Betrachten Sie die folgende einfache Atwood-Maschine mit einer idealen Riemenscheibe und einer idealen Saite
Laut meinem Lehrbuch beträgt die Spannung an der Klemme, die die Maschine an der Wand hält, $ 2T $. Ich verstehe nicht, warum das so ist. Die Spannung in $ T $ in der Zeichenfolge ist gleich groß wie $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, vorausgesetzt, $ m_1 $ beschleunigt nach oben.
Auch Die Beschleunigung der Massen in einer Atwood-Maschine ist gegeben durch
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Einsetzen in erhalten wir die Spannung gleich
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Nach meinem Lehrbuch sollte die Spannung an der Riemenscheibenklemme also betragen:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Aber sind nicht alle diese Kräfte interne Kräfte? Wenn wir die gesamte Atwood-Maschine als das System betrachten (ohne die Klammer), sind die einzigen Kräfte, die auf sie wirken, die Schwerkraft $ (m_1 + m_2) g $ und die Spannung in der Klammer $ T_c $. Da das System in Ruhe ist
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Habe ich Recht oder liegt ein Fehler in meiner Argumentation vor?
Kommentare
- Sie haben $ T $ gefunden, und das Lehrbuch hat dieselbe Gleichung multipliziert mit dem Faktor 2. Hier gibt es kein Problem.
- Hinweis: Das System befindet sich nicht in Ruhe.
- Die Antwort von Nick ' ist vollständig, aber Ihre Frage hat mir gefallen, weil sie den Aufwand zeigt das PRINZIP unter Berechnungen zu verstehen. Daher ist es meiner Meinung nach ' wichtig zu verstehen, warum das System nicht ' in Ruhe ist.
- Richtig, Jede Berechnung sollte nicht nur mathematisch überprüft werden, sondern die physikalische Interpretation ist auch ein sehr sehr sehr wichtiger Teil! In Bezug auf die Frage würde ich ' gute Arbeit sagen und die gute Arbeit fortsetzen!
- Wenn es hilft, können Sie zeigen, dass das Zentrum der Masse ist Von den beiden Massen beschleunigt $ m_ {1} $ und $ m_ {2} $ nach unten, und obwohl es so aussieht, als würde die Stütze das Rad ruhig halten, lässt sie das Rad / Masse-System aus diesem Grund tatsächlich nach unten beschleunigen.
Antwort
Ihr Ergebnis gilt, wenn die beiden Massen gleich sind, in diesem Fall $ a = 0 $ und Sie hätten das:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Oder:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
Wenn die Massen nicht gleich sind, beschleunigen beide Massen, was wiederum eine geringere Kraft auf das Riemenscheibensystem (und auf die Klemme) ergibt.
Dies kann leicht mit Ihrer Spannungsformel überprüft werden!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Wenn ich Wenn die Gesamtmasse definiert würde als: $ M = m_1 + m_2 $, dann könnte ich $ T $ ausdrücken als:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Sie können überprüfen, ob Sie $ T $ als Funktion von $ m_1 $ zeichnen würden erreicht ein Maximum in $ m_1 = M / 2 $, was bedeutet, dass die Spannung maximal wird, wenn die beiden Massen gleich sind, die Spannung wird dann:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
oder wie Sie dachten:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Der Vollständigkeit halber die Darstellung der Spannung in Funktion der Masse $ m_1 $ in dimensionslosen Größen.
Auf diesem Plot können Sie leicht sehen, dass wenn $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ oder $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, es keine Spannung geben würde, da eine der beiden Massen frei wäre fallen. In den Zwischenfällen würde es zu Spannungen kommen, da es auf beiden Seiten der Saite einen „Zug“ gibt. Je mehr die Massen $ m_1 $ und $ m_2 $ gleich sind, desto weniger Bewegung gibt es und desto mehr Zug gibt es die Zeichenfolge.
Kommentare
- Wenn mein Argument falsch war, kann dies nur bedeuten, dass das System nicht in Ruhe ist. Aber wie können Sie sagen, dass das System nicht in Ruhe ist?
- Im obigen Fall haben wir eine reibungsfreie Riemenscheibe mit einer masselosen Schnur. Das System kann nur dann in Ruhe sein, wenn die beiden Massen gleich sind (in Ihrer Berechnung ist ' der einzige Fall, in dem die Beschleunigung gleich Null ist). Wenn dies der Fall ist, ziehen beide Massen mit gleicher Kraft an beiden Enden der Schnur. Beachten Sie, dass dies nicht unbedingt bedeutet, dass sich das System in Ruhe befindet. Es kann sich auch mit konstanter Geschwindigkeit bewegen!
- @Gerard Wenn Sie Masse hinzufügen der Stich und / oder die Reibung zum Pully, dann kann es andere Situationen geben, in denen das System in Ruhe ist / wird.
- ' ist das nicht wahr es bleibt am selben Ort.Sein Massenschwerpunkt beschleunigt sich, denn selbst wenn m_1 nach oben und m_2 nach unten geht, sind die Massen unterschiedlich, so dass sie ein anderes " Gewicht " haben in der globalen Bewegung. Wenn also m_2 > m_1 und m_2 nach unten beschleunigen, geht der Schwerpunkt nach unten.
- @Gerard: Richtig, beachten Sie dies für Ihren Zweck (dh Gesamtkraft, die auf das System wirkt) Ruhe oder Bewegung ist nicht das, wonach Sie ' wirklich suchen. Ich ' habe schlampig gesagt: " Das System befindet sich nicht in Ruhe " . Was ' wichtig ist, ist die Gesamtbeschleunigung, und in diesem Fall unterscheidet sie sich ' von 0. Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit benötigt keine Kraft, die darauf einwirkt das System. Ich ' werde hier aufhören, weil wir ' den Platz für Kommentare ein wenig missbrauchen.
Antwort
Das System befindet sich nicht in Ruhe. Wenn Sie die Massen und die Riemenscheibe als ein System betrachten, können Sie das Verhalten des Systems anhand des Verhaltens seines Massenschwerpunkts verstehen. Wenn die Massen nicht gleich sind, befindet sich der Schwerpunkt des Systems nicht in Ruhe.
Es kann nützlich sein, dies so zu betrachten: Innerhalb der Systemgrenze bewegt sich die Masse $ m_1 $ über eine Distanz nach unten während sich die Masse $ m_2 $ um dieselbe Strecke nach oben bewegt. Der Schwerpunkt hat sich also nach unten bewegt (oder nach oben, je nachdem, ob $ m_1 > m_2 $).
Die Spannung würde also durch die folgende Gleichung gegeben sein:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Sie können das
$ weiter berechnen a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, wobei a der Wert der Beschleunigung der Masse $ m_1 $ ist, den Sie erwähnt haben.
Stecken Sie ihn in die Gleichung und Sie werden Folgendes feststellen:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Kommentare
- So werde ich versuchen, dieses Problem zu lehren. Vielen Dank.
- Gibt es eine Chance, dass Sie oder @Nick die Lösung in der Form 4g * mu kommentieren? Ich weiß, dass sie möglicherweise den Rahmen sprengt des Problems, aber wenn ich solche Verbindungen sehe, versuche ich, sie zu verstehen.
Antwort
Dort ist in der Tat ein Fehler in Ihrer Argumentation. Kurz gesagt, die Spannung am Riemenscheibenverschluss ist nur erforderlich, um die gesamte Gravitationskraft auf das System aufzuheben, wenn sich alles im Gleichgewicht befindet Ibrium und es gibt keine Beschleunigung. Wenn die Massen jedoch unausgeglichen sind, fällt eine von ihnen und die andere steigt an, und es ist nicht klar, dass dies die Gesamtkraft auf dem gleichen Wert wie im ausgeglichenen Fall hält.
Tatsächlich Sie können überprüfen, ob , wenn die beiden Massen gleich sind , die Antworten übereinstimmen: Die korrekte Spannung an der Riemenscheibenschließe beträgt $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$