Ich habe diese Frage zur Berechnung des elektrischen Feldes an einem bestimmten Punkt in einer Kugel (Länge $ r $ vom Zentrum entfernt) gestellt, an dem die Ladungsdichte liegt ist durch eine Gleichung gegeben. Als ich die Lösung für diese Frage überprüfte, hieß es, die Elementarladung $ dQ $ für das Elementvolumen der Kugel $ dV $ unter Verwendung der Ladungsdichtegleichung zu berechnen. Es heißt, dass das Volumen zwischen zwei konzentrischen Schalen innerhalb der Kugel in Abständen von $ r $ und $ r + dr $
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} ist. {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Warum ist dies gleich $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Kommentare
- Die in dieser Berechnung verwendete Heuristik ist die folgende Da $ dr $ sehr klein ist, wird es durch Quadrieren oder Würfeln viel kleiner. Daher sind die Begriffe $ 3rdr ^ 2 $ und $ dr ^ 3 $ vernachlässigbar und können einfach weggelassen werden.
- Das hat absolut nichts mit Physik zu tun! Bitte fragen Sie auf einer Mathematik q & nach einer Website. Tatsächlich hat @sourisse Ihnen die richtige Antwort gegeben.
- Ich denke, dies ist für die Physik ziemlich relevant. Es handelt sich um eine Annäherung / Methode / ein Werkzeug, das in der Physik häufig verwendet wird, z. Elektrostatik, Gravitation, Festkörper usw. usw. usw.
- Übrigens können Sie sich $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ auch als das Volumen einer Kugelschale mit Radius $ r $ und Dicke $ dr $ vorstellen – nur Oberfläche Fläche multipliziert mit Dicke
- @FraSchelle Ich denke, wenn Sie dies auf math.stackexchange fragen würden, würden Sie hierher geleitet …
Antwort
Der Kommentar von Sourisse beantwortet Ihre Frage, aber nur zur Veranschaulichung werde ich ihn hier als Wiki-Antwort erweitern. Beachten Sie, dass dies die Antwort eines Physikers ist – alle anwesenden Mathematiker sollten ihren Blick jetzt abwenden.
Denken Sie daran, wenn wir sagen, dass das Volumenelement lautet:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Wir sprechen über die Grenze, in der $ dr \ rightarrow 0 $ ist. Wenn $ dr $ extrem klein ist, dann $ dr ^ 2 $ ist extrem extrem klein und $ dr ^ 3 $ ist extrem extrem extrem klein. In der Grenze von $ dr \ rightarrow 0 $ können wir also einfach die höheren Potenzen ignorieren und Ihre vollständige Gleichung wird zu Gleichung (1).
Kommentare
- Sir, das ist das gleiche, was uns beigebracht wurde, aber gibt es eine Möglichkeit, die Begriffe $ (dr) ^ 2 $ oder höher zu verwenden Rechenleistung oder Integration? Vielen Dank!
Antwort
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Differenzieren in Bezug auf $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Kommentare
- genau richtig! Dies ist die Art von Element Entary " Trick " zu oft vergessen. Schade, dass Sie ' auf diese Weise den Faktor $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ nicht aus $ 4 \ pi $ erhalten können.