Ich betrachte ein BEKK-multivariates GARCH-Modell.
In einem Standard-GARCH-Modell erwarten wir im Allgemeinen
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Der Alpha-Koeffizient ( $ \ alpha $ ) muss erheblich kleiner sein als der Beta-Wert ( $ \ beta) $ ), siehe zum Beispiel Verbeeks „Leitfaden zur modernen Ökonometrie in GARCH“ mit etwa 0,1 Alpha und 0,8 Beta.
Ich bewege mich jetzt in eine multivariate Umgebung, zu einem BEKK (1) ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
dh ein MV-ARCH (1),
Würde jemand geeignete Parameter für die Matrix $ A_ {ij} $ mit einer Referenz kennen? Und auch das BEKK (1,1) mit dem GARCH-Term
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Ich benötige geeignete Parameterwerte (wie erwartet) für A und B . Ich verstehe, dass sich dies zwischen Datensätzen usw. erheblich ändern wird. Aber im Allgemeinen können wir Werte erwarten?
Antwort
Leider gibt es diese Keine direkten Überprüfungen der $ a_ {ij} $ „s und $ b_ {ij} $ “ s Koeffizienten im BEKK-Fall wie $ \ alpha + \ beta < 1 $ sorgen für Stationarität und schwache Zeitabhängigkeit in der GARCH (1,1) Fall. Die Bedingungen sind im BEKK-Fall etwas komplizierter.
Der Prozess ist stationär und schwach zeitabhängig (in dem Sinne, dass es sich um eine „geometrisch ergodische Harris-wiederkehrende Markov-Kette“ handelt), wenn alle Eigenwerte der $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ Matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ sind kleiner als 1 und $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ ist positiv definitiv, aber das wird bei $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , da es konstruktionsbedingt positiv bestimmt ist. Das $ \ otimes $ bezeichnet das Kronecker-Produkt .
Satz 2 in Comte und Lieberman (2003) sagen, dass diese Bedingung sicherstellt, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer konsistent ist, und wenn wir weiter annehmen, dass der Prozess einen endlichen Moment sechster Ordnung hat, dass ist $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , dann stellt Satz 3 in Hafner und Preminger (2009) die asymptotische Normalität von fest die MLE.
Meines Wissens enthält die Literatur keine direkten Parameterbeschränkungen, die endliche Momente sechster Ordnung des BEKK-Prozesses gewährleisten. Satz C.1 im Anhang von Pedersen und Rahbek (2014) liefern ausreichende Bedingungen für die ARCH-Version des Gaußschen BEKK-Prozesses ( $ B_ {11} = 0 $ ), um $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | zu haben < \ infty $ . Diese Bedingung ist, dass alle Eigenwerte von $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ kleiner sein sollten als $ 15 ^ {- 1/3} \ ca. 0,4055 $ .
- F. Comte und O. Lieberman. Asymptotische Theorie für multivariate GARCH-Prozesse. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner und A. Preminger. Zur asymptotischen Theorie für multivariate GARCH-Modelle. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen und A. Rahbek. Multivariates Varianz-Targeting im bekk-garch-Modell. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Kommentare
- Nicht sicher, ob dies für die hier untersuchte besondere Form von BEKK gilt, aber McAleer " Was sie Ihnen nicht über algebraische (Nicht-) Existenz, mathematische (Ir-) Regelmäßigkeit und (nicht) asymptotische Eigenschaften der vollständigen dynamischen BEKK-Bedingung gesagt haben Das Kovarianzmodell " (2019) zeigt, dass BEKK möglicherweise nur unter restriktiven Bedingungen existiert, wobei der Teppich aus unter 4500+ Papieren unter Berufung auf BEKK gezogen wird.
- @Duffau eine großartige Antwort, aber haben Sie Ideen, wie die Lücke zwischen A und B sein sollte?
- Danke @FrancisOrigi! Denken Sie also daran, dass A und B Matrizen sind, sodass es keine klare Vorstellung von " Lücke " gibt. In dynamischen Systemen, in denen der Prozess durch Matrizen definiert ist, bestimmt häufig eine Art Eigenwert die Stabilität des Systems. Wie beim BEKK wird die Stabilität (Stationarität und schwache Abhängigkeit) durch die Eigenwerte der oben beschriebenen transformierten Matrizen bestimmt. Wenn Sie mehr erfahren möchten, würde ich mich mit linearen Vektorautoregressionen befassen. Sie sind der einfachste Typ mit multivariater Dynamik. Sie entsprechen AR-Modellen in der univariaten Welt.