Die Übertragungsfunktion des Bessel-Filters wird über Bessel-Polynome definiert. Wenn wir zum Beispiel einen Filter 2. Ordnung betrachten, lautet die Übertragungsfunktion: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Ich wollte eine Simulation für einen solchen Filter erstellen mit einer Sallen-Key-Architektur. Daher habe ich diesen Entwurfsleitfaden von TI konsultiert. Sie definieren die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses 2. Ordnung wie folgt:
Ao ist 1, da ich möchte, dass der Gewinn eins ist. Ich habe mir die folgende Tabelle angesehen, um die C- und R-Werte korrekt zu berechnen.
Daher lautet die Übertragungsfunktion: $$ H (s) = \ frac {1} {0,618 * s ^ 2 + 1,3617 * s + 1} $$
Ich habe die Simulation ausgeführt und mir das Bode-Diagramm angesehen. Es zeigte das gewünschte Ergebnis (die Grenzfrequenz von -3 dB war wie berechnet).
Ich verstehe jedoch nicht, warum die Übertragungsfunktion so anders aussieht. Es ist definitiv kein Bessel-Polynom. Ich überprüfte die Sprungantwort und beobachtete ein Überschwingen von 0,4%, wie man es von einem Bessel-Filter erwarten würde. Dafür habe ich 3 Fragen:
- Wie kommt es, dass die Übertragungsfunktion in der ti-Entwurfsanleitung kein Bessel-Polynom ist.
- Sollte die Polposition eines Bessel-Filters 2. Ordnung sein für jeden Filter mit einer bestimmten Grenzfrequenz gleich sein?
- Kann ein Bessel-Tiefpass zweiter Ordnung einen anderen Q-Faktor als 0,5773 haben?
Danke!
Kommentare
- Die Konstante im Nenner für die letzte Gleichung H (s) muss “ 1 “ anstelle von “ 3 „. Letzte Frage: NEIN!. Es ist nur der Q-Faktor, der die Bessel-Antwort bestimmt.
- Sie haben Recht, es war ein Tippfehler. Hat immer noch nicht viel mit einem Bessel-Polynom zu tun.
- Warum nicht? Dies ist eine typische Filterfunktion mit einem Frequenzgang namens “ Thomson-Bessel „. Was ist dein Problem? Natürlich ist die Filterfunktion nicht identisch mit dem “ mathematischen Bessel-Polynom „.
- I don ‚ Ich verstehe nicht, warum Sie diese mathematische Definition auf der einen Seite und eine Übertragungsfunktion haben, die auf der anderen Seite völlig anders ist. Woher kommen diese Koeffizienten?
- Die Koeffizienten der sogenannten Bessel-Filter werden auf der Grundlage einer maximal flachen Gruppenverzögerung im Durchlassbereich berechnet (zu vergleichen mit einer maximal flachen Amplitude für Butterworth-Filtes). . Es kann gezeigt werden, dass wir bei der Berechnung der Koeffizienten die bekannten Bessel-Polynominale verwenden (dies ist ein ziemlich kompliziertes Verfahren) – dies bedeutet jedoch nicht, dass die Größe der Übertragungsfunktion eine Reaktion hat, die wie Bessel-Funktionen aussieht. Es ist – wie erwähnt – das mathematische Verfahren hinter der Ermittlung der Koeffizienten. OK?
Antwort
Wie kommt es, dass die Übertragung erfolgt? Die Funktion im ti design guide ist kein Bessel-Polynom.
Sehen wir uns die von Ihnen geschriebene Übertragungsfunktion an: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0,618s ^ 2 + 1,3617s + 1} \ $
Neuanordnung: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Die Gleichung ist jetzt in Standardform: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Und eindeutig \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $, daher 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Dieses Bit ist wichtig, da es \ $ \ sqrt3 \ $ ist.
Für einen Bessel-Tiefpassfilter 2. Ordnung 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ beträgt Zeta also 0,866.
In dem Bild habe ich R manipuliert, um ein Dämpfungsverhältnis (Zeta) von genau 1,732 zu erhalten – sehen Sie sich den Peak in der an Sprungantwort – 1,00433 Volt – genau richtig für Bessel. Sehen Sie sich die im oberen Diagramm dargestellte Phasenverzögerung an – maximal flach und bei der Eigenresonanzfrequenz allmählich um 90 Grad. Fd (die gedämpfte Frequenz) beträgt genau 0,5 – auch ein Hinweis auf Bessel.
Kann ein Bessel-Tiefpass zweiter Ordnung einen anderen Q-Faktor als 0,5773 haben?
0,5773 ist der Kehrwert von \ $ \ sqrt3 \ $ und nein, es muss das Q für einen Bessel-LPF sein.
Kommentare
- Der Grund, warum das Polynom anders ist, liegt in der Frequenzskalierung. Ein nicht skaliertes Bessel (OP ‚ s erste Formel) hat \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $ mit einer Dämpfung von ~ -1.597dB @ 1Hz – nichts Ungewöhnliches, Bessel ist normalerweise für eine flache Gruppenverzögerung, nicht für eine Frequenz – also hat TI es so skaliert, dass es ‚ das klassische -3dB ist.
- @aconcernedcitizen warum nicht eine Antwort machen, anstatt sie an meine Antwort zu heften, es sei denn, Sie weisen zu subtil auf einen Fehler in meiner Antwort hin, dass ich ‚ zu dumm bin zu erkennen?
- Ich hatte dies als Kommentar geschrieben, damit die Antwort, auf die ich den Kommentar mache, bei Bedarf aktualisiert werden kann. Aber wenn Sie sagen, es sollte eine Antwort sein, dann soll es so sein. Ich weiß nicht, woher die “ dummen “ kommt. Li. ‚ >
Antwort
Ein Bessel-Filter hat, wie Sie in Ihrer ersten Formel richtig zeigen, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Es ist nicht ungewöhnlich, wenn Sie denken, dass normalerweise ein Bessel-Filter für seine flache Gruppenverzögerung und nicht für sein Frequenzverhalten verwendet wird (wie @LvW in seinem Kommentar sagt). Die Implementierung eines Filters mit dieser Übertragungsfunktion ergibt jedoch ein ~ 1,597 dB @ 1 Hz Dämpfung, wodurch die Antwort nicht klassisch wird. Daher hat TI eine Frequenzskalierung angewendet, sodass die Dämpfung -3 dB bei 1 Hz beträgt. Zufällig beträgt die quadratische Frequenz (Pulsation) \ $ \ phi \ $ = 1,618 …, danach haben sie die Terme neu angeordnet, um sie an ihre Opamp-Topologie anzupassen.