Okay, ich habe also echte Probleme, zwischen dem Steady State-Konzept und dem ausgeglichenen Wachstumspfad in diesem Modell zu unterscheiden :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Ich wurde gebeten, die stationären Werte für das Kapital pro effektivem Arbeitnehmer abzuleiten :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Sowie das stationäre Verhältnis von Kapital zu Produktion (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Ich fand beide in Ordnung, wurde aber auch gebeten, den „stationären Wert des Grenzprodukts des Kapitals dY / dK“ zu ermitteln „. Folgendes habe ich getan:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Ersetzen von K im stationären Zustand (berechnet, wenn das K / Y-Verhältnis oben im stationären Zustand berechnet wird):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Zuerst muss ich wissen, ob diese Berechnung für den stationären Wert von MPK ist richtig?
Zweitens wurde ich gebeten, die Zeitpfade des Kapital-Output-Verhältnisses und des Grenzprodukts des Kapitals für eine Wirtschaft zu skizzieren, die „von unten“ zu ihrem ausgeglichenen Wachstumspfad konvergiert.
Ich habe Probleme, genau zu verstehen, wie der ausgeglichene Wachstumspfad im Gegensatz zum stationären Zustand aussieht und wie ich anhand meiner Berechnungen herausfinden kann, wie diese Diagramme aussehen sollten.
Entschuldigung Die Mammutpost, jede Hilfe wird sehr geschätzt! Vielen Dank im Voraus.
Antwort
In diesem Fall führt der Versuch der Genauigkeit zu Verwirrung und Missverständnissen.
Früher enthielten Wachstumsmodelle keinen technologischen Fortschritt und führten zu einem langfristigen Gleichgewicht, das durch konstante Pro-Kopf-Größen gekennzeichnet war. Verbal schien der Begriff „stationärer Zustand“ angemessen, um eine solche Situation zu beschreiben.
Dann kamen Romer- und endogene Wachstumsmodelle hinzu, was auch die älteren Modelle dazu veranlasste, als Routine exogene Wachstumsfaktoren (abgesehen von der Bevölkerung) einzubeziehen. Und „plötzlich“ waren die Pro-Kopf-Werte im langfristigen Gleichgewicht nicht konstant, sondern wuchsen mit konstanter Geschwindigkeit. In der Literatur wurde eine solche Situation zunächst als „stationärer Zustand der Wachstumsraten“ beschrieben.
Dann scheint es, dass der Beruf so etwas wie „es ist ungenau, das Wort“ stetig „hier zu verwenden, weil die Pro-Kopf-Größen wachsen. Was passiert, ist, dass alle Größen bei wachsen ausgeglichene Rate (dh mit der gleichen Rate, und so bleiben ihre Verhältnisse konstant). Und da sie wachsen, folgen sie einem Pfad … „Eureka!: der Begriff“ ausgewogener Wachstumspfad „wurde geboren.
… Zur Frustration der Schüler (zumindest), die sich jetzt daran erinnern müssen, dass beispielsweise der „Sattelpfad“ tatsächlich ein Pfad im Phasendiagramm ist, aber der „ausgeglichene Wachstumspfad“ ist nur ein Punkt! (Denn um tatsächlich ein Phasendiagramm zu zeichnen und ein gutes altes langfristiges Gleichgewicht zu erhalten, drücken wir Größen pro effektivem Arbeiter aus, und diese Größen haben einen traditionellen stationären Zustand. Aber wir nennen es weiterhin „ausgeglichenen Wachstumspfad“. weil die Pro-Kopf-Größen, an denen wir in unserem individualistischen Ansatz interessiert sind, weiter wachsen).
Also „ausgeglichener Wachstumspfad“ = „stationärer Größenzustand pro Effizienz-Arbeitseinheit“, und ich denke, Sie können den Rest für Ihr Phasendiagramm herausfinden.
Antwort
Nach dem Gespräch mit Benutzer @denesp am In den Kommentaren meiner vorherigen Antwort muss ich Folgendes klarstellen: Das übliche grafische Gerät, das wir verwenden, bezieht sich auf das grundlegende Solow-Wachstumsmodell (siehe zum Beispiel hier , Abbildung 2) ) ist kein Phasendiagramm, da wir vernünftigerweise „Phasendiagramme“ nennen, die Nulländerungsorte enthalten, und deren Kreuzungspunkte als Fixpunkte einer Dynamik identifizieren l System und untersuchen ihre Stabilitätseigenschaften. Und das tun wir nicht für das Solow-Modell. Es war also eine unachtsame Verwendung der Terminologie von meiner Seite.
Trotzdem können wir ein „Halbphasendiagramm“ für das Solow-Wachstumsmodell im $ (y, k) $ -Raum zeichnen. Wenn wir die Symbole als „pro Effizienzarbeitseinheit“ verstehen, haben wir das System der Differentialgleichungen (während $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f „_k (k) \ cdot \ dot k $$ Wenn wir die Nulländerungsgleichung als schwache Ungleichung schreiben, um auch die dynamischen Tendenzen zu zeigen, haben wir
$$ \ dot k \ geq 0 \ impliziert y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ impliziert \ dot k \ geq 0 $$
Dieses System gibt also einen einzelnen Nulländerungsort, eine gerade Linie. Keine Kreuzungspunkte, um einen festen Punkt zu identifizieren. Was können wir tun?Zeichnen Sie auch die Produktionsfunktion in das Diagramm, da der $ (y, k) $ -Raum in Wirklichkeit eindimensional ist, keine Fläche, sondern eine Linie. Dann erhalten wir
Die vertikale / horizontale Pfeile, die die dynamischen Tendenzen anzeigen, stammen ordnungsgemäß aus den oben genannten schwachen Ungleichungen (sowohl $ y $ als auch $ k $ neigen dazu, über dem Nulländerungsort zu wachsen). Da sich $ y $ und $ k $ auf der gepunkteten Linie (der Produktionsfunktion) bewegen müssen, bewegen sie sich zu ihrem festen Punkt, unabhängig davon, wo wir beginnen. Hier stellt der Produktionsfunktionsgraph im Wesentlichen den Weg zum langfristigen Gleichgewicht dar, da die Konvergenz monoton ist.