Ich habe Probleme, das Konzept der asymptotischen Varianz zu verstehen. Der Kontext ist die geophysikalische Zeitreihenverarbeitung mit robusten Methoden.
Methoden mit einem sehr hohen Durchschlagspunkt weisen normalerweise eine geringere asymptotische relative Effizienz bei der Gaußschen Verteilung auf als LS. Dies bedeutet, dass die asymptotische Varianz umso höher ist, je höher die Robustheit des Schätzers ist. Um die gleichen Parameterunsicherheiten durch das robuste Verfahren zu erreichen, sind weitere Messungen erforderlich.
Kann jemand dies erklären?
Kommentare
- Es ist nicht klar, was Ihre Verwirrung über die asymptotische Varianz " " ist. Sie scheinen durch das Konzept der asymptotischen relativen Effizienz verwirrt zu sein, nicht durch die asymptotische Varianz.
- @Bei den beiden sind sie eng miteinander verbunden, da die A.R.E. ist ein Verhältnis von asymptotischen Varianzen. (Ich denke auch, Sie meinen " per se " dort.)
- @Glen_b Ja, ich meine per se, und ja, sie sind sehr verwandt, aber natürlich auf dem heimischen Rasen von Gauß-basierten, nicht robusten Methoden, robust Methoden erfordern mehr Proben. Ich wollte klarstellen, was daran kontraintuitiv ist, aber ich sehe, dass es eine akzeptierte Antwort gibt, sodass Matt zu dem Problem gelangen konnte.
- Asymptotische relative Effizienz .
Antwort
Ein robuster Schätzer ist ein Schätzer, der unverändert bleibt oder sich ändert sehr wenig, wenn neue Daten eingeführt oder Annahmen verletzt werden. Beispielsweise ist der Median ein robusterer Schätzer als der Mittelwert, denn wenn Sie Ihrem Datensatz eine relativ große Beobachtung hinzufügen, ändert sich Ihr Median nur sehr wenig, während sich Ihr Mittelwert viel stärker ändert.
Wenn Sie a anpassen Im linearen Regressionsmodell erhalten wir Parameterschätzungen und zugehörige Standardfehler unserer Schätzungen. Eine der Annahmen des linearen Regressionsmodells ist die Varianzgleichheit – das heißt, unabhängig vom $ x $ -Wert werden die Fehler mit dem Mittelwert $ 0 $ und der Standardabweichung $ \ sigma $ verteilt. In dem Fall, in dem diese Annahme verletzt wird, bevorzugen wir möglicherweise die Verwendung von robusten Standardfehlern , bei denen es sich im Allgemeinen um größere Standardfehler handelt, die einen Verstoß gegen unsere Annahme der Varianzgleichheit erklären. (Diese Verletzung wird als Heteroskedastizität bezeichnet.)
Wenn wir robuste Standardfehler verwenden, sind unsere Standardfehler (und entsprechend unsere Varianzen) im Allgemeinen größer als wenn wir dies nicht tun würden „Verwenden Sie keine robusten Standardfehler.“ Bezeichnen wir den robusten Standardfehler als $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $ und den „typischen“ (nicht robusten) Standardfehler als $ \ frac {\ sigma_T } {\ sqrt {n}} $. Es sollte klar sein, dass, wenn der robuste Standardfehler größer ist, $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} > \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt { n}} $. Es sollte auch klar sein, dass der robuste Standardfehler asymptotisch größer ist als der „typische“ Standardfehler, da wir das $ \ sqrt {n} $ out auf beiden Seiten aufheben können.
Let „s Angenommen, unser „typischer“ Standardfehler ist $ k = \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt {n}} $. Dann $ k < \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $. Damit der robuste Standardfehler gleich $ k $ ist, müssen wir $ n $ größer machen (auch bekannt als mehr Beobachtungen / Stichprobe sammeln).
Hoffe, das macht Sinn!
BEARBEITEN: Eine kurze Diskussion darüber, wann die robusten Standardfehler auftreten, finden Sie unter dem enthaltenen Link und den Kommentaren unten tatsächlich größer als die „typischen“ (nicht robusten) Standardfehler sein. http://chrisauld.com/2012/10/31/the-intuition-of-robust-standard-errors/
Kommentare
- Es ist möglich, Fälle zu konstruieren, in denen die robusten Standardfehler tatsächlich kleiner als die Standardfehler sind!
- Christoph, ich werde meine bearbeiten angemessen reagieren . Ich ' bin daran interessiert zu wissen, wann ein größeres $ \ sigma $ mit einem kleineren $ (x_i- \ bar {x}) $ korreliert, weil dies nicht intuitiv und, obwohl nicht unmöglich, extrem erscheint unwahrscheinlich. Es scheint, dass Sie in Ihrer Antwort so viel implizieren – dass es möglich ist, einen Fall so zu konstruieren, dass dies auftritt -, aber es wäre interessant zu sehen, wie häufig dies in realen Daten und nicht in pathologischen Fällen auftritt.