Warum ist das elektrische Feld Null, wo sich Äquipotentialflächen schneiden?

Lassen Sie uns zunächst die Luft anhand eines einfachen Beispiels reinigen, das das gewünschte Verhalten zeigt (und das für die meisten nicht trivialen Fälle im Wesentlichen isomorph ist) insbesondere die folgende Behauptung:

Das Potential $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ ist ein vollkommen gültiges elektrostatisches Potential, und es kann ganz natürlich gesehen werden, dass es zwei Äquipotentialflächen (die $ yz $ -Ebene und die $ xz $ -Ebene) hat, die sich entlang einer Linie schneiden.

Dieses Beispiel kann der üblichen Intuition entsprechen, dass sich Äquipotentialflächen wie Feldlinien niemals kreuzen, aber es überprüft sich perfekt – und es stimmt mit der Behauptung Ihres Professors überein, dass das elektrische Feld $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes am Schnittpunkt $ x = y = 0 $.

(Für diejenigen, die die Hüllkurve etwas weiter verlängern möchten: Dies verallgemeinert sich natürlich auf den Schnittpunkt einer beliebigen Anzahl $ n $ von Äquipotentialflächen entlang a Linie, indem einfach auf das $ n $ -Polare Potential $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ gewechselt wird rechts] \ mathclose {} $.)

Also, was ist los oder wie liefern wir der vorliegenden Aussage echtes mathematisches Fleisch?

Nun, beginnen wir mit der Definition von Äquipotentialflächen: Eine Fläche $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ bis \ mathbb R ^ 3 $ ist ein Äquipotential des elektrostatischen Potentials $ V. : \ mathbb R ^ 3 \ bis \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ ist für alle $ (u, v) \ in D $ konstant. Außerdem wissen wir, dass an jedem Punkt $ \ mathbf r = S (u, v) $ auf der Oberfläche hat das elektrische Feld $ \ mathbf E = – \ nabla V $ ein inneres Nullprodukt mit jedem Vektor, der innerhalb der Tangentialebene $ TS_ \ mathbf r $ zu liegt Oberfläche bei $ \ mathbf r $ als Folge der Kurven $ \ gamma: (a, b) \ zu D $ und der Differenzierung der Konstanzbeziehung $ V (S (\ gamma (t))) \ äquiv. V_0 $ in Bezug auf Geben Sie für den Parameter $ t $ $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ für alle Vektoren $ \ dot \ gamma \ in ein TS_ \ mathbf r $. Da diese Ebene zweidimensional und der Raum dreidimensional ist, schließen wir, dass es eine eindeutige Normalrichtung $ \ hat {\ mathbf n} $ zur Oberfläche gibt und dass $ \ mathbf E $ muss parallel zu dieser Normalen sein (oder möglicherweise Null), aber Das Kernergebnis ist, dass die Komponente von $ \ mathbf E $ entlang einer beliebigen Richtung innerhalb der Tangentialebene verschwinden muss.

OK, also lassen Sie uns jetzt den Ante erhöhen und zwei verschiedene Oberflächen $ S_i betrachten : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, die sich irgendwann $ \ mathbf r_0 $ schneiden, und lassen Sie uns auch festlegen, dass beide Oberflächen Äquipotentiale von $ V $ sind.

Auf Anhieb können wir schließen, dass das Potential an allen Punkten auf beiden Oberflächen der gleichen Konstante entsprechen muss, da $ V = V (\ mathbf r) $ a (einwertig) ist ) Funktion. Wenn es $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ für $ \ mathbf r_0 \ in S_1 $ entspricht, muss es $ V_1 $ in $ S_1 $ entsprechen – aber $ \ mathbf r_0 $ ist auch in $ S_2 $, also $ V $ muss auch in $ S_2 $ gleich $ V_1 $ sein. Dies ist wahrscheinlich das, worüber Ihr Professor in der Behauptung sprach, dass Sie als

berichten. Er behauptete auch, dass sich zwei Äquipotentialflächen nicht schneiden können, da dies zwei unterschiedliche Potentiale ergeben würde zum gleichen Zeitpunkt

, aber das war sehr wahrscheinlich viel näher an

zwei Äquipotentialflächen mit unterschiedlichem Potential können sich nicht schneiden, da dies zwei unterschiedliche Potentiale am selben Punkt ergeben würde.

Das ist das Einfache.Sagen wir jetzt etwas nicht Triviales: Was ist mit dem elektrischen Feld an der Kreuzung?

Beginnen wir jedoch zuerst mit dem einfachen Fall und nehmen an, dass die Äquipotentiale eine richtige Schnittmenge von Dimension eins entlang a haben Kurve, was bedeutet, dass sich an jedem Punkt $ \ mathbf r $ entlang des Schnittpunkts die Tangentialebenen zu den beiden Flächen auf einer Linie schneiden und jede von ihnen eine separate, linear unabhängige Richtung hat, die nicht zur anderen gehört Ebene.

Damit können wir die zuvor entwickelten Werkzeuge einbringen: Wir wissen, dass $ \ mathbf E $ ein verschwindendes inneres Produkt mit jedem Vektor haben muss, der innerhalb einer der Tangentialebenen liegt, außer dass wir es jetzt sind drei linear unabhängige Vektoren $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ und $ \ mathbf e_3 $ zum Verschwinden haben, einen entlang der Kreuzung und einen anderen unabhängigen Vektor entlang jeder Ebene. Der einzige Weg, wie ein Vektor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ für linear unabhängige $ \ mathbf e_i, $ erfüllen kann, ist für $ \ mathbf v = 0 $ . Hier kommt die Behauptung Ihres Professors her.

Lassen Sie uns abschließend den etwas pathologischeren Fall ansprechen, den Sie am Ende Ihrer Frage erwähnen:

Warum kann es nicht einfach zwei verschiedene Äquipotentialflächen mit demselben Potential geben, die […] berühren?

Dies ist keine schlechte Frage, und die Antwort lautet im Wesentlichen, dass dies passieren kann , aber die Umstände, unter denen dies geschieht, sind so pathologisch, dass wir größtenteils bereit sind, das Baby mit dem zu werfen Badewasser. Wenn wir sagen „zwei Oberflächen schneiden sich“, meinen wir normalerweise, dass sie einen Schnittpunkt von Dimension eins entlang einer Kurve haben. Wenn wir zulassen möchten, dass sich die Oberflächen berühren oder ein ähnlich pathologisches Verhalten zeigen, werden wir dies ausdrücklich bemerken . (Mathematiker gehen etwas vorsichtiger mit ihrer Sprache um, aber andererseits machen Physiker interessantere Dinge, und Sie können keine Zeit damit verschwenden, sich mit kleinen Details zu beschäftigen.)

Wie auch immer, wenn Sie ein Potenzial mit zwei Äquipotentialen wollen Berühren Sie an einer Stelle. Das sauberste Beispiel, an das ich denken kann, ist $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$, wobei die Äquipotentiale $ V (\ mathbf r) = 0 $ sind zwei kreisförmige Paraboloide, die sich an ihrer Spitze berühren. Dies ist keine Lösung der Laplace-Gleichung, was bedeutet, dass es kein freies Potential im freien Raum ist, sondern Sie Sie können einfach die Ladungsdichte $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $ einstellen, und Sie erhalten eine angemessene Verteilung. Wenn Sie dies sparen möchten, ist es besser, $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ zu wählen, für die die Ladungsdichte $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ ist äußerst vernünftig und tauscht eines der Paraboloide gegen die Ebene $ z = 0 $ aus.

Nun, für beide Beispiele Haben Sie ein Polynom höherer Ordnung als Ihr Potential, und das elektrische Feld verschwindet am Schnittpunkt der Äquipotentiale. Wenn Sie etwas mit berührenden Äquipotentialen und einem elektrischen Feld ungleich Null haben möchten, ist das nächste, was ich auf saubere Weise finde, die Kombination der beiden obigen Beispiele, wobei drei Äquipotentiale (die zwei Paraboloide und das $ xy $ -Ebene) aufeinander treffen an einem Punkt ist $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ mit einem $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ Abhängigkeit entlang der $ z $ -Achse, und dann, um dies herauszufiltern, indem man eine Kubikwurzel nimmt und $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x) ergibt ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ hat die gleichen berührenden Äquipotentiale wie oben, aber jetzt hat es ein konstantes elektrisches Feld $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ in allen Punkten $ (0,0, z) $ mit $ z \ neq 0 $. Leider kann man jedoch nicht wirklich schließen, dass das elektrische Feld dort ungleich Null ist, da die Grenzen von $ \ mathbf r \ to0 $ entlang der $ z $ -Achse und entlang der $ xy $ -Ebene liegen „t pendeln – und tatsächlich divergiert $ \ nabla V $ überall auf der $ xy $ -Ebene.

Ich werde hier die Äquipotentiallandschaft zeichnen, wenn ich entlang der $ xz $ -Ebene geschnitten werde, um eine Idee zu geben der Art der pathologischen Struktur, zu der Sie durch Berücksichtigung dieser Art von Fällen gedrängt werden:

^{Quelle: Import [„ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m „] [„ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png „]}

Die scharfen Klippen zeigen an den Äquipotentialen in der 3D-Ansicht von $ V (x, 0, z) $ sind klare Markierungen für die Tatsache, dass das elektrische Feld bei den Äquipotentialen von $ V = 0 $ überall unendlich ist, mit der einzigen Ausnahme des Ursprungs, wenn es von der $ z $ -Achse her angefahren wird.

Wie auch immer, das ist der Preis, den Sie zahlen müssen, um zu haben Die Potentiale, die sich berühren, ohne dass am Berührungspunkt ein elektrisches Feld von Null erforderlich ist, um alles schön und glatt zu halten. Im Allgemeinen werfen Sie diese Fälle jedoch einfach per Dekret aus, indem Sie eine regelmäßige Kreuzung benötigen.

Das elektrische Feld ist definiert als (negativer) Gradient des elektrostatischen Potentials.Es kann daher kein elektrisches Feld entlang entlang der durch ein Äquipotential definierten Linie / Oberfläche geben.

Dies bedeutet, dass das einzige elektrische Feld, das an einem Punkt auf einem Äquipotential zulässig ist, senkrecht zu dem sein muss Äquipotentialfläche, andernfalls hätte sie eine Nicht-Null-Komponente entlang der Oberfläche.

Wenn es zwei verschiedene sich schneidende Äquipotentiale gibt, ist das einzig gültige elektrische Feld Null, da jedes Nicht-Null-Feld eine Nicht-Null-Komponente haben würde -zero-Komponente entlang mindestens eines der Äquipotentiale.

Eine Ausnahme scheint zu sein, wenn die Äquipotentialflächen an ihrem Schnittpunkt parallel sind.

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• Ich ‚ habe versucht und bin bisher gescheitert, ein Potential mit Äquipotentialen zu erzeugen, die sich an einem einzelnen Punkt mit parallelen Normalen berühren und dennoch eine elektrische ungleich Null erzeugen Feld dort. Können Sie das durchschauen?
• @ Rob kratzt daran, ich habe ein Beispiel gefunden – aber es ist ‚ nicht gerade die einfachste Funktion, die ich ‚ habe ich je gesehen. Ich vermute, man kann zeigen, dass das Berühren von Äquipotentialen mit einem elektrischen Feld ungleich Null ein solches pathologisches Verhalten erfordert , aber ich sehe ‚ nicht ganz, wie Sie ‚ würde dies beweisen (oder warum Sie ‚ sich genug Sorgen machen würden, um viel Zeit damit zu verbringen, dies zu versuchen).

Zwei Äquipotentialflächen können sich nicht schneiden. Die Richtung des elektrischen Feldes an einem beliebigen Punkt auf einer Äquipotentialfläche ist senkrecht zu Fläche an diesem Punkt. Wenn sich zwei Äquipoentialflächen schneiden würden, wäre das elektrische Feld an den Schnittpunkten sowohl senkrecht zur ersten Fläche als auch zur zweiten Fläche an diesen Punkten … mit anderen Worten, wenn sich zwei Äquipotentialflächen schneiden könnten, Das elektrische Feld würde an jedem Schnittpunkt in zwei Richtungen zeigen … eine senkrecht zur ersten Fläche, die andere senkrecht zur zweiten Fläche. Dies ist nicht möglich.

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• Wenn das Feld am Schnittpunkt nicht Null ist?
• Das Potenzial $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ ist ein vollkommen gültiges elektrostatisches Potential, und es kann ganz natürlich gesehen werden, dass es zwei Äquipotentialflächen (die $ yz $ -Ebene und die $ xz $ -Ebene) hat, die sich entlang einer Linie schneiden.
• Sehr interessant … Ich ‚ muss Griffiths ‚ Buch über das Wochenende herausziehen und tun ein bisschen nachprüfen … Habe ‚ seit meinem Abschluss im Mai keine Elektrostatik mehr studiert.

Denn wenn sie sich schneiden, ist die Richtung des elektrischen Feldes nicht eindeutig, so dass dies nicht möglich ist.

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• Eindeutig ? Warum ist das ein Problem?
• Ja, es ist mehrdeutig nicht eindeutig , wie Ihre Antwort sagt.

Er behauptete auch, dass sich zwei Äquipotentialflächen nicht schneiden können, da dies zwei verschiedene Potentiale gleichzeitig ergeben würde Punkt.

Betrachten Sie das elektrische Feld und die Äquipotentialflächen eines elektrischen Dipols

Bildnachweis

Keine der Äquipotentialflächen schneidet sich. Außerdem ist die Dichte der Oberflächen entlang der Linie zwischen und durch die beiden Ladungen am größten.

Betrachten Sie nun diese Äquipotentialflächen an der Grenze eines idealen elektrischen Dipols.

Bildnachweis

Für ein konstantes Dipolmoment muss die (Plus / Minus-) Ladung mit abnehmendem Abstand zunehmen, wobei die Dichte der Äquipotentialflächen entlang der Linie durch die Oberfläche muss in der Grenze divergieren; Es scheint, dass sich alle der Äquipotentialflächen am Ort des idealen Dipols schneiden müssen und das elektrische Feld dort singulär ist.

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• Ich verstehe Ihren Standpunkt, da die Kugeln nicht äquipotential sind, ist es nicht offensichtlich, dass unendlich viele äquipotentiale Oberflächen durch den Kontaktpunkt verlaufen … Ich weiß nicht …
• @ValterMoretti, OK, also zwei nichtleitende Kugeln mit jeweils fester, gleichmäßiger Ladungsdichte mit entgegengesetztem Vorzeichen und identischen Radien, die symmetrisch über und unter der xy-Ebene entlang der z-Achse angeordnet sind, aber die Ebene nicht berühren. Dies riecht nach einer Methode des Bildtypproblems, und wenn ja, ist die x-y-Ebene die Nullpotentialfläche?Dann umkreisen die positiven (negativen) Äquipotentialflächen die positiv (negativ) geladene Kugel, und wenn die Kugeln näher gebracht werden, werden diese Flächen ‚ zusammengedrückt ‚ zusammen entlang der Linie durch die Mitte der Kugeln, die sich schließlich berühren?
• Nun denke ich, dass Äquipotentialflächen, die sich von der Trennebene unterscheiden, in die (nicht leitenden) Kugeln eintreten und mein Beispiel nicht Arbeit: Wenn sich Kugeln berühren, gibt es nur eine Äquipotentialfläche durch den Kontaktpunkt. Mein Beispiel funktioniert also nicht.
• @ValterMoretti, ich habe mich nur gefragt, ob die Äquipotentiale in die Sphären gelangen könnten, und ich habe angefangen, durch Jackson zu schauen, als Ihr Kommentar einging.
• Ja, das Äquipotentialflächen müssen in die Kugeln eintreten: Nehmen Sie einen beliebigen Punkt innerhalb der linken Kugel, dort verschwindet das elektrische Feld aufgrund der Kugel selbst. Das elektrische Feld innerhalb des linken Kugelfeldes ist daher vollständig auf die rechte Kugel zurückzuführen und entspricht dem einer Punktladung, die außerhalb der linken Kugel zentriert ist. Es ist offensichtlich, dass die Äquipotentialflächen auf diese Weise in die linken Kugeln eintreten. Ich habe hier an oberflächlich geladene Kugeln gedacht! Ist die Ladung im Volumen? Ich weiß nicht