Warum ist die potentielle Energie der Gravitation negativ und was bedeutet das?

Über negative Energien: Sie stellen kein Problem dar:

In diesem Zusammenhang haben nur Energiedifferenzen eine Bedeutung. Negative Energie tritt auf, weil Sie bei der Integration einen Punkt festgelegt haben, an dem Sie Ihre festlegen Energie auf 0. In diesem Fall haben Sie $ PE_1 = 0 $ für $ r = \ infty $ gewählt. Wenn Sie $ PE_1 = 1000 $ auf $ r = \ infty $ gesetzt haben, war die Energie für einige r positiv .

Das Minuszeichen ist jedoch wichtig, da es Ihnen sagt, dass das Testteilchen potenzielle Energie verliert, wenn zu $ r = 0 $, dies ist wahr, weil es beschleunigt und einen Anstieg von $ KE $ verursacht:

Berechnen wir das $ \ Delta PE_1 $ für ein Teilchen, das sich in Richtung bewegt von $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ und $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0,1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

wie erwartet: Wir verlieren $ PE $ und gewinnen $ KE $.

Zweiter Punkt: Ja, Sie Es ist jedoch nur wahr, wenn es sich um Punktpartikel handelt: Wenn sie normalerweise einen bestimmten Radius haben, kollidieren sie, wenn $ r = r_1 + r_2 $, was zu einer elastischen oder unelastischen Kollision führt.

Dritte Kugel : Sie haben Recht mit $ PE_2 = mgh $, aber Sie wählen wieder ein bestimmtes Referential: Sie nehmen $ PE_2 = 0 $ für $ y = 0 $ an, was in der vorherigen Notation bedeutet, dass Sie $ gesetzt haben PE_1 = 0 $ für $ r = r_ {earth} $.

Das meiste i Ein wichtiger Unterschied besteht nun darin, dass Sie sagen, dass eine Zunahme von h weiter in r ist (wenn Sie höher sind, sind Sie es weiter vom Erdmittelpunkt entfernt).

Stellen Sie sich vor, Sie möchten $ \ Delta PE_2 $ erhalten, indem Sie die Analogie zum vorherigen Problem ziehen. In diesem Fall beginnen Sie bei $ h_i = 10 $ und möchten zu $ h_f = 1 $ wechseln (Bewegung in Richtung Erdmittelpunkt, wie $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0 $.

Wie erwartet verlieren wir $ PE, weil wir fallen $ und das Gewinnen von $ KE $ hat das gleiche Ergebnis $ PE_1 $

Vierte Kugel: Beide repräsentieren dasselbe. Der Unterschied besteht darin, dass $ gh $ der erste Term in der Taylor-Reihe der Erweiterung von $ PE_1 $ in der Nähe von $ r = r_ {Earth} $. Versuchen Sie als Übung, $ PE_1 (r) $ in einer Taylor-Reihe zu erweitern, und zeigen Sie, dass die Der lineare Term lautet:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {Erde})} {r_ {Erde} ^ 2} $.

Sie berechnen $ numerisch Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (denken Sie daran, dass $ m = m_ {earth} $). Wenn Sie dies noch nicht getan haben, werden Sie wahrscheinlich überrascht sein.

Also, von was ich verstanden, ist Ihre Logik völlig korrekt, abgesehen von zwei Schlüsselpunkten:

• Energie wird getrennt von einem konstanten Wert definiert.

• in th e $ PE_1 $, erhöhen r bedeutet verringern $ 1 / r $, was bedeutet, erhöhen $ PE_2 = -Gm / r $. In $ PE_2 $ bedeutet erhöhen h erhöhen $ PE_2 = mgh $.

Kommentare

• Ah, ich verstehe, der Trick ist, dass es ‚ sa relativer Wert – Ich denke immer wieder an Energie als etwas Absolutes (obwohl ich denke, dass sich sogar die kinetische Energie ändert, abhängig von Ihrem Bezugsrahmen) . Ich nehme an, wir ‚ d möchten PE = 0 setzen, wenn r = 0 ist, aber leider würde es gemäß der Gleichung unendlich viel Energie erfordern, um die Partikel zu ziehen ein Teil! Ich denke also, PE = 0, wenn r = ∞ die einzig vernünftige Wahl ist. Jetzt macht alles Sinn – danke!
• Außerdem ändert sich die Formel innerhalb einer Nicht-Punktmasse, sodass die Grenze von $ r \ bis 0 $ endlich ist.

Ich werde zuerst (1) die Unterschiede zwischen den Definitionen von PE1 und PE2 zusammenfassen und dann (2) die beiden gleichsetzen.

(1) Als diese Antwort auf „Warum ist die Gravitationsenergie negativ?“ sagt , definiert PE1 die potentielle Energie eines Massenkörpers m im Gravitationsfeld einer Masse M als die Energie (Arbeit), die erforderlich ist, um sie zu entnehmen seine aktuelle Position $ r $ bis unendlich. PE1 nimmt an, dass $ r = \ infty $ $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

ist. PE2 wird dagegen als das Negativ von definiert Arbeit durch Schwerkraft, um einen Massenkörper m von der Oberfläche eines Planeten auf eine Höhe h über dem Planeten zu heben.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 hat einen anderen Referenzrahmen als PE1 , da $ PE = 0 $ bei $ r = R $ oder auf der Oberfläche des Planeten angenommen wird. Außerdem und sehr wichtig ist, dass PE2 nur verwendet wird, wenn sich ein -Objekt nahe an der Oberfläche eines Planeten befindet , wenn $ h < < < R $ (R ist der Radius des Planeten) und g kann als konstant angenommen werden:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, nun zur Gleichsetzung der beiden. Obwohl die Referenzrahmen für PE1 und PE2 unterschiedlich sind, sollte $ | \ Delta PE | $ zwischen zwei Punkten sicherlich gleich sein. Nehmen wir zum Beispiel an, die beiden Punkte sind die Oberfläche des Planeten und die Höhe h über dem Planeten.

PE1 sagt $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 sagt $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ rechts) = GMm \ links (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ rechts) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

und weil $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ ungefähr \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

Und so stellen PE1 und PE2 beide dieselbe Energieform dar, aber wir müssen die Bezugsrahmen und die Nutzungsbedingungen berücksichtigen, wenn wir sie verwenden.

Hoffe, das hilft !! Frieden.

Dies liegt daran, dass die Gravitationskraft attraktiv ist und die Arbeit durch die Gravitationskraft selbst ausgeführt wird. Wenn das System selbst arbeitet, ist Energie als negativ genommen und wenn von einer externen Stelle an der Systemenergie gearbeitet wird, wird dies als positiv angenommen.

Ich denke, es ist nur eine Präferenz.

Wir könnten die potentielle Energie der Gravitation als positiv betrachten Wir können diese Energie „zurückgewinnen“ (kinetische Energie erhöhen), indem wir uns dem Objekt nähern. An diesem Punkt haben wir die Energiemenge verringert, die wir durch Bewegen gewinnen könnten des Weiteren.Die potentielle Energie nimmt also ab, wenn wir näher kommen (Annäherung an Null Energie in Null Entfernung), nimmt zu, wenn wir uns weiter weg bewegen, und die Summe von PE und KE ist konstant.

Aber welcher Wert ist die Konstante? Wenn wir sehr, sehr weit von dem massiven Objekt entfernt sind, sollten wir sehr, sehr viel potentielle Energie haben. Aber selbst wenn wir „dem massiven Objekt ziemlich nahe sind“, sind wir sehr, sehr weit von jedem anderen massiven Objekt im Universum entfernt und sollten daher im Verhältnis zu all diesen Objekten sehr große Gravitationspotentialenergien haben. Wir können einen Wert für KE + PE ungefähr berechnen, indem wir nur die relevantesten Objekte berücksichtigen (die nächsten und / oder größten), aber unser ungefährer Wert wächst und wächst und wächst, wenn wir versuchen, genauere Approximationen zu erhalten, indem wir immer kleinere Objekte einbeziehen -entfernte Objekte in unserer Kategorie „relevanter“ Objekte. Unsere KE + PE-Konstante ist also ein unglaublich großer Wert, den wir niemals wirklich als einen bestimmten Wert berechnen oder schätzen können. In gewisser Weise spielt es keine Rolle, dass wir niemals einen Wert beanspruchen können, da Unterschiede von Energien alles sind, mit dem wir wirklich arbeiten müssen, und wir können trotzdem berechnen diese (durch die Annahme, dass sich unser PE im Verhältnis zu allem anderen im Universum nur vernachlässigbar geändert hat, wenn wir uns in der Nähe des massiven Objekts bewegen, das wir „betrachten“). Aber es scheint unbefriedigend.

Andererseits Wenn wir PE als eine positive Menge an Energie betrachten, die in unsere Position „investiert“ wird (Energie, die wir „bereits“ ausgegeben „haben, wenn wir uns von dem massiven Objekt entfernen, das wir durch Annäherung gewinnen könnten), können wir es stattdessen als negativ betrachten Energiemenge, die wir aufgrund unserer Position „schulden“ (Energie, die wir „kostenlos gewonnen“ haben „, wenn wir uns dem Objekt aus dem Unendlichen nähern, das wir“ ausgeben „müssten, um wieder ins Unendliche zu entkommen).

Alle Berechnungen der Energiedifferenzen funktionieren ohnehin gleich. Jetzt geht unser PE relativ zu einem Objekt auf Null, da wir uns sehr weit von ihm entfernen das Objekt. Dies bedeutet, dass die Auswirkungen dieser zusätzlichen Objekte näher kommen, da wir eine Annäherung unserer KE + PE-Konstante berechnen können, indem wir nur die relevantesten Objekte berücksichtigen, und wenn wir versuchen, bessere Annäherungen zu erzielen, indem wir kleinere und weiter entfernte Objekte in unsere Berechnung einbeziehen und näher an Null. Wir haben also eine tatsächliche Zahl, von der wir zu Recht sagen können, dass sie der Wert für unsere KE + PE-Konstante ist.

Die Die Tatsache, dass die potentielle Gravitationsenergie wie bei allen potentiellen Energien der Attarktivkräfte negativ ist, basiert auf der Tatsache, dass wir annehmen wollen, dass das System keine Gesamtenergie von Null hat, wenn sich die Teilchen im Verhältnis zueinander und in Ruhe im Unendlichen befinden. Stellen Sie sich vor, wenn dies nicht der Fall wäre und ein System aus zwei Teilchen bei unendlicher Trennung in Ruhe eine Nettoenergie hätte, würde es zu Verwirrung hinsichtlich der mit der Ruhemasse verbundenen Energie kommen. Die Gesamtenergie des Systems wäre dann nicht $ E = Mc.c $, wobei $ M $ die Summe zweier Massen ist. Woher würde dann diese zusätzliche Energie kommen?

Es ist falsch, die potentielle Energie der Gravitation als negativ zu betrachten – tho häufig.

Der große Fehler besteht in der Zuweisung des PE bei unendlich = 0. Dies ist eindeutig falsch – P.E. ist eindeutig 0 bei 0 Abstand und groß bei großen Abständen. Die P.E. von weit voneinander entfernten Objekten müsste die Summe der P.E. für die erste sagen 100 „Trennung plus die P.E. für die zweiten 100“ Trennung plus — die P.E. für alle 100 „, bis die gesamte Trennung berücksichtigt wurde. (Ich werde dies als Integral ausdrücken, nachdem ich meinen Kalkül aufgefrischt habe.) Das heißt, PE INCEASES mit zunehmender Trennung – beginnend bei 0 ohne Trennung.

Viele Menschen machen einen großen Fehler, wenn sie die potentielle Energie der Gravitation als negativ betrachten!

Kommentare

• Wenn das Feld einer Punktquelle der Umkehrung folgt -quadratgesetz, die Kraft ist proportional zu $ r ^ {- 2} $ und das Potential (und die potentielle Energie) ist daher proportional zu $ r ^ {- 1} $. Das lineare $ P = mgh $ ist nur eine Annäherung für kleine Entfernungsänderungen.
• @ HDE226868 Wollten Sie eine andere Antwort kommentieren?
• @diracula Nein – ich hätte mich klarer machen sollen. Ich habe mathematisch gezeigt, warum das Potenzial Energie verschwindet im Unendlichen und wächst nicht ins Unendliche. Als $ r \ bis \ infty $ geht $ r ^ {- 1} $ auf $ 0 $.