Var (XY), wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind [Duplikat]

Diese Frage hat hier bereits eine Antwort :

Kommentare

  • Tun Sie das? Hast du selbst irgendwelche Gedanken dazu? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ wäre falsch – betrachten Sie eine fast sicher konstante Nicht-Null $ X $
  • Nein, Sir. Ich weiß, dass Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 und E (XY) = E (X) E (Y) als X, Y unabhängig sind, aber keine Ahnung von X. ^ 2 und Y ^ 2 sind unabhängig oder nicht.
  • Wenn $ X $ und $ Y $ unabhängig sind, sind auch $ X ^ 2 $ und $ Y ^ 2 $ unabhängig und $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
  • Allgemeiner Produktfall hier: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (Produkt von 2 ist in der Frage angegeben)
  • Vielen Dank Glen_b

Antwort

Sie können Henrys Kommentaren folgen, um zur Antwort zu gelangen. Eine andere Möglichkeit, zur Antwort zu gelangen, besteht darin, die Tatsache zu verwenden, dass wenn $ X $ und $ Y $ sind unabhängig, dann $ Y. | X = Y $ und $ X | Y = X $ .

Durch iterierte Erwartungen und Varianzausdrücke

\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ Text {Var} [\, \ Text {E} (XY | X) \,] + \ Text {E} [\, \ Text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X. ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \,. \ end {align *}

Kommentare

  • $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ mag korrekt sein, ist aber seltsamerweise nicht symmetrisch wie $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ wäre. Ich hätte gedacht, $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y. ) $ wäre natürlicher, während $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ wäre auch wahr
  • @Henry Nun, wenn wir $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $ verwenden, erhalten wir $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Das ' ist symmetrisch.

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