Das Folgende ist eine Interviewfrage von Mark Joshi et al. Quant Job Interview.
Frage: Warum ist Brownsche Bewegung im Finanzbereich nützlich?
Ich habe einen Pure Maths PhD-Hintergrund (Funktionsanalyse, insbesondere Banach Space Theory). Nach meiner Promotion möchte ich mich in die Quant Finance-Branche wagen.
Daher habe ich keine Ahnung, wie ich die obige Frage beantworten soll, da es den Anschein hat, als würden die meisten stochastischen Kalkülbücher über Brownsche Bewegung sprechen, aber niemals Motivationen geben.
Kommentare
- Hallo: Ein Grund ist, dass ' ein Martingal ist und einige die Protokollpreise als Martingal ansehen können. Daher kann BW ein vernünftiger Prozess zur Modellierung von Änderungen der Protokollpreise sein. Tatsächlich basiert das gesamte Black-Scholes-Framework auf dieser Annahme.
- Standard-Brownsche Bewegung oder geometrische Brownsche Bewegung?
- Ich denke, kann beides beantworten?
- Der Hauptnutzen von BM und Ito Calculus im Gegensatz zu Dingen wie diskreten Random Walks ist die Fähigkeit, ein Derivatportfolio in einem solchen Universum kontinuierlich abzusichern.
Answer
Die Brownsche Bewegung ist einfach die Grenze eines skalierten (zeitdiskreten) Zufallslaufs und somit ein natürlicher Kandidat. Es ist sehr intuitiv und wohl einer der einfachsten und am besten verstandenen zeitkontinuierlichen stochastischen Prozesse. Vergessen Sie auch nicht, dass Sie viel mehr stochastische Prozesse als Funktionen einer (zeitlich veränderten) Brownschen Bewegung erhalten. In vielen Büchern über stochastische Analysis definieren Sie zuerst das Ito-Integral in Bezug auf eine Brownsche Bewegung, bevor Sie es auf allgemein erweitern Semimartingales. Unter der Annahme, dass Log-Returns einer Brownschen Bewegung (mit Drift) folgen, können Sie leicht geschlossene Lösungen für Optionspreise ableiten. Die Brownsche Bewegung ist außerdem Markovian und ein Martingal, die Schlüsseleigenschaften im Finanzbereich darstellen.
Die Brownsche Bewegung wurde erstmals 1900 von Bachelier eingeführt. Samuelson verwendete dann das Exponential einer Brownschen Bewegung (geometrische Brownsche Bewegung), um Negativität für ein Aktienkursmodell zu vermeiden. Basierend auf dieser Arbeit fanden Black und Scholes 1973 ihre berühmte Formel.
Kommentare
- Dies sieht aus wie die Antwort, die Sie in einem Interview geben sollen. Ein Wort der Warnung, da Sie einen rein mathematischen Hintergrund haben. Alle diese Modelle Annahmen treffen, dass verschiedene Größen ar e Gaußsche Normalverteilung. Daten aus dem wirklichen Leben sind es nicht. Ob die Modelle noch nützlich sind oder nicht, ist genau die Frage, für die sie einen reinen Mathematik-Doktoranden einstellen möchten.
- Aber warum ist ein zufälliger Spaziergang ein natürlicher Kandidat für die Modellierung von Assets? Die Antwort ist eher eine wirtschaftliche als eine mathematische Frage (wenn die Rendite " vorhergesagt " sein könnte, würde der Handel so erfolgen, dass die Rendite steigen würde " nicht mehr vorhersehbar sein ")
Antwort
Physikalische Objekte bewegen sich gemäß einfachen glatten Kurven, die durch Polynome niedriger Ordnung dargestellt werden können: eine gerade Linie, eine Parabel, eine Ellipse usw.
Die Finanzmarktpreise bewegen sich auf eine ganz andere Art und Weise, wie aus einem Diagramm der Aktienkurse, Zinssätze usw. in einer Zeitung hervorgeht: Es gibt konstante, unregelmäßige Schwankungen, manchmal in die eine, manchmal in die andere, manchmal kleine und manchmal große. das gibt der Kurve ein raues, zufälliges Aussehen. Die Brownsche Bewegung ist ein geeignetes Modell für diese Art von Kurve.