Unterschied zwischen ganzen Zahlen und Dezimalzahlen

„Zählen“ (führt zum Zählen von Zahlen) ist ein Sonderfall (mit Mehrdeutigkeiten) des „Messens“, bei dem die Rolle des „Maßes / der Einheit“ sichtbarer ist. Offensichtlich (ich denke) ist die natürliche Einheit, die in „Zählsituationen“ impliziert ist, eine relevante atomare Einheit (wie „ganze, operative Person“ und nicht ein nicht so funktionaler kleinerer Teil einer Person).

Das heißt, implizite Maßnahmen mit der Einheit zu zählen, die kleinste / atomar durchführbare / operationelle Maßnahme (oft so universell implizit, dass sie nicht diskutiert werden kann).

Ein schickeres Analogon entsteht, wenn fortgeschrittenere Studenten zum ersten Mal der Idee, dass unendliche Summen (auch bekannt als „Serie“) unter den Begriff „Integrale“ fallen, aber mit „Zählmaß“ … und dass diskrete Mengen mindestens ein natürliches reguläres, positives Borel-Maß haben, nämlich das Zählmaß / p>

Kommentare

• 1. Darauf habe ich in meinem Eröffnungssatz angespielt, und deshalb stimme ich natürlich zu und ich mag den besonderen Farbton, den du ihm gibst. 2. Aber wie reagieren Sie auf die sehr rohen Anfänger, die “ fragen, warum ‚ wir nicht sagen wir 0,04 DekaPeople, da wir 0,04 KiloPeople sagen können? Irgendwie hilft es nicht, dass 0,04 DekaPeople = 0,4 People und 0,04 KiloPeople = 40 People: Ihre Ansicht ist, dass, sobald wir im Dezimal-Metrik-System arbeiten, kein Rückgriff auf fremde Überlegungen erfolgen sollte und die Dinge nicht davon abhängen sollten, ob die “ Nenner “ ist Personen oder Liter Milch .
• @schremmer, ich ‚ würde argumentieren, dass ohne “ auf fremde Überlegungen zurückgreifen “ Die Arithmetik ist zwar immer noch sinnvoll, aber die Relevanz / Anwendbarkeit kann manchmal leiden. Kontext ist wichtig.
• Natürlich ist der Kontext wichtig, wie es die meiste Zeit der Fall ist. Dies sind jedoch sogenannte Entwicklungsstudenten, und es ist sehr schwer, die Logik zu berücksichtigen.Aber sobald sie anfangen, hängen sie natürlich an solchen Dingen. Ich versuche ihnen zu sagen, dass sie immer am “ Nenner “ erkennen können, dem sie zustimmen, aber sie bestehen immer noch darauf dass “ es eine Regel geben sollte “ unabhängig davon, ob es sich um Menschen mit Litern Milch handelt. Das ist es, was ich nicht ‚ weiß, wie ich antworten soll.
• @schremmer, Sie könnten ihnen sagen, dass nicht alles (auch in Mathematik) auf a reduziert werden kann Liste eindeutiger Regeln. Mir ist klar, dass es verschiedene Entwicklungssituationen gibt, aber ich versuche dennoch, den Schülern auf allen Ebenen zu versichern, dass sie ihr eigenes kritisches Urteil nicht aufheben sollten, sondern dass sie eine Verantwortung für Verwenden von it, anstatt nur magisches Denken zu verwenden oder unerklärliche “ Regeln “ aufzurufen.
• Meine Antwort auf eine Frage wie “ Warum kann ‚ nicht 0,04 DekaPeople [0,4 Personen] “ ist, dass wir mit Sicherheit so etwas sagen können. Z.B. Frage: Wie hoch ist die Bevölkerungsdichte auf den Falklandinseln pro Quadratkilometer? Antwort: 0,26 Personen. Link

Warum können wir nicht “ 0,04 Personen “ sagen, da wir “ 0,04 KiloPeople „?

Einige Mengen (z. B. Personen) sind diskrete Mengen und einige (z. B. Meter, Dollar) sind kontinuierliche Mengen.

Die folgende Diskussion stammt von hier (ich habe betont die Wörter “ natürliche Zahl “ und “ dezimal. „)

Mengenklassifizierung

Eine Menge ist entweder diskret oder kontinuierlich . Eine diskrete Größe ist die Größe einer zählbaren Menge (eine, deren Elemente „voneinander getrennt und individuell verschieden“ sind). Sein Zahlenwert ist eine natürliche Zahl („Einteilung in eine Menge, die kleiner als eine Einheit ist, kann nicht berücksichtigt werden“) und seine Einheit ist klar am Start. Ein Beispiel für eine diskrete Größe ist „drei Jungen“.

Eine kontinuierliche Größe ist die Größe eines „Kontinuums“ („eine kontinuierliche Einheit, die in eine beliebige Anzahl kleinerer Teile unterteilt werden kann“, so dass „any“ zwei solcher Einheiten können zu einer größeren zusammengefasst werden “). Sein Zahlenwert (a dezimal oder ein Bruch) und seine Einheit „wurden a priori . ” Ein Beispiel für eine kontinuierliche Menge ist „drei Dollar“.

Eine kontinuierliche Menge ist entweder umfangreich oder intensiv . Ersteres drückt die Breite oder Größe (wie Fläche oder Gewicht) aus; Letzteres drückt Qualität oder Intensität (wie Dichte oder Geschwindigkeit) aus. Eine umfangreiche Menge hat Additivität: Das Attribut der Vereinigung zweier Körper ist gleich der Summe der Attribute der beiden Körper. Eine intensive Menge hat keine Additivität. Zum Beispiel ist das Gewicht zweier Körper notwendigerweise die Summe ihrer Gewichte, aber die Geschwindigkeit zweier Körper ist nicht notwendigerweise die Summe ihrer Geschwindigkeiten.

Der Text ist für Mathematikpädagogen geschrieben, kann aber umformuliert werden, um für Anfänger leichter verständlich zu sein.)

Meine ursprüngliche Antwort (hier für den Kontext enthalten), auf die das OP hingewiesen hat hat die beabsichtigte Frage nicht beantwortet:

Einige Größen, wie z. B. $ 1/3 $ Liter, haben Dezimaldarstellungen ( $ 0. \ overline {3} $ Liter), aber keine Ganzzahldarstellungen.

Kommentare

• Was hat das mit meiner Frage zu tun?
• Ihre Frage war “ Wo ziehen Sie die Grenze zwischen ganze und dezimale und wie erklären Sie es sehr rohen Anfängern , die verstehen wollen i. i>? “ I. Ich schlage vor, dass Sie die Linie zeichnen, wenn die Dezimaldarstellung nicht endet, und dass dieses Beispiel für “ sehr rohe Anfänger “ Studenten klar sein sollte
• @Die sehr rohen Anfänger, mit denen ich es zu tun habe, haben keine Ahnung, was eine Dezimalzahl darstellen kann, geschweige denn eine Dezimaldarstellung, die nicht endet. Außerdem ist 1/3 Liter Milch 1 , was eine ganze Zahl ist, die die Dinge nummeriert, auf die sie lauten benötigt 3, um einen Liter Milch zuzubereiten Hier ist also Ihre Darstellung der ganzen Zahl.In jedem Fall hat das wenig mit der ursprünglichen Frage zu tun.
• Wie wäre es also mit $ \ sqrt {2} $ meter, der Länge der Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit jedem Bein der Länge $ 1 $ Meter? Würden Sie zustimmen, dass es eine Dezimaldarstellung, aber keine Ganzzahlendarstellung gibt?
• Natürlich, aber was hat das mit der ursprünglichen Frage zu tun? Sie beantworten immer noch eine Frage, die ich nie gestellt habe. Die Frage, die ich gestellt habe, dreht sich um: Warum können wir ‚ nicht “ 0,04 Personen “ sagen? da wir sagen können “ 0,04 KiloPeople „?

Ich denke, die Verwirrung ist größtenteils eine Folge der Tatsache, dass viele Leute die Präfixe des metrischen Systems finden ( kilo- , centi- usw.) ungewohnt und finden Dezimalstellen (auch abschließende) weniger intuitiv als die „vulgären Brüche“, die sie darstellen.

Wenn mich jemand fragte: „Wie können 0,004 Kilometer, eine Dezimalzahl, sein?“ das gleiche wie 4 Meter, eine ganze Zahl „? (wie das OP in den Kommentaren unter seiner Frage erwähnt), würde ich mit so etwas antworten:

Stört es Sie auch, dass $ 1 / 2 $ ein Dutzend Eier, ein Bruchteil, entspricht 6 Eiern, eine ganze Zahl?

Was als nächstes kommen würde, hängt von der Antwort des Fragestellers ab Aber nehmen wir an, sie antworten mit etwas wie: „Okay, ich glaube, ich verstehe das. Aber warum kann ich“ 0,04 Kilopersonen „sagen, aber ich kann nicht“ 0,04 Personen „sagen?“ In diesem Fall würde ich mit antworten :

Stört es Sie auch, dass Sie ein halbes Dutzend Eier kochen können, aber kein halbes Ei?

Um klar zu sein, geht es bei diesen Antworten nicht darum, das Gespräch mit einem Zinger zu beenden, sondern die zugrunde liegenden Probleme an die Oberfläche zu bringen: “ 1 Kiloperson „bedeutet dasselbe wie“ 1000 Personen „, und Sie können ein halbes Tausend Menschen genauso haben wie ein halbes Dutzend Eier. Auf der anderen Seite können Sie nicht $ 1/7 $ von tausend Menschen haben, genauso wie Sie nicht $ 1/7 $ von einem Dutzend Eiern haben können.

Kommentare

• Mein Problem mit einer Frage wie “ Warum kann ‚ t wir sagen ‚ 0,04 Personen ‚ „, ist es das Mir scheint, wir können das mit Sicherheit sagen. Zum Beispiel könnte es die Bevölkerungsdichte pro Quadratkilometer in einer bestimmten Region sein. Tatsächlich: 0,04 Personen sind genau die Bevölkerungsdichte (pro km ^ 2) auf den norwegischen Inseln Spitzbergen und Jan Mayen. Link .
• @mweiss Entwicklungsstudenten, die anfangen Fragen zu stellen, möchten nicht mit einer Frage beantwortet werden. Sie würden Ihren “ entlassen. Sind Sie auch gestört … “ als “ Lehrer Trick „. Später in der Diskussion würden sie natürlich nichts gegen Ihre Argumentation einzuwenden haben und tatsächlich mitmachen. Ich denke jedoch, dass es bei ihrer Frage wirklich darum geht, wie ich Paul Garrett sagte: “ Sobald wir im Dezimal-Metrik-System arbeiten, sollte es keinen Rückgriff auf fremde Überlegungen geben und die Dinge sollten nicht davon abhängen, ob der Nenner “ “ Menschen oder Liter Milch ist. “