Wie kann ich die Varianz von p berechnen, die aus einer Binomialverteilung abgeleitet wird? Nehmen wir an, ich werfe n Münzen und bekomme k Köpfe. Ich kann p als k / n schätzen, aber wie kann ich die Varianz in dieser Schätzung berechnen?
Ich bin daran interessiert, damit ich kann Kontrolle der Varianz in meinen Verhältnisschätzungen, wenn ich zwischen Punkten mit unterschiedlicher Anzahl von Versuchen vergleiche. Ich bin mir der Schätzung von p sicherer, wenn n größer ist, daher möchte ich modellieren können, wie zuverlässig die Schätzung ist.
Vielen Dank im Voraus!
Beispiel:
- 40/100. Die MLE von p wäre 0,4, aber wie groß ist die Varianz in p?
- 4/10. Der MLE wäre immer noch 0,4, aber die Schätzung ist weniger zuverlässig, so dass es mehr Varianz in p geben sollte.
Antwort
Wenn $ X $ $ \ text {Binomial} (n, p) $ ist, dann MLE von $ p $ ist $ \ hat {p} = X / n $.
Eine Binomialvariable kann als die Summe von $ n $ Bernoulli-Zufallsvariablen betrachtet werden. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ wobei $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
damit wir die Varianz des MLE $ \ hat {p} $ als
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} berechnen können ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Sie können also sehen, dass die Varianz des MLE für große $ n $ kleiner wird und für $ p $ nahe 0 oder 1 auch kleiner wird. In Bezug auf $ p $ wird maximiert, wenn $ p = 0,5 $ ist.
Für einige Konfidenzintervalle können Sie Binomial-Konfidenzintervalle
Kommentare
- Ich denke, der Link ähnelt dem, wonach ich ' suche, aber ich möchte einen Wert, der der Varianz von p entspricht. Wie kann ich das aus dem Konfidenzintervall ermitteln?
- Ich habe meine ursprüngliche Antwort bearbeitet, um Ihre Frage genauer zu beantworten.
- Wie gehen Sie damit um, dass die Formel der Varianz p erfordert, aber Sie Sie haben nur eine Schätzung von p?
- Sie könnten in Betracht ziehen, eine Varianzstabilisierungstransformation wie $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ zu verwenden, und dann erhalten Sie, dass die Varianz der transformierten Variablen ist $ \ tfrac {1} {4n} $