Sind Zahlen wirklich unendlich? [geschlossen]

Sie sind nicht der einzige, der die unendlichen unzähligen Zahlen in Frage stellt. Tatsächlich gibt es ganze Denkschulen, die das unendliche Spektrum von Zahlen erforschen, ganze Denkschulen, die die transfiniten Zahlen jenseits des unendlichen Spektrums erforschen, und ganze Denkschulen, die erforschen, wie man Mathematik macht, wo es keine Unendlichkeiten gibt (bekannt als finitistische Schulen von Gedanke)!

Grundlegend für die Diskussion unendlicher Zahlen ist das Konzept der Peano-Arithmetik. Giuseppe Peano entwickelte eine Reihe von Axiomen für die sogenannten „natürlichen Zahlen“, die informell als die Folge 0, 1, 2, 3, 4 definiert sind. .. Die Axiome sind:

• 0 ist eine natürliche Zahl (wir erklären, dass sie existiert, es ist eine Konstante)
• Für jede natürliche Zahl x, x = x (reflexiv: alles“ ist gleich „selbst)
• Für alle natürlichen Zahlen x und y, wenn x = y, dann y = x (symmetrische Eigenschaft der Gleichheit)
• Für alle natürlichen Zahlen x, y, z, wenn x = y und y = z dann x = z (transitive Eigenschaft der Gleichheit)
• Für alle a und b, wenn b eine natürliche Zahl ist und a = b dann ist a eine natürliche Zahl (Gleichheit ist „geschlossen“)

Wir müssen dann eine Funktion definieren S, bekannt als Nachfolgerfunktion, damit wir Zahlen größer als 0 haben können. Informell S(0)=1, S(1) = 2 und so weiter on.

• Für jede natürliche Zahl n ist S(n) auch eine natürliche Zahl
• Für alle natürlichen Zahlen m und n m = n genau dann, wenn S(m) = S(n) (S ist eine Injektion)
• Für jede natürliche Zahl n, S(n) = 0 ist falsch (der Nachfolger einer Zahl ist niemals 0 … aka 0 ist die „erste“ natürliche Zahl)

Jetzt brauchen wir das Axiom, das Ihre Frage so außerordentlich interessant macht, das Axiom der Induktion:

• wenn f eine solche Funktion ist t f(0) ist wahr und für jede natürliche Zahl n ist f(n) wahr f(S(n)) ist wahr, dann f(n) gilt für alle natürlichen Zahlen.

Dieses letzte Axiom ist das eine, die so viel interessantes Verhalten hervorruft. Es ist derjenige, der versucht, in Richtung Unendlichkeit zu gelangen, und behauptet, Wege zu bieten, um es zu erfassen. Und wie alle Axiome besagt es nicht notwendigerweise, dass es „richtig“ ist, sondern lediglich, dass es innerhalb der Grenzen als wahr erklärt wird

Ein Großteil der Arithmetik wurde auf die sogenannte „Mengenlehre“ formalisiert, die die Grundlage für einen Großteil unserer Mathematik darstellt, weil sie scheint grundlegend für die Organisation des Universums zu sein. Mengen befassen sich mit bestimmten Sammlungen von Dingen, wie „der Menge natürlicher Zahlen, die kleiner als 5 sind“, die als {0, 1, 2, 3, 4}.Die Peano-Arithmetik wird am häufigsten mit der folgenden Konstruktion auf die Mengenlehre abgebildet:

• Die leere Menge {} wird als Konstante in Peanos Axiomen
• Die Nachfolgefunktion S(n) ist definiert als` S (n) = {{}, {n }} (Der Nachfolger für eine beliebige Zahl ist definiert als die Vereinigung der leeren Menge und einer Menge, die die vorherige Zahl enthält.)

Diese Definition klingt etwas stumpf, wurde aber gewählt, weil sie Es ist einfach, alle anderen Peano-Axiome auf diese beiden Definitionen abzubilden. Auf diese Weise erhalten wir die Möglichkeit, Axiome der Mengenlehre zu verwenden, um „Zahlen“ auf sehr mächtige und fundamentale Weise zu manipulieren. Eine der wichtigsten davon ist das Konzept der Kardinalität einer Menge. Dies ist die „Anzahl“ der Dinge in einer Menge. Informell haben {1, 2, 3}, {3, 4, 5} und {Apfel, Orange, Orang-Utan} alle eine Kardinalität von 3, weil sie habe 3 Elemente, aber {2, 4, 6, 8} hat eine Kardinalität von 4.

Dies ist wo es schwierig wird, weil sich herausstellt, dass „die Menge aller natürlichen Zahlen“ eine gültige Menge ist, die normalerweise mit einem Großbuchstaben N dargestellt wird, sodass wir fragen können, was die Kardinalität von ist die Menge aller natürlichen Zahlen? „Die Antwort lautet“ unendlich „, und diese Aussage wird als Definition gemacht. Wir definieren die Kardinalität von N als eine bestimmte Zahl, bekannt als ℵ₀, die den englischen Namen „countable infinity“ erhält. Ja, für Mathematiker ist die Unendlichkeit zählbar, da Sie theoretisch bei 0 beginnen, 1, 2, 3, 4, 5 nach oben zählen und ℵ₀ gemäß dem Induktionsaxiom „erreichen“ können. Es gibt auch unzählige Unendlichkeiten wie ℵ₁, bekannt als die Kardinalität des Kontinuums oder die Anzahl der reellen Zahlen (vorausgesetzt, die Kontinuumshypothese ist wahr … es gibt sogar unterschiedliche Meinungen dazu). Es gibt sogar eine Schule von Ich dachte an „transfinite“ Zahlen, die mit Sätzen wie „Ich Doppelhund wage dich unendlich plus einmal!“ umgehen können.

Willkommen im Kaninchenbau der Unendlichkeit in Mathematik. Wir haben das Wort so definiert, dass es hier etwas bedeutet. Es wird in Bezug auf eine Reihe von Axiomen definiert. Halten diese Axiome im „wirklichen Leben“? Die meisten Mathematiker finden es bequem anzunehmen, dass dies der Fall ist. Der Computer, auf dem Sie dies heute lesen wurde unter Verwendung vieler Modelle aus dem Kalkül entwickelt, und die Wurzeln des Kalküls befinden sich tief im Unendlichen (insbesondere das Konzept der „Grenzen“). Bisher hat uns diese Annahme ziemlich gut getan. Ist diese Annahme „wahr“? Das ist komplizierter Frage. Es gibt finitistische Denkschulen, die von der Annahme ausgehen, dass die Anzahl der natürlichen Zahlen endlich ist und normalerweise auf die eine oder andere Weise mit der endlichen Kapazität des menschlichen Geistes oder des Universums zusammenhängt. Wenn die Zeit endlich ist und die Berechnung endlich ist, kann man theoretisch nicht „unendlich“ computerisieren, also argumentieren sie, dass es sie nicht gibt. Sind sie richtig? Nun ja … nach ihren Definitionen, so wie die gegenteilige Behauptung durch wahr ist die Definitionen der Peano-Axiome und der Mengenlehre. Beide können wohl wahr sein, weil sie jeweils das Wort „Unendlichkeit“ so definieren, dass es etwas ganz anderes bedeutet.

Zum Abschluss kann es sich lohnen, sich mit der Sprache zu beschäftigen Wahl: „Sollen wir also sagen, dass Zahlen unendlich sind?“ Wir können eine große Anzahl von Dingen sagen. Ob diese Dinge dem Ideal der Wahrheit entsprechen (selbst ein sehr schwer zu beschreibendes Wort), hängt stark von den individuellen Bedeutungen ab Wörter. Wenn Sie die Definition für „Unendlichkeit“ akzeptieren, die von der Mainstream-Mathematik gegeben wird, dann ist „Zahlen sind unendlich“ wahr, wörtlich, weil die Mainstream-Mathematik „Unendlichkeit“ als solche definiert. Wenn Sie die von den Finitisten gegebene Definition akzeptieren, ist „Zahlen sind unendlich“ falsch, buchstäblich weil die Finitisten „Unendlichkeit“ als solche definieren. Sie können Ihre eigene Definition wählen. Es kann sogar kontextbezogen sein (es ist nicht ungewöhnlich, dass christliche Mathematiker, die „Unendlichkeit“ in ihrer Religion etwas anders definieren als sie es in der Mathematik definieren, keine negativen Auswirkungen haben, außer dass zwei sehr ähnlichen Konzepten dasselbe Wort in ihrem Wortschatz zugewiesen wird). .

Kommentare

• " Es gibt ganze Denkschulen, die das unendliche Spektrum von Zahlen erforschen ". Niemand kann die unendliche Anzahl von Zahlen erforschen, weil sie unendlich sind. Sie würden unendlich viele Jahre und unendlich viele Gelehrte brauchen.
• Diese Antwort enthält das, was ich für einen unschuldigen Fehler halte. Der Wert der Kardinalität des Kontinuums ist eines der großen Unbekannten der Mengenlehre. ZFC ist nicht stark genug, um einen Wert zu ermitteln. Zu sagen, dass " c " gleich aleph-1 ist, bedeutet, die Wahrheit der Kontinuumshypothese anzunehmen.
• Diese Antwort gefällt mir wirklich gut.So viel wir sagen, wenn es eine Übereinstimmung in der Bevölkerung gibt, geht diese Antwort noch weiter, um sehr schnell und klar den mathematischen Rahmen zu geben, in dem wir beide Begriffe definieren und insbesondere, wie Unendlichkeit mit denselben definiert wird. +1
• @NickR Danke für den Fang! Eine Bearbeitung wurde eingerichtet!
• @JohnAm Sie können sie in endlicher Zeit erkunden, solange Sie für jede Zahl eine unendlich lange Zeitspanne berechnen 😉 Es stellt sich die Frage, wie gründlich wir sind Erforschen Sie einige der größeren Zahlen, ' t it!

Es ist allgemein anerkannt, dass die natürlichen Zahlen die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen (normalerweise nur nach Peano benannt, weil Dedekind steif wird). Diese Axiome implizieren dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Und es ist nicht schwer zu verstehen, warum: Es kann keine größte natürliche Zahl n geben, da n + 1 eine größere natürliche Zahl ist.

Allgemeiner in Mit den Standard (ZFC) Axiomen für die Mengenlehre können wir die Existenz einiger unendlicher Mengen beweisen. Dies ist für Ihre Zwecke etwas weniger hilfreich, da es sie gibt einer unendlichen Menge ist in ZFC als Axiom eingebaut, aber da ZFC weithin akzeptiert ist Von Mathematikern und Philosophen ist es erwähnenswert.