Zum ersten Punkt von Xi „an: Wenn Sie über $ \ sigma $ -Algebren, Sie fragen nach messbaren Mengen, daher muss sich leider jede Antwort auf die Maßtheorie konzentrieren. Ich werde jedoch versuchen, dies sanft zu erreichen.

Eine Wahrscheinlichkeitstheorie, die alle Teilmengen unzähliger Mengen zulässt, wird die Mathematik brechen.

Betrachten Sie dieses Beispiel. Angenommen, Sie haben ein Einheitsquadrat in $ \ mathbb {R} ^ 2 $ , und Sie sind an der Wahrscheinlichkeit interessiert, einen Punkt zufällig auszuwählen, der Mitglied einer bestimmten Menge im Einheitsquadrat ist . In vielen Fällen kann dies auf der Grundlage eines Vergleichs der Bereiche der verschiedenen Mengen leicht beantwortet werden. Zum Beispiel können wir einige Kreise zeichnen, ihre Flächen messen und dann die Wahrscheinlichkeit als Bruchteil des Quadrats nehmen, das in den Kreis fällt. Sehr einfach.

Aber was ist, wenn der Bereich des interessierenden Satzes nicht genau definiert ist?

Wenn der Bereich nicht genau definiert ist, können wir zwei verschiedene Gründe nennen vollständig gültige (in gewissem Sinne) Schlussfolgerungen über das Gebiet. Wir könnten also einerseits $ P (A) = 1 $ und $ P (A) = 0 $ hingegen, was $ 0 = 1 $ impliziert. Dies bricht die gesamte Mathematik irreparabel. Sie können jetzt $ 5 < 0 $ und eine Reihe anderer absurder Dinge beweisen. Dies ist natürlich nicht allzu nützlich.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -Algebren sind der Patch, mit dem math

Was genau ist eine $ \ sigma $ -Algebra? Es ist eigentlich nicht so beängstigend. Es ist nur eine Definition, welche Mengen als Ereignisse betrachtet werden können. Elemente, die nicht in $ \ mathscr {F} $ enthalten sind, haben einfach kein definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß. Grundsätzlich $ \ sigma $ -Algebren sind die “ -Patch „, mit denen wir einige vermeiden können pathologisches Verhalten der Mathematik, nämlich nicht messbare Mengen.

Die drei Anforderungen eines $ \ sigma $ -Feldes können als Konsequenzen dessen angesehen werden Wir möchten mit Wahrscheinlichkeit tun: Ein $ \ sigma $ -Feld ist eine Menge mit drei Eigenschaften:

1. Closure under countable Gewerkschaften.
2. Schließung unter zählbaren Kreuzungen.
3. Schließung unter Ergänzungen.

Die Komponenten zählbare Gewerkschaften und zählbare Kreuzungen sind direkte Konsequenzen der Nicht- messbares Mengenproblem. Der Abschluss unter Ergänzungen ist eine Folge der Kolmogorov-Axiome: if $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ sollte $ 1/3 $ . Ohne (3) kann es jedoch vorkommen, dass $ P (A ^ c) $ undefiniert ist. Das wäre seltsam. Das Schließen unter Komplementen und die Kolmogorov-Axiome lassen uns Dinge wie $ P (A \ Tasse A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Schließlich betrachten wir Ereignisse in Bezug auf $ \ Omega $ , daher benötigen wir weiterhin $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Gute Nachricht: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -Algebren sind nur für unzählige Mengen unbedingt erforderlich

Aber! Auch hier gibt es gute Nachrichten. Oder zumindest eine Möglichkeit, das Problem zu umgehen. Wir brauchen nur $ \ sigma $ -Algebren, wenn wir daran arbeiten ein Set mit unzähligen Kardinalitäten. Wenn wir uns auf zählbare Mengen beschränken, können wir $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ die Potenzmenge von $ \ Omega $ und wir haben keines dieser Probleme, weil für zählbare $ \ Omega $ $ 2 ^ \ Omega $ besteht nur aus messbaren Mengen. (Dies wird in Xis zweitem Kommentar erwähnt.) Sie werden feststellen, dass einige Lehrbücher hier tatsächlich eine subtile Handfertigkeit begehen und berücksichtigen Sie nur zählbare Mengen, wenn Sie Wahrscheinlichkeitsräume diskutieren.

Außerdem ist es bei geometrischen Problemen in $ \ mathbb {R} ^ n $ “ Es ist vollkommen ausreichend, nur $ \ sigma $ -Algebren zu berücksichtigen, die aus Mengen bestehen, für die der $ \ mathcal {L} ^ n gilt $ ist definiert. Um dies etwas fester zu begründen, $ \ mathcal {L} ^ n $ für $ n = 1,2 , 3 $ entspricht den üblichen Begriffen von Länge, Fläche und Volumen.Was ich im vorherigen Beispiel sage, ist, dass die Menge einen genau definierten Bereich haben muss, damit ihr eine geometrische Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird. Und der Grund ist folgender: Wenn wir nicht messbare Mengen zulassen, können wir dies enden in Situationen, in denen wir einem Ereignis basierend auf einem Beweis die Wahrscheinlichkeit 1 und einem Ereignis basierend auf einem anderen Beweis die Wahrscheinlichkeit 0 für dasselbe Ereignis zuweisen können.

Aber nicht Lassen Sie sich von der Verbindung zu unzähligen Sets verwirren! Ein häufiges Missverständnis, dass $ \ sigma $ -Algebren zählbare Mengen sind. Tatsächlich können sie zählbar oder unzählbar sein. Betrachten Sie diese Abbildung: Wie zuvor haben wir ein Einheitsquadrat. Definieren Sie $$ \ mathscr {F} = \ text {Alle Teilmengen des Einheitsquadrats mit definiertem $ \ mathcal {L} ^ 2 $ Measure}. $$ Sie können Zeichnen Sie ein Quadrat $ B $ mit der Seitenlänge $ s $ für alle $ s \ in (0,1) $ und mit einer Ecke bei $ (0,0) $ . Es sollte klar sein, dass dieses Quadrat eine Teilmenge des Einheitsquadrats ist. Darüber hinaus haben alle diese Quadrate eine definierte Fläche, sodass diese Quadrate Elemente von $ \ mathscr {F} $ sind. Es sollte aber auch klar sein, dass es unzählige Quadrate gibt $ B $ : Die Anzahl solcher Quadrate ist unzählig und jedes Quadrat hat ein Lebesgue-Maß definiert.

Aus praktischen Gründen reicht es oft aus, nur diese Beobachtung zu machen, um die Beobachtung zu machen, dass Sie nur Lebesgue-messbare Mengen in Betracht ziehen, um gegen das Problem von Interesse voranzukommen.

Aber warten Sie, was „sa nicht messbare Menge?

Ich fürchte, ich kann selbst nur ein bisschen Licht ins Dunkel bringen. Aber das Banach-Tarski-Paradoxon (manchmal die “ Sonne und Erbse “ paradox) kann uns helfen:

Bei einer festen Kugel im dreidimensionalen Raum gibt es eine Zerlegung der Kugel in eine endliche Anzahl von disjunkte Teilmengen, die dann auf andere Weise wieder zusammengesetzt werden können, um zwei identische Kopien der ursprünglichen Kugel zu erhalten. Beim Zusammenbau werden die Teile nur bewegt und gedreht, ohne dass sich ihre Form ändert. Die Teile selbst sind jedoch keine “ Festkörper “ im üblichen Sinne, sondern unendliche Punktstreuungen. Die Rekonstruktion kann mit nur fünf Teilen durchgeführt werden.

Eine stärkere Form des Theorems impliziert, dass bei zwei “ vernünftigen “ feste Objekte (wie ein kleiner Ball und ein großer Ball), beide können wieder zu anderen zusammengesetzt werden. Dies wird oft informell als “ angegeben. Eine Erbse kann zerhackt und wieder in die Sonne zusammengesetzt werden. “ und als Erbse und das Sonnenparadoxon „. 1

Wenn Sie also mit Wahrscheinlichkeiten in $ \ mathbb {R} ^ 3 $ arbeiten und die geometrische Wahrscheinlichkeit verwenden messen (das Verhältnis der Volumina), möchten Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen. Sie werden jedoch Schwierigkeiten haben, diese Wahrscheinlichkeit genau zu definieren, da Sie die Mengen Ihres Raums neu anordnen können, um das Volumen zu ändern. Wenn die Wahrscheinlichkeit vom Volumen abhängt, können Sie das Volumen des Satzes so ändern, dass es der Größe der Sonne oder der Größe von entspricht Bei einer Erbse ändert sich auch die Wahrscheinlichkeit. Keinem Ereignis wird also eine einzige Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Schlimmer noch, Sie können $ S \ in \ Omega $ wie z dass das Volumen von $ S $ $ V (S) > V hat (\ Omega) $ , was bedeutet, dass das geometrische Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeit $ P (S) > 1 $ , in offensichtlicher Verletzung der Kolmogorov-Axiome, die erfordern, dass die Wahrscheinlichkeit das Maß 1 hat.

Um dieses Paradoxon zu lösen, könnte man eine von vier Zugeständnissen machen:

1. The Das Volumen eines Satzes kann sich ändern, wenn es gedreht wird.
2. Das Volumen der Vereinigung von zwei disjunkten Mengen können sich von der Summe ihrer Volumina unterscheiden.
3. Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Axiom of Choice (ZFC) müssen möglicherweise geändert werden.
4. Einige Mengen könnten sich ändern markiert werden “ nicht messbar „, und man müsste prüfen, ob eine Menge “ messbar „, bevor über das Volumen gesprochen wird.

Option (1) hilft nicht bei der Verwendung der Definition von Wahrscheinlichkeiten, daher ist es aus. Option (2) verstößt gegen das zweite Kolmogorov-Axiom, daher ist es aus. Option (3) scheint eine schreckliche Idee zu sein, da ZFC so viel mehr Probleme behebt, als es verursacht.Aber Option (4) scheint attraktiv: Wenn wir eine Theorie darüber entwickeln, was messbar ist und was nicht, dann haben wir genau definierte Wahrscheinlichkeiten für dieses Problem! Dies bringt uns zurück zur Messung der Theorie und zu unserem Freund, der $ \ sigma $ -Algebra.

Kommentare

• Vielen Dank für Ihre Antwort. $ \ mathcal {L} $ steht für Lebesque messbar? Ich ‚ werde +1 Ihre Antwort auf den Glauben geben, aber ich ‚ würde es wirklich schätzen, wenn Sie die mathematische Ebene um einige Stufen senken könnten. .. 🙂
• (+1) Gute Punkte! Ich würde auch hinzufügen, dass ohne Maß und $ \ sigma $ -Algebren das Konditionieren und Ableiten von bedingten Verteilungen auf unzähligen Räumen ziemlich haarig wird, wie das Borel-Kolmogorov-Paradoxon zeigt .
• @Xi ‚ ein Dank für freundliche Worte! Es bedeutet wirklich viel, von dir zu kommen. Ich war mit dem Borel-Kolmogorov-Paradoxon zum Zeitpunkt dieses Schreibens nicht vertraut, aber ich werde ‚ etwas lesen und sehen, ob ich es schaffen kann, meine Erkenntnisse sinnvoll zu ergänzen.
• @ Student001: Ich denke, wir spalten hier die Haare. Sie haben Recht, dass die allgemeine Definition von “ Measure “ (jede Maßnahme) unter Verwendung des Konzepts der Sigma-Algebren gegeben wird. Mein Punkt ist jedoch, dass es kein Wort oder Konzept von “ Sigma-Algebra “ in der Definition des Lebesgue-Maßes in gibt Mein erster Link. Mit anderen Worten, man kann Lebesgue-Maß gemäß meinem ersten Link definieren, aber dann muss man zeigen, dass es ein Maß ist und dass ‚ s der schwierige Teil. Ich bin damit einverstanden, dass wir diese Diskussion beenden sollten.
• Ich habe es wirklich genossen, Ihre Antwort zu lesen. Ich ‚ weiß nicht, wie ich Ihnen danken soll, aber Sie ‚ haben die Dinge viel geklärt! Ich ‚ habe weder echte Analyse studiert noch eine angemessene Einführung in die Mathematik erhalten. Kam aus der Elektrotechnik, die sich stark auf die praktische Umsetzung konzentrierte. Sie ‚ haben das so einfach geschrieben, dass ein Kerl wie ich es verstehen könnte. Ich freue mich sehr über Ihre Antwort und die Einfachheit, die Sie ‚ bereitgestellt haben. Vielen Dank auch an @Xi ‚ an für seine gepackten Kommentare!

Die zugrunde liegende Idee (sehr praktisch) ist einfach. Angenommen, Sie sind ein Statistiker, der mit einer Umfrage arbeitet. Nehmen wir an, die Umfrage enthält einige Fragen zum Alter, aber bitten Sie den Befragten nur, sein Alter in bestimmten Intervallen zu ermitteln, z. B. $ [0,18], [18, 25), [25,34), \ dots $. Vergessen wir die anderen Fragen. Dieser Fragebogen definiert einen „Ereignisraum“, Ihr $ (\ Omega, F) $. Die Sigma-Algebra $ F $ kodifiziert alle Informationen, die aus dem Fragebogen abgerufen werden können. Für die Altersfrage (und im Moment ignorieren wir alle anderen Fragen) enthält sie das Intervall $ [18,25) $, jedoch keine anderen Intervalle wie $ [20,30) $, da wir aus den im Fragebogen erhaltenen Informationen keine Frage beantworten können wie: Gehört das Alter der Befragten zu $ [20,30) $ oder nicht? Im Allgemeinen ist eine Menge genau dann ein Ereignis (gehört zu $ F $), wenn wir entscheiden können, ob ein Stichprobenpunkt zu dieser Menge gehört oder nicht.

Definieren wir nun Zufallsvariablen mit Werten im zweiten Ereignisbereich $ (\ Omega „, F“) $. Nehmen Sie als Beispiel, dass dies die reale Linie mit der üblichen (Borel) Sigma-Algebra ist. Dann ist eine (nicht interessante) Funktion, die keine Zufallsvariable ist, $ f: $ „Alter der Befragten ist eine Primzahl“ und codiert dies als 1, wenn das Alter eine Primzahl ist, 0, sonst. Nein, $ f ^ {- 1} (1) $ gehört nicht zu $ F $, daher ist $ f $ keine Zufallsvariable. Der Grund ist einfach: Wir können anhand der Informationen im Fragebogen nicht entscheiden, ob das Alter des Befragten am besten ist oder nicht. Jetzt können Sie selbst interessantere Beispiele anführen.

Warum müssen wir $ F $ sein? Nehmen wir an, wir möchten zwei Fragen zu den Daten stellen: „Ist der Befragte Nummer 3 18 Jahre oder älter“, „Ist der Befragte 3 eine Frau?“. Lassen Sie die Fragen zwei Ereignisse definieren (Mengen in $ F $) $ A $ und $ B $, die Sätze von Stichprobenpunkten, die eine „Ja“ -Antwort auf diese Frage geben. Stellen wir nun die Verbindung der beiden Fragen „Ist die Antwort 3 eine Frau ab 18 Jahren“. Nun wird diese Frage durch dargestellt die gesetzte Kreuzung $ A \ cap B $. In ähnlicher Weise werden Disjunktionen durch die festgelegte Vereinigung $ A \ cup B $ dargestellt. Wenn wir nun die Schließung für zählbare Kreuzungen und Vereinigungen erfordern, können wir zählbare Konjunktionen oder Disjunktionen stellen. Und eine Frage negieren wird durch die komplementäre Menge dargestellt. Das gibt uns eine Sigma-Algebra.

Ich habe diese Art der Einführung zuerst in der sehr guten gesehen Buch von Peter Whittle „Wahrscheinlichkeit über Erwartung“ (Springer).

BEARBEITEN

Der Versuch, die Whuber-Frage in einem Kommentar zu beantworten: „Ich war am Ende ein wenig überrascht, als ich auf diese Behauptung stieß:“ Erforderliche Schließung für zählbare Kreuzungen und Gewerkschaften lassen uns zählbare Konjunktionen oder Disjunktionen fragen. „Dies scheint der Kern des Problems zu sein: Warum sollte jemand solch ein unendlich kompliziertes Ereignis konstruieren wollen?“ Nun, warum? Beschränken Sie sich jetzt auf die diskrete Wahrscheinlichkeit, sagen wir der Einfachheit halber, das Werfen von Münzen. Wenn Sie die Münze eine endliche Anzahl von Malen werfen, können alle Ereignisse, die wir mit der Münze beschreiben können, über Ereignisse vom Typ „Kopf auf Wurf $ i $“ ausgedrückt werden „,“ Schwänze beim Werfen von $ i $ und eine endliche Anzahl von „und“ oder „oder“. In dieser Situation benötigen wir also keine $ \ sigma $ -Algebren, Algebren von Mengen sind ausreichend. Gibt es in diesem Zusammenhang eine Situation, in der $ \ sigma $ -Algebren auftreten? In der Praxis entwickeln wir, selbst wenn wir die Würfel nur eine endliche Anzahl von Malen werfen können, Annäherungen an Wahrscheinlichkeiten über Grenzwertsätze, wenn $ n $, die Anzahl der Würfe, ungebunden wächst. Schauen Sie sich also den Beweis des zentralen Grenzwertsatzes für diesen Fall an, den Satz von Laplace-de-Moivre. Wir können durch Annäherung nur mit Algebren beweisen, dass keine $ \ sigma $ -Algebra benötigt werden sollte. Das schwache Gesetz großer Zahlen kann durch die Ungleichung von Chebyshev bewiesen werden, und dafür müssen wir nur die Varianz für endliche $ n $ -Fälle berechnen. Aber für das starke Gesetz von große Zahlen , das Ereignis, von dem wir beweisen, dass es wahrscheinlich ist, dass man es nur über eine zählbar unendliche Anzahl von „und“ und „oder“ „ausdrücken kann, also für das starke Gesetz der großen Zahlen Wir brauchen $ \ sigma $ -Algebren.

Aber brauchen wir wirklich das starke Gesetz der großen Zahlen? Laut eine Antwort hier , vielleicht nicht.

In gewisser Weise weist dies auf einen sehr großen konzeptionellen Unterschied zwischen dem starken und dem schwachen Gesetz großer Zahlen hin: Das starke Gesetz ist nicht direkt empirisch bedeutsam, da es sich um tatsächliche Konvergenz handelt, die niemals sein kann empirisch verifiziert. Das schwache Gesetz hingegen besagt, dass die Qualität der Approximation mit $ n $ zunimmt, wobei die numerischen Grenzen für endliche $ n $ empirisch bedeutsamer sind.

Also, jede praktische Verwendung von diskret Wahrscheinlichkeit könnte ohne $ \ sigma $ -Algebren auskommen. Für den kontinuierlichen Fall bin ich mir nicht so sicher.

Kommentare

• Ich glaube nicht, dass diese Antwort zeigt, warum $ \ sigma $ -Felder sind notwendig. Die Bequemlichkeit, $ P (A) \ in [20,30) $ beantworten zu können, ist nicht ‚ t durch Mathematik vorgeschrieben. Etwas puckisch könnte man sagen, dass Mathe ‚ sich nicht darum kümmert, was ‚ für Statistiker bequem ist. Tatsächlich wissen wir, dass $ P (A) \ in [20,30) \ le P (A) \ in [18,34) $, was gut definiert ist, also ‚ ist nicht einmal klar, dass dieses Beispiel zeigt, was Sie wollen.
• Wir ‚ benötigen die “ $ \ sigma $ “ Teil von “ $ \ sigma $ -algebra “ für eine dieser Antworten, Kjetil. Tatsächlich scheint es für die grundlegende Modellierung und Argumentation über die Wahrscheinlichkeit, dass ein arbeitender Statistiker mit festgelegten Algebren, die nur unter endlichen nicht zählbaren Gewerkschaften geschlossen sind, gut zurechtkommt. Der schwierige Teil der Frage von Antoni ‚ betrifft, warum wir unter unzähligen unendlichen Gewerkschaften einen Abschluss brauchen: Dies ist der Punkt, an dem das Subjekt zur Maßtheorie statt zur Elementartheorie wird Kombinatorik. (Ich sehe, dass Aksakal diesen Punkt auch in einer kürzlich gelöschten Antwort hervorgehoben hat.)
• @whuber: Sie haben natürlich Recht, aber in meiner Antwort versuche ich zu motivieren, warum Algebren (oder $ \ Sigma $ -Algebren) können Informationen vermitteln. Es ist ein Weg zu verstehen, warum diese alghebraische Struktur in die Wahrscheinlichkeit eintritt und nicht in etwas anderes. Darüber hinaus gibt es natürlich die technischen Gründe, die in der Antwort von user777 erläutert werden. Und wenn wir die Wahrscheinlichkeit einfacher machen könnten, wären natürlich alle glücklich …
• Ich denke, Ihre Argumentation ist stichhaltig. Am Ende war ich jedoch ein wenig überrascht, als ich auf diese Behauptung stieß: “ Wenn wir für zählbare Kreuzungen und Gewerkschaften einen Abschluss benötigen, können wir zählbare Konjunktionen oder Disjunktionen anfordern. “ Dies scheint den Kern des Problems zu bilden: Warum sollte jemand solch ein unendlich kompliziertes Ereignis konstruieren wollen? Eine gute Antwort darauf würde den Rest Ihres Beitrags überzeugender machen.
• Re praktische Anwendungen: die in der Finanzmathematik verwendete Wahrscheinlichkeits- und Maßtheorie (einschließlich stochastischer Differentialgleichungen, Ito-Integrale, Filtrationen von Algebren, etc.) sieht so aus, als wäre es ohne Sigma-Algebren unmöglich. (Ich kann ‚ die Änderungen nicht verbessern, da ich bereits über Ihre Antwort abgestimmt habe!)

Warum brauchen Probabilisten $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -Algebra?

Die Axiome von $ \ sigma $ -Algebren sind ganz natürlich durch die Wahrscheinlichkeit motiviert. Sie möchten in der Lage sein, alle Venn-Diagrammbereiche zu messen, z. B. $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . Um aus diese denkwürdige Antwort zu zitieren :

Das erste Axiom ist diese $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . Nun, Sie kennen IMMER die Wahrscheinlichkeit, dass nichts passiert ( $ 0 $ ) oder dass etwas passiert ( $ 1 $ ).

Das zweite Axiom wird unter Ergänzungen geschlossen. Lassen Sie mich ein dummes Beispiel geben. Betrachten Sie erneut einen Münzwurf mit $ X = \ {H, T \} $ . Stellen Sie sich vor, ich sage Ihnen, dass die $ \ sigma $ -Algebra für diesen Flip $ \ {\ oslash, X, \ {H. \} \} $ . Das heißt, ich kenne die Wahrscheinlichkeit, dass NICHTS passiert, dass ETWAS passiert und dass ein Kopf passiert, aber ich kenne die Wahrscheinlichkeit eines Schwanzes nicht. Sie würden mich zu Recht einen Idioten nennen. Denn wenn Sie die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes kennen, Sie Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit kennen, dass etwas passiert, kennen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass etwas NICHT passiert (das Komplement)!

Das letzte Axiom wird unter zählbaren Gewerkschaften geschlossen. Lassen Sie mich Ihnen geben Ein weiteres dummes Beispiel: Betrachten Sie den Würfelwurf oder $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Was wäre, wenn ich es wäre? Um Ihnen zu sagen, dass die $ \ sigma $ -Algebra dafür $ \ {\ oslash, X, \ {1 \} ist, \ {2 \} \} $ Das heißt, ich kenne die Wahrscheinlichkeit, einen $ 1 $ oder einen $ 2 $ , aber ich kenne die Wahrscheinlichkeit nicht, einen $ 1 $ oder einen $ 2 $ zu würfeln . Auch hier würden Sie mich zu Recht als Idioten bezeichnen (ich hoffe, der Grund ist klar). Was passiert, wenn die Sets nicht disjunkt sind und was mit unzähligen Gewerkschaften passiert, ist etwas chaotischer, aber ich hoffe, Sie können versuchen, sich einige Beispiele auszudenken.

Warum brauchen Sie zählbare statt nur endliche $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -Aditivität?

Nun, es ist keine völlig saubere Fall schneiden, aber es gibt einige solide Gründe warum .

Warum brauchen Probabilisten Maßnahmen?

An diesem Punkt Sie haben bereits alle Axiome für ein Maß. Aus $ \ sigma $ -Additivität, Nicht-Negativität, null leerer Menge und der Domäne von $ \ sigma $ -algebra. Sie können auch $ P $ als Maß angeben. Die Maßtheorie ist bereits gerechtfertigt .

Die Leute bringen Vitalis Set und Banach-Tarski mit, um zu erklären, warum Sie die Maßtheorie brauchen, aber ich denke, das ist irreführend . Vitalis Set verschwindet nur für (nicht triviale) Maßnahmen, die übersetzungsinvariant sind und für die Wahrscheinlichkeitsräume nicht erforderlich sind. Und Banach-Tarski erfordert Rotationsinvarianz. Analyseleute kümmern sich um sie, aber Probabilisten tun dies nicht .

Die Existenzberechtigung dêtre der Maßtheorie in der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, die Behandlung von diskreten und kontinuierlichen Wohnmobilen zu vereinheitlichen und darüber hinaus gemischte Wohnmobile und einfach keine Wohnmobile zuzulassen.

Kommentare

• Ich denke, dass diese Antwort eine großartige Ergänzung zu diesem Thread sein könnte, wenn Sie ihn ein wenig überarbeiten. Derzeit ist es ‚ schwer zu verfolgen, da große Teile davon von Links zu anderen Kommentarthreads abhängen. Ich denke, wenn Sie es als eine Erklärung von unten nach oben auslegen würden, wie Maßnahmen, endliche $ \ sigma $ -Aditivität und $ \ sigma $ -Algebra als notwendige Merkmale von Wahrscheinlichkeitsräumen zusammenpassen, wäre es viel stärker. Sie ‚ sind sehr nah dran, weil Sie ‚ die Antwort bereits in verschiedene Segmente unterteilt haben, aber ich denke, die Segmente müssen mehr begründet und begründet werden Um vollständig unterstützt zu werden.

Ich habe die ganze Geschichte immer so verstanden:

Wir beginnen mit einem Leerzeichen, z. B. der reellen Zeile $ \ mathbb {R} $ . Wir möchten unser Maß auf Teilmengen dieses Leerzeichens anwenden B. durch Anwenden des Lebesgue-Maßes, das die Länge misst. Ein Beispiel wäre das Messen der Länge der Teilmenge $ [0, 0,5] \ cup [0,75, 1] $ . In diesem Beispiel lautet die Antwort einfach $ 0.5 + 0.25 = 0.75 $ , die wir ziemlich leicht erhalten können. Wir fragen uns, ob wir das Lebesgue-Maß auf alle Teilmengen der realen Linie anwenden können.

Leider funktioniert es nicht. Es gibt diese pathologischen Mengen, die die Mathematik einfach auflösen Wenn Sie das Lebesgue-Maß auf diese Sätze anwenden, erhalten Sie inkonsistente Ergebnisse. Ein Beispiel für einen dieser pathologischen Sätze, auch als nicht messbare Sätze bezeichnet, da sie buchstäblich nicht gemessen werden können, sind die Vitali-Sätze. P. >

Um diese verrückten Mengen zu vermeiden, definieren wir die Kennzahl so, dass sie nur für eine kleinere Gruppe von Teilmengen funktioniert, die als messbare Mengen bezeichnet werden. Dies sind die Mengen, die sich konsistent verhalten, wenn wir Maßnahmen auf sie anwenden. Um Operationen mit diesen Mengen durchführen zu können, z. B. indem wir sie mit Gewerkschaften kombinieren oder ihre Ergänzungen übernehmen, benötigen wir diese messbaren Mengen, um untereinander eine Sigma-Algebra zu bilden. Durch die Bildung einer Sigma-Algebra haben wir eine Art sicheren Hafen für unsere Maßnahmen geschaffen, in dem wir operieren können. Gleichzeitig können wir vernünftige Manipulationen vornehmen, um das zu erreichen, was wir wollen, z. B. Gewerkschaften und Komplemente. Aus diesem Grund benötigen wir eine Sigma-Algebra, damit wir einen Bereich zeichnen können, in dem die Kennzahl arbeiten kann, während nicht messbare Mengen vermieden werden. Beachten Sie, dass ich ohne diese pathologischen Teilmengen leicht das Maß definieren kann, das innerhalb des Leistungssatzes des topologischen Raums betrieben werden soll. Der Leistungssatz enthält jedoch alle Arten von nicht messbaren Mengen, und deshalb haben wir um die messbaren herauszusuchen und sie untereinander zu einer Sigma-Algebra zu machen.

Wie Sie sehen können, da Sigma-Algebren verwendet werden, um nicht messbare Mengen zu vermeiden, werden Mengen mit endlicher Größe nicht “ Ich brauche eigentlich eine Sigma-Algebra. Nehmen wir an, Sie haben es mit einem Beispielraum zu tun. $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ (dies könnte Sie können sehen, dass es so gut wie unmöglich ist, mit einem solchen Probenraum nicht messbare Mengen zu finden. Das Maß (in diesem Fall ein Wahrscheinlichkeitsmaß) ist für jede Teilmenge von $ \ Omega $ , die Sie sich vorstellen können, gut definiert. Wir müssen jedoch Sigma-Algebren für größere Probenräume wie die reale Linie definieren, damit wir pathologische Teilmengen vermeiden können, die unsere Maßnahmen auflösen. Um Konsistenz im theoretischen Wahrscheinlichkeitsrahmen zu erreichen, benötigen wir, dass endliche Probenräume auch Sigma-Algebren bilden, in denen nur das Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist. Sigma-Algebren in endlichen Probenräumen sind eine technische Angelegenheit, während Sigma-Algebren in größeren Probenräumen wie der realen Linie eine Notwendigkeit sind.

Eine gebräuchliche Sigma-Algebra, für die wir verwenden Die eigentliche Linie ist die Borel-Sigma-Algebra. Es wird durch alle möglichen offenen Mengen gebildet und nimmt dann die Ergänzungen und Vereinigungen, bis die drei Bedingungen einer Sigma-Algebra erreicht sind. Angenommen, Sie konstruieren die Borel-Sigma-Algebra für $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , indem Sie alle möglichen offenen Mengen auflisten, z als $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ und so weiter, und wie Sie sich vorstellen können, gibt es unendlich viele Viele Möglichkeiten können Sie auflisten, und dann nehmen Sie die Ergänzungen und Vereinigungen, bis eine Sigma-Algebra erzeugt wird. Wie Sie sich vorstellen können, ist diese Sigma-Algebra ein TIER. Sie ist unvorstellbar groß. Aber das Schöne daran ist, dass sie alle ausschließt verrückte pathologische Mengen, die die Mathematik zerstört haben. Diese verrückten Mengen sind nicht in der Borel-Sigma-Algebra. Außerdem ist diese Menge umfassend genug, um fast jede Teilmenge einzuschließen, die wir benötigen. Es ist schwer, sich eine vorzustellen Teilmenge, die nicht in der Borel-Sigma-Algebra enthalten ist.

Und das ist die Geschichte, warum wir Sigma-Algebren benötigen, und Borel-Sigma-Algebren sind ein üblicher Weg, um diese Idee umzusetzen.

Kommentare

• ‚ +1 ‚ sehr gut lesbar. Sie scheinen jedoch der Antwort von @Yatharth Agarwal zu widersprechen, der sagt: “ Die Leute bringen Vitalis Set und Banach-Tarski mit, um zu erklären, warum Sie Maßtheorie brauchen, aber ich denke, das ist irreführend. Vitalis Set verschwindet nur für (nicht triviale) Maßnahmen, die übersetzungsinvariant sind und für die Wahrscheinlichkeitsräume nicht erforderlich sind. Und Banach-Tarski erfordert Rotationsinvarianz. Analyseleute kümmern sich um sie, Probabilisten jedoch nicht. „. Vielleicht haben Sie einige Gedanken dazu?
• +1 (insbesondere für die Metapher “ sicherer Hafen „!) . @Stop Angesichts der Tatsache, dass die Antwort, auf die Sie verweisen, wenig tatsächlichen Inhalt hat – sie gibt nur einige Meinungen wieder -, ist sie ‚ meiner Meinung nach nicht viel Überlegung oder Debatte wert,

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