Hintergrund: Ein Freund von mir macht ein Hobby (wie ich mir viele vorstellen kann), um die Ergebnisse der Hockey-Playoffs vorherzusagen. Er versucht, das Gewinnerteam in jedem Matchup und die Anzahl der Spiele zu erraten, die zum Gewinnen benötigt werden (für jeden, der mit NHL-Hockey nicht vertraut ist, wird eine Serie durch eine Best-of-7 entschieden). Sein Rekord in diesem Jahr nach 3 Spielrunden (8 + 4 + 2 = 14 Best of 7 Matchups) ist 7 richtig / 7 falsch für das Gewinnerteam und 4 richtig / 10 falsch für die Anzahl der Spiele (er betrachtet nur die Anzahl der Spiele als richtig wenn er auch das Gewinnerteam ausgewählt hat).
Wir müssen scherzen, dass er nicht besser ist als blindes Raten in der Teamfrage, aber dass er die Chancen erheblich übertrifft, wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeiten Für eine 4, 5, 6 oder 7-Spieleserie sind sie gleich (würde eine Erfolgsquote von 12,5% erwarten, er liegt bei 28,5%).
Dies hat uns gefragt, wie hoch die Chancen für jede mögliche Zahl tatsächlich sind Ich glaube, ich habe es geschafft, aber ich möchte ein paar lose Enden zusammenbinden, da ein Teil meines Ansatzes darin bestand, Brute-Force auf ein großes Stück Papier zu kritzeln. Meine Grundannahme ist, dass das Ergebnis jedes Spiels mit der Wahrscheinlichkeit $ \ frac {1} {2} $ zufällig ist, dass jedes Team gewinnt.
Meine Schlussfolgerung lautet:
$$ \ rm P (4 \; Spiele) = \ frac {2} {2 ^ 4} = 12,5 \% \\ P (5 \; Spiele) = \ frac {8} {2 ^ 5} = 25 \% \\ P (6 \; Spiele) = \ frac {20} {2 ^ 6} = 31,25 \% \\ P (7 \; Spiele) = \ frac {40} {2 ^ 7} = 31,25 \% $$
Ich habe meine Analyse anhand der Vorstellung geleitet, dass eine 4-Spiele-Serie eine Wahrscheinlichkeit von $ \ frac {2} {2 ^ 4} $ haben sollte, analog zu der Wahrscheinlichkeit, 4 Münzen zu werfen und entweder 4 zu erhalten Köpfe oder 4 Schwänze. Die Nenner waren leicht genug, um von dort herauszufinden. Ich habe die Zähler erhalten, indem ich die Anzahl der „legalen“ Kombinationen (WWLWWLL wäre illegal, da die Serie nach 5 Spielen entschieden würde, die letzten 2 Spiele würden nicht gespielt) der Ergebnisse für eine bestimmte Anzahl von Spielen gezählt hätte:
Possible 4 game series (2): WWWW LLLL Possible 5 game series (8): LWWWW WLLLL WLWWW LWLLL WWLWW LLWLL WWWLW LLLWL Possible 6 game series (20): LLWWWW WWLLLL LWLWWW WLWLLL LWWLWW WLLWLL LWWWLW WLLLWL WLLWWW LWWLLL WLWLWW LWLWLL WLWWLW LWLLWL WWLLWW LLWWLL WWLWLW LLWLWL WWWLLW LLLWWL Possible 7 game series (40): LLLWWWW WWWLLLL LLWLWWW WWLWLLL LLWWLWW WWLLWLL LLWWWLW WWLLLWL LWLLWWW WLWWLLL LWLWLWW WLWLWLL LWLWWLW WLWLLWL LWWLLWW WLLWWLL LWWLWLW WLLWLWL LWWWLLW WLLLWWL WLLLWWW LWWWLLL WLLWLWW LWWLWLL WLLWWLW LWWLLWL WLWLLWW LWLWWLL WLWLWLW LWLWLWL WLWWLLW LWLLWWL WWLLLWW LLWWWLL WWLLWLW LLWWLWL WWLWLLW LLWLWWL WWWLLLW LLLWWWL Was ist eine Nicht-Brute-Force-Methode zum Ableiten der Zähler? Ich denke, es könnte eine rekursive Definition geben, so dass $ \ rm P (5 \; Spiele) $ in Form von $ \ rm P (4 \; Spiele) $ usw. definiert werden kann, und / oder dass es Kombinationen wie $ \ rm (Wahrscheinlichkeit \; von \; mindestens \; 4/7 \; W) \ mal (Wahrscheinlichkeit \; von \; legal \; Kombination \; von \; 7 \ beinhalten kann) ; Ergebnisse) $, aber ich bin ein bisschen festgefahren. Anfangs dachte ich an einige Ideen mit $ \ left (^ n_k \ right) $, aber es scheint, dass dies nur funktioniert, wenn die Reihenfolge der Ergebnisse keine Rolle spielt.
Interessanterweise hat ein anderer gemeinsamer Freund einige Statistiken zu 7 gespielten Spieleserien (NHL, NBA, MLB 1905-2013, 1220) erstellt und Folgendes erstellt:
4 Game Series - 202 times - 16.5% 5 Game Series - 320 times - 26.23% 6 Game Series - 384 times - 31.47% 7 Game Series - 314 times - 25.73% Das ist eigentlich eine ziemlich gute Übereinstimmung (zumindest aus der Sicht meines Astronomen!). Ich würde vermuten, dass die Diskrepanz darauf zurückzuführen ist, dass jedes Spiel auf einen Sieg für das eine oder andere Team ausgerichtet ist (tatsächlich werden Teams normalerweise in der ersten Runde gesetzt, so dass das führende Qualifikationsteam das Team spielt, das sich kaum qualifiziert hat. Der zweite Platz spielt den vorletzten Platz und so weiter … und die meisten Spiele finden in der ersten Runde statt.
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- Bin nicht besonders aktiv in CV.SE, daher muss dies möglicherweise neu markiert werden.
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Für a Um [die Serie] in Spiel N zu gewinnen, müssen sie genau 3 der ersten N-1-Spiele gewonnen haben. Für Spiel sieben gibt es $ \ binom {6} {3} = 20 $ Möglichkeiten, dies zu tun. Es gibt 2 mögliche Ergebnisse für Spiel sieben und 20 mögliche Kombinationen von Siegen für jedes der Teams, die gewinnen können, also 40 mögliche Ergebnisse. Für eine N-Game-Serie endet eine Best-of-Seven-Serie Bei N Spielen beträgt die Anzahl der Möglichkeiten $ 2 \ binom {N-1} {3} $.
In der Tat spielt die Reihenfolge keine Rolle, d.h. Wenn Sie bereits die Anzahl der gespielten Spiele angegeben haben. Nur das letzte Spiel ist wichtig, und der Gewinner muss 3 vorherige Siege in beliebiger Reihenfolge haben.
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- Für eine N-Spieleserie sollte nicht ' Ist es nicht $ 2 (^ {N-1} _ {{\ rm floor} (N / 2)}) $ oder so ähnlich? Angenommen, es gibt eine ungerade Anzahl von Spielen, was nur sinnvoll ist.
- Ich habe N als Anzahl der Spiele verwendet, die in einer Best-of-Seven gespielt wurden. Z.B. Für N = 4 gibt $ 2 \ binom {3} {3} = 2 $ die Anzahl der Möglichkeiten an, wie die Serie in 4 Spielen enden kann. dh. Für jedes Team gibt es eine Anzahl von Möglichkeiten, 3 Siege aus 3 Spielen auszuwählen.
- Ja, die Möglichkeiten einer M-Spieleserie, die in N Spielen festgelegt wurde, sollten $ 2 \ binom {N-1} {betragen. \ mathrm {floor} (M / 2)} $. Dies funktioniert weiterhin, wenn ' eine gerade Anzahl von Spielen vorliegt, wenn gebundene Serien nicht als entschieden betrachtet werden.
- Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von realistisch sein möchten Der Gewinn sollte nicht für jedes Team für jedes Spiel 0,5 betragen. Als Beispiel könnte es einen Heimeisvorteil geben.
- @MichaelChernick stimmt, und ich spreche dies im letzten Absatz der Frage ein wenig an, aber 0,5 als Ausgangspunkt, der später angepasst werden kann, ist vernünftig .
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Eine alternative Sichtweise wäre die Binomialverteilung: Sie benötigen x = 3 (genau 3) Erfolge) in n = 6 (Trails). Wenn also die Wahrscheinlichkeit, ein Spiel zu gewinnen, 0,5 beträgt (beide Teams sind gleich wahrscheinlich), würde das Binomial P (x = 3) = 6C3 * (.5) ^ 3 * (.6) sagen ) ^ 3 = .3125 Dies würde eine Chance von 31,25% bedeuten, zu 7 Spielreihen zu gehen. Und die Wahrscheinlichkeit, die Sie im 7. Spiel gewinnen, würde dem negativen Binomial folgen, wie viele Trails = 7 für 4 Erfolg, 7-1 C 4-1 * (.5) ^ 3 * (.5) ^ 4