihenfolge anzugeben, die zu den üblichen Feldoperationen passt. Ich werde Einzelheiten angeben, wenn Sie interessiert sind (nicht schwer, aber ich denke, es wird für Sie keine philosophische Bedeutung haben).

Kommentare

• Die Menge {0,1, -1, i, -i} ist genau so angeordnet, wie Sie sie geschrieben haben, von links nach rechts. ‚ gibt es keine Reihenfolge für die komplexen Zahlen, die mit ihrer algebraischen Struktur kompatibel sind. Es gibt jedoch viele Gesamtbestellungen für die komplexen Zahlen. Die lexikografische Reihenfolge auf einem + bi ist eine solche.
• Bearbeitet. Vielen Dank an user4894. Ich habe versucht, die Details so gering wie möglich zu halten.
• Die Definitionen für (Gesamt-) Bestellung und geordnetes Feld finden Sie auf Seite 246 in Stephen Abbots ‚ s Buch “ Analyse verstehen “

Wenn es Ihnen recht ist, möchte ich mich lieber auf die Geometrie als auf Zahlen konzentrieren. Ich fühle mich in beiden Bereichen gleich, aber die Geometrie passt etwas besser zu meinem Beispiel.

Beachten Sie die folgende Aussage:

Die Winkel eines Dreiecks summieren sich zu 180 Grad.

Wenn Sie mit der Grundgeometrie einigermaßen vertraut sind, wird dies offensichtlich zutreffen.

Was ist mit dieser Aussage?

James Kirk ist Kapitän der USS Enterprise .

Wir könnten behaupten, dass es falsch ist, nehme ich an, aber Wenn wir an einer Star Trek -Konvention teilnehmen, ist das nicht sehr höflich. Aber es wird schlimmer. Wenn wir behaupten, dass die obige Aussage falsch ist, behaupten wir Folgendes:

James Kirk ist kein Kapitän der USS Enterprise .

Und das deutet immer noch darauf hin, dass es sowohl einen Kirk als auch eine USS Enterprise gibt, zusätzlich zum Ärger des Trek Fans. Es gibt kompliziertere Möglichkeiten, den Negationsoperator zu interpretieren, aber dies ist kein triviales Problem .

Angenommen, wir akzeptieren Kirk ist Kapitän, um die Fans zu beruhigen. Aber dann kommt einer von ihnen zu uns und sagt:

Ich bin ein Fan von Star Trek: The Next Generation und Ich denke, Ihre Kirk-Aussage ist falsch. Der Kapitän der Enterprise ist Picard, nicht Kirk.

Dann, während wir “ Um das zu klären, kommt ein Mathematiker auf uns zu und sagt:

Ich bin ein Fan von nichteuklidische Geometrie . Ich denke, Ihre Dreiecksaussage ist falsch.

Mathematische Aussagen sind im Kontext ihrer Axiome wahr. Aussagen über Fiktion sind im Kontext ihrer kanonischen Quellen wahr. Wenn Sie verschiedene Axiome oder verschiedene kanonische Quellen wählen, erhalten Sie unterschiedliche Wahrheiten (wenn das Kirk / Picard-Beispiel zu subtil ist, vergleichen und kontrastieren Sie Dracula mit Twilight ). Während Mathematik strenger und in den meisten Fällen direkter nützlich ist als Fiktion, sind beide Kunstformen.

Wie Viele Künste, sowohl Mathematik als auch Fiktion, streben sowohl nach Wahrheit als auch nach Schönheit . Dies sind jedoch ästhetische Eigenschaften, keine objektiven Realitäten.Mathematik ist „wahr“, wenn Sie eine reale Situation finden, die sie genau beschreibt, und sie richtig anwenden. Fiktion ist „wahr“, wenn Sie feststellen, dass sie mit Ihren Lebenserfahrungen und Zielen in Resonanz steht und versuchen, nach ihren Lehren zu leben. Diese Wahrheiten können nicht isoliert existieren; Sie sind auf den Beobachter angewiesen, um sie zu aktualisieren.

Um Ihre Frage zu beantworten, Zahlen oder Dreiecke sind genauso „echt“ wie die Anwendung , die Sie für sie gefunden haben. Aber wenn Sie nur Mathe machen , weil Sie denken, dass es schön ist , dann ist es Ihnen egal, ob es „echt“ ist. Vielleicht findet irgendwann jemand anderes eine Anwendung, wie es bei der Zahlentheorie und der Kryptographie der Fall war. Vielleicht nicht. In jedem Fall würde es den Punkt verfehlen, sich darüber Sorgen zu machen. Sie tun dies nicht für die Wahrheit. Sie tun es für die Schönheit.

Leopold Kronecker erklärte, dass das Nicht -negative ganze Zahlen wurden von Gott gemacht. Alles andere wird von Menschen „hergestellt“. Nach dieser Idee wissen wir mit Sicherheit, dass die nicht negativen ganzen Zahlen real sind. Nun lautet die Aussage „Zahlen sind real“. ist gleichbedeutend mit „Zahlen existieren“. Die Existenz kann nachgewiesen werden, indem ein bestimmtes Element aufgeschrieben wird, das die gegebene Eigenschaft erfüllt. Unter Verwendung dieser nicht negativen Ganzzahlen und unter der Annahme, dass nicht negative Ganzzahlen Zahlen sind, schließen wir, dass „Zahlen real sind“.

Bearbeiten: Ich wollte eigentlich darauf hinweisen, dass die Frage wirklich davon abhängt, wie Zahlen verstanden werden.

Andererseits würde ich möchte einen Schlag für Kroneckers Punkt schlagen. Allgemeiner beschrieb er eine natürliche Neigung menschlicher Wesen, Dinge zu zählen. Dies ist nicht völlig unvernünftig. Bedenken Sie, dass Knochen mit Zählmarken gefunden wurden, die ungefähr 30000 Jahre alt sind (ich hoffe, Sie geben mir keine Schuld, wenn ich keine bibliografische Überprüfung gebe) – lange bevor die Leute über Axiome für die Konstruktion nachdachten natürliche Zahlen.

Kommentare

• Argument der Behörde?
• @NieldeBeaudrap, ich habe ‚ argumentieren Sie nicht mit einem induktiven Argument. Ist ‚ nicht das Gegenteil eine Anforderung für das Argument der Autorität?
• “ Leopold Kronecker erklärte, dass die nicht negativen ganzen Zahlen von Gott gemacht wurden “ [Hervorhebung von mir].
• Die Tatsache Dass Menschen eine Idee ohne Axiomatisierung verwendet haben, bedeutet nicht, dass sie “ existiert “ unabhängig von Menschen. Ist Magie real? Ist Glück real?
• Ich denke, Sie erlauben sich, an das Wort “ Verwenden Sie “ anders für ‚ magic ‚ und für ‚ Zahlen ‚, aber egal.

1. Zahlen werden zum Zählen verwendet.

2. Wir zählen Formen.

3. Eine Die primitivste Form, die wir zählen, ist eine Linie.

4. Die Linie ist eine Form, die das gleiche Ende wie der Anfang hat.

5. Somit ist die Linie eine eindimensionale Schleife, und wir beobachten alle Zahlen als 1, die sich selbst als 1 Satz schleifen (dh 7 Orangen sind 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) oder 1 Satz von 1 „s, wobei“ orange „ein Satz und ein Teil des Satzes ist).

6. Alle Phänomene sind Formen, wenn sie Gestalt annehmen. Alle Phänomene, die Formen haben, sind Schleifen, wenn Sie dort enden, wo Sie beginnen, wenn Sie den Umriss verfolgen.

7. Zählen ist eine Schleife zwischen Subjekt und Objekt (en).

8. Wir zählen also Schleifen, indem wir Zahlen verwenden, die durch eine 1-Schleife von 1 durch die Schleife von Subjekt und Objekt auftreten, wobei das Objekt eine Form hat, die eine Schleife ist, sowie die Das Subjekt ist eine Schleife.

9. Zahlen sind räumliche Formen und existieren durch Prozesse, die durch räumliche Formen auftreten.