Lassen Sie mich zunächst an einige Aspekte der Quantenmechanik im Allgemeinen als Modell f erinnern (oder Sie vielleicht vorstellen) oder physikalische Systeme. Es scheint mir, dass viele Ihrer Fragen mit einem besseren Verständnis dieser allgemeinen Aspekte beantwortet werden können, gefolgt von einem Aufruf, wie Spinsysteme als Sonderfall entstehen.

Allgemeine Bemerkungen zu Quantenzuständen und Messung.

Der Zustand eines Quantensystems wird als Einheitslängenelement $ | \ psi \ rangle modelliert $ eines komplexen Hilbert-Raums $ \ mathcal H $, eine spezielle Art von Vektorraum mit einem inneren Produkt. Jede beobachtbare Größe (wie Impuls oder Spin), die einem solchen System zugeordnet ist, dessen Wert man messen möchte, wird durch einen selbstadjunkten Operator $ O $ auf diesem Raum dargestellt. Wenn man ein Gerät baut, um eine solche beobachtbare Größe zu messen, und wenn man diese Vorrichtung verwendet, um eine Messung dieser beobachtbaren Größe auf dem System durchzuführen, gibt die Maschine einen Eigenwert $ \ lambda $ dieser beobachtbaren Größe aus. Befindet sich das System in einem Zustand $ | \ psi \ rangle $, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Messung dieser Größe der Eigenwert des beobachtbaren Wertes ist, \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} wobei $ | \ lambda \ rangle $ der normalisierte Eigenvektor ist, der dem Eigenwert $ \ lambda $ entspricht.

Spezialisierung auf Spin-Systeme.

Nehmen wir nun an, dass das System, das wir betrachten, aus dem Spin eines Partikels besteht. Der Hilbert-Raum, der den Spin-Zustand eines Systems mit Spin $ s $ modelliert, ist ein $ 2s + 1 $ -dimensionaler Hilbert-Raum. Elemente dieses Vektorraums werden oft als „Spinoren“ bezeichnet, aber lassen Sie sich davon nicht ablenken. Sie sind wie jeder andere Vektor in einem Hilbert-Raum, dessen Aufgabe es ist, den Quantenzustand des Systems zu modellieren.

Die primären Observablen, deren Messung normalerweise für Spinsysteme diskutiert wird, sind die kartesischen Komponenten des Spins des Systems. Mit anderen Worten, es gibt drei selbstadjunkte Operatoren, die üblicherweise als $ S_x, S_y, S_z $ bezeichnet werden und deren Eigenwerte die möglichen Werte sind man könnte bekommen, wenn man eine dieser Komponenten des Systemspins misst. Das Spektrum (Satz von Eigenwerten) jedes dieser Operatoren ist das gleiche.Für ein System von Spin $ s $ besteht jedes ihrer Spektren aus den folgenden Werten: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} wobei in meiner Notation $ i = x, y, z $. Wenn Sie beispielsweise eine Maschine erstellen, um die $ z $ -Komponente des Spins eines Spin- $ 1 $ -Systems zu messen, liefert die Maschine einen der Werte in der Menge $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ jedes Mal. Entsprechend jedem dieser Eigenwerte hat jeder Spin-Komponenten-Operator einen normalisierten Eigenvektor $ | S_i, m_i \ rangle $. Wie aus den obigen allgemeinen Bemerkungen hervorgeht, wenn der Zustand des Systems $ | \ psi \ rangle $ ist und man die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass die Messung der Spin-Komponente $ S_i $ einen bestimmten Wert $ m_i \ hbar $ ergibt dann berechnet man einfach \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Wenn das System beispielsweise Spin- $ 1 $ hat und man die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass eine Messung von $ S_y $ den Eigenwert $ – \ hbar $ ergibt, berechnet man \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinoren.

In dem obigen Kontext sind Spinoren einfach die Matrixdarstellungen von Zuständen eines bestimmten Spinsystems in einer bestimmten geordneten Basis, und die Pauli-Spinmatrizen sind bis zu einer Normalisierung die Matrixdarstellungen von die Spin-Komponenten-Operatoren auf dieser Basis speziell für ein System mit Spin- $ 1/2 $. Matrixdarstellungen erleichtern häufig die Berechnung und das konzeptionelle Verständnis, weshalb wir sie verwenden.

Nehmen wir genauer an, man betrachtet ein Spin-1/2 $ -System und wählt Zustände und Observablen in der Basis $ aus B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ bestehend aus den normalisierten Eigenvektoren der $ z $ -Komponente des Spins, dann würde man die folgenden Matrixdarstellungen auf dieser Basis finden \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Beachte das Diese Darstellungen sind genau die Pauli-Matrizen bis zum zusätzlichen Faktor $ \ hbar / 2 $. Darüber hinaus würde jeder Zustand des Systems durch eine $ 2 \ times 1 $ -Matrix oder „Spinor“ \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix dargestellt }. \ end {align} Und man könnte diese Darstellungen verwenden, um die oben genannten Berechnungen durchzuführen.

Kommentare

• Vielen Dank; Dies half mir sehr beim Verständnis. Ist es nur eine Konvention, dass die Eigenzustände, die negative Eigenwerte zurückgeben, Spin ‚ down ‚ und positiver Spin ‚ up ‚? Um mein Verständnis zu überprüfen, habe ich ‚ versucht, das oben verwendete Beispiel zu berechnen: Stimmt es, dass ein Spin-1-Teilchen, dessen Höhe in der x-Dimension gemessen wurde (Eigenwert hbar), dies tut im normalisierten Zustand < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > und der Wahrscheinlichkeit einer az-Dimension sein Die Messung, die nach oben zurückkehrt, ist dann 1/4, die Rückgabe von Spin Null ist 1/2 und nach unten 1/4?
• +1 Ich mag besonders Ihre “ Maschinen “ im ersten Absatz – sehr feynmanisch im Geschmack. Ich hatte viele Jahre lang Mühe, “ “ zu verstehen. QM: Die Mathematik und die Lie-Theorie waren für mich gewohnt, aber es dauerte lange um zu verstehen, dass “ -Operatoren “ nicht nur Operatoren, sondern auch ein spezielles Rezept für die Interpretation als Modelle von “ Messmaschinen „. Leider kann ich mich ‚ nicht erinnern, ob es die Feynman-Vorträge oder Sakurai waren, die die Botschaft durchbrachten, oder ob es tatsächlich eine Mischung aus beidem in meinen Gedanken unter der Dusche oder währenddessen war Gehen, aber das empfehle ich den Leuten jetzt.

Gruppen sind abstrakte mathematische Strukturen, definiert durch ihre Topologie (bei kontinuierlichen (Lie) Gruppen) und die Multiplikationsoperation.

Es ist jedoch fast unmöglich, über abstrakte Gruppen zu sprechen. Aus diesem Grund werden normalerweise Elemente von Gruppen auf lineare Operatoren abgebildet, die auf einen Vektorraum $ V $ einwirken:

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V. ), $$

wobei G die Gruppe ist, $ \ text {End} (V) $ für Endomorphismen (lineare Operatoren) auf $ V $ steht und $ \ rho (g) $ die Abbildung ist .Damit diese Zuordnung sinnvoll ist, müssen wir die Gruppenmultiplikation richtig abbilden:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Die Umkehrung wird auch

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

und die Gruppenidentität ist nur

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Dies wird als Darstellung der Gruppe $ G $ bezeichnet. $ V $ transformiert sich unter der Darstellung $ \ rho $ der Gruppe $ G $.

In Ihrem Fall ist die interessierende Gruppe die Gruppe von Rotationen in 3 Dimensionen, die normalerweise als SO (3) bezeichnet wird. Unser Ziel ist es, verschiedene Objekte zu finden, die gedreht werden können, dh Darstellungen (und Darstellungsräume) von SO (3).

Eine solche Darstellung ist die definierende Darstellung (die zur Definition von SO (3) verwendet wird). oder die Vektordarstellung. In diesem Fall ist $ V $ nur $ R ^ 3 $ und Matrizen von $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ sind orthogonale $ 3 \ mal 3 $ Matrizen mit Einheitsdeterminante:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Vektoren können also in drei Dimensionen gedreht werden. Das Ergebnis einer solchen Drehung um $ g \ in \ text {SO (3)} $ wird bestimmt, indem auf den Anfangsvektor mit dem Operator $ \ rho (g) $ eingewirkt wird.

Eine andere Darstellung ist der Spinor Darstellung. Der Vektorraum ist jetzt zweidimensional und komplex . Das Bild dieser Darstellung besteht aus einheitlichen $ 2 \ mal 2 $ mit Einheitsdeterminante:

$$ A ^ {\ Dolch} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Diese Darstellung ist nicht so offensichtlich wie die vorherige, da Spinoren etwas sind, was wir im Alltag normalerweise nicht sehen. Es kann jedoch mathematisch bewiesen werden, dass diese Darstellungen isomorph sind und daher zwei verschiedene Darstellungen derselben Gruppe sind (Tatsächlich sind sie homomorph und die Spinordarstellung ist die doppelte Abdeckung der Vektordarstellung.)

Nun zu den Pauli-Matrizen. Es gibt ein allgemeines Prinzip: Für jede Lie-Gruppe $ G $ existiert eine entsprechende lineare Raum (Lie-Algebra) mit einer Lie-Klammer (eine antikommutative Operation, die die Jacobi-Identität erfüllt), die eindeutig auf eine Nachbarschaft der Gruppeneinheit von $ G $ abgebildet wird. Diese Abbildung wird als Exponential bezeichnet.

Also Sie können eine beliebige Matrix schreiben (nahe genug an der Einheit, um globale topologische Probleme zu vermeiden). $ 2 \ mal 2 $ komplexe Matrix fr Aus der Spinordarstellung in der Form

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

wobei $ \ alpha ^ a $ sind drei Zahlen, die das Gruppenelement parametrisieren, dessen Darstellung $ A $ ist, und $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ sind die Lie-Algebra-Basis mit $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ mal 2 $ Pauli-Matrizen. Diese Gleichung gibt ziemlich genau an, wie ein Spinor unter einer beliebigen Rotation transformiert wird.

In der Vektordarstellung gibt es auch eine Lie-Algebra-Basis, die aus 3 $ 3 \ mal 3 $ Matrizen besteht.

Es gibt zwei weitere Interpretationen der Pauli-Matrizen, die Sie möglicherweise hilfreich finden, allerdings erst, nachdem Sie JoshPhysics ausgezeichnete physikalische Beschreibung . Das Folgende kann eher als “ funky trivia “ (at Zumindest finde ich sie eher interessant) über die Pauli-Matrizen als über eine physikalische Interpretation.

1. Als Grundlage für $ \ mathfrak {su} (2) $

Die erste Interpretation wird unterschiedlich gesehen als (i) sie sind Einheit Quaternionen, modulo einen Vorzeichenwechsel und eine Neuordnung der Definition des Mathematikers von diese Bestien , (ii) als Grundlage für die Lie-Algebra $ \ mathfrak {su} (2) $ von $ SU (2) $ , wenn wir die Exponentialmatrix verwenden, um die Gruppe $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ bis (iii) eine dreidimensionale Verallgemeinerung von De Moivres Satz .

Ein allgemeiner, spurloser $ 2 \ times2 $ verzerrte hermitische Matrix $ H $ kann eindeutig zerlegt werden als:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

mit $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Diese Matrix erfüllt die charakteristische Gleichung $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , wobei $ \ mathrm {id} $ ist die Identität $ 2 \ times2 $ und $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Wenn wir also die universell konvergente Taylor-Exponential-Taylor-Reihe einsetzen und dann alle Potenzen von $ H $ höher als den linearen Term mit der charakteristischen Gleichung reduzieren, erhalten wir:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

, was als Verallgemeinerung von De angesehen wird Moivres Formel für die “ reine imaginäre “ Einheit

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

und alle Mitglieder von $ SU (2) $ können durch ein Exponential wie in (2) realisiert werden. (Beachten Sie jedoch, dass das Exponential einer Lie-Algebra, obwohl in diesem Fall die gesamte $ SU (2) $ ist, nicht immer die gesamte Lie-Gruppe ist, es sei denn, die lat ter ist (i) verbunden und (ii) kompakt). Somit kann jedes Mitglied von $ SU (2) $ als “ Einheitslängenüberlagerung der Pauli-Matrizen und der zerlegt werden Identitätsmatrix.

Der Grund für den Faktor 2 in der Definition $ \ theta / 2 $ ist bislang rätselhaft: Zeugen Sie dies für die Zwecke von oben hätten wir genauso gut $ \ theta / 2 $ durch $ \ theta $ ersetzen können. Der Grund hängt mit der Beziehung zwischen den Pauli-Matrizen und der Himmelssphäre zusammen, die ich später diskutiere. Quaternionen stellen Rotationen durch eine Spinorkarte dar ( ABER , wie Joshphysics empfiehlt, lassen Sie sich von diesem Wort nicht zu sehr ablenken); wenn ein Vektor im 3-Raum durch eine rein imaginäre Quaternion der Form $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ dargestellt wird , dann sein Bild unter einer Drehung des Winkels $ \ theta $ um eine Achse mit Richtungskosinus $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ ist gegeben durch:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Diese Spinorkarte ist ein Beispiel für die Gruppe $ SU (2) $ wirkt auf seine eigene Lie-Algebra durch die adjungierte Darstellung. Es kann intuitiv verstanden werden in Bezug auf eine Dreiecksregel, um die Kompositionen zweier Rotationen zu berechnen, wie in meinem Diagramm unten skizziert. Die Bögen auf der Einheitskugel stellen eine Drehung um einen Winkel dar, der doppelt so groß ist wie der Winkel, den der Bogen am Ursprung bildet.

Ich erkläre dies ausführlich in Beispiel 1.4 “ $ 2 \ times2 $ Einheitliche Gruppe $ SU (2) $ “ auf meiner Webseite “ Einige Beispiele für verbundene Lügengruppen “ hier .

Es gibt auch meine interaktive Mathematica-Demonstration “ Die $ SU (2) $ Spinorkarte: Rotationszusammensetzung durch grafische Quaternionsdreiecke “ auf der Wolfram Demonstrations-Website .

2. Die Himmelskugel

Durch Erweitern des dreidimensionalen linearen Raums von Überlagerungen von Pauli-Matrizen (der dem linearen Raum von traceless entspricht $ 2 \ times2 $ skew-hermitische Matrizen) in den 4-dimensionalen Raum, der von den Pauli-Matrizen und den Identitätsmatrizen überspannt wird, dann jede Transformation aus der Gruppe $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ wirkt auf Vektoren der Form $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ durch dieselbe Spinorkarte wie in (4). Wenn wir uns auf projektive Strahlen in diesem Raum beschränken, ist die Gruppe $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ isomorph zur Möbius-Gruppe von Möbius-Transformationen wirken auf diesen Strahlenraum genauso wie Möbius-Transformationen (fraktionierte lineare Transformationen) auf die Riemann-Kugel. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ ist eine doppelte Abdeckung der Lorentz-Gruppe, und Sie können berechnen, wie sich die Ansicht eines Raumfahrers ändert, wenn sie sich ändert Lorentz-Transformationen durchlaufen. Siehe den Abschnitt “ Lorentz-Transformationen “ in der Wikipedia “ Möbius-Transformation “ Seite für weitere Details.

Eine allgemeine mechanische Erklärung. Felder und Wellen folgen hyperbolischen Gleichungen (Wellengleichungen). Diese stellen einen räumlichen und zeitlichen Fortschritt dar und können als solche keine Masse darstellen, die stationär sein muss, sondern sich auch drehen kann. Eine solche Bewegung erfordert eine elliptische Gleichung. Beispielsweise ist die Kline-Gordon-Gleichung hyperbolisch, während die Dirac-Gleichung dies ist elliptisch. In fließenden Flüssigkeiten gibt es ein paralleles Beispiel. Wirbel und Turbulenzen können sich nicht ohne die Hilfe einer Grenze bilden, um die Strömung vom Fortschreiten in den zirkulierenden Zustand abzulenken. Der erste Bereich ist hyperbolisch und der zweite elliptisch.

Um nun ein Teilchen (Spinnenergie) aus einem Feld (Bewegung in Position) zu erzeugen, müssen wir die Richtung des Feldes ablenken / drehen. Hier kommen die Pauli-Matrizen um Hilfe und geben die erforderliche Elliptizität. Aus diesem Grund werden imaginäre Zahlen / Rotationen verwendet. Wenn Sie eine Größe mit i multiplizieren, wird sie um 90 Grad gedreht. Für einen allgemeinen Winkel verwenden wir das Exponential einer imaginären Größe.

Später, wenn wir die Lagrange von Wellen und Partikeln in einem allgemeineren Modell mischen, kehren wir zurück um die Higgs zu verwenden, um die gleiche Aufgabe der Umwandlung von einer Art von Energie in die andere zu erledigen – das heißt von Feldern zu Partikeln und umgekehrt.