Was ist die Definition einer symmetrischen Verteilung? Jemand sagte mir, dass eine Zufallsvariable $ X $ genau dann aus einer symmetrischen Verteilung stammt, wenn $ X $ und $ -X $ hat die gleiche Verteilung. Aber ich denke, diese Definition ist teilweise wahr. Weil ich ein Gegenbeispiel $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ und $ \ mu \ neq0 $ präsentieren kann. Offensichtlich hat es eine symmetrische Verteilung, aber $ X $ und $ -X $ haben unterschiedliche Verteilung! Habe ich Recht? Denken Sie jemals über diese Frage nach? Was ist die genaue Definition der symmetrischen Verteilung?
Kommentare
- Wenn Sie sagen, dass eine “ -Verteilung symmetrisch ist „, Sie müssen angeben, welcher Punkt symmetrisch ist. Bei der von Ihnen präsentierten Normalverteilung wird die Symmetrie um $ \ mu $ angegeben. In diesem Fall haben $ X- \ mu $ und $ – (X- \ mu) $ die gleiche Verteilung. In Bezug auf die Dichte kann dies ausgedrückt werden als: $ f $ ist symmetrisch um $ \ mu $, wenn $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. Übrigens ist es gut, Antworten zu akzeptieren, wenn Sie mit einer davon zufrieden sind.
- Ja, wir haben über diese Frage nachgedacht. Symmetrisch bedeutet im Allgemeinen symmetrisch um $ 0 $, und um weiteren Gegenbeispielen zuvorzukommen, trifft die Behauptung, dass Verteilungen symmetrisch sind, nicht auf die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion zu. Ihr “ Gegenbeispiel “ weist eine Symmetrie um den Punkt $ \ mu \ neq 0 $ auf, nicht um den Punkt $ 0 $.
- @Dilip Wenn eine Definition von einer Art der Beschreibung eines Objekts abhängt, diese Definition jedoch als eine intrinsische Eigenschaft dieses Objekts dargestellt werden kann, ist es nicht sinnvoll, die Definition auf ein anderes anzuwenden Form der Beschreibung. In diesem Fall ist Symmetrie eine Eigenschaft einer Distribution , dies bedeutet jedoch nicht, dass alle Beschreibungen dieser Distribution (einschließlich PDF und CDF) “ symmetrisch “ auf die gleiche Weise. Durch Anwenden der Symmetrie des PDF auf die CDF verwirrt Ihr Kommentar die Frage, anstatt sie zu klären.
- shijing, @Procrastinator hat festgestellt, dass Sie viele Fragen gestellt haben, ohne Antworten zu akzeptieren. Dies deutet darauf hin, dass Sie möglicherweise nicht mit der Funktionsweise dieser Website vertraut sind. Um Missverständnisse auszuräumen, lesen Sie bitte den relevanten Teil unserer FAQ vollständig durch . Es dauert nur ein paar Minuten und das Befolgen seiner Anweisungen erhöht den Wert unserer Website für Sie.
- @whuber Die CDF ist eine der wenigen Beschreibungen, in denen das Wort Distribution tritt tatsächlich im Namen auf, und ich habe versucht zu verdeutlichen, dass die Symmetrieeigenschaft für die CDF nicht gilt.
Antwort
Kurz: $ X $ ist symmetrisch, wenn $ X $ und $ 2aX $ für eine reelle Zahl $ a $ dieselbe Verteilung haben. Um dies zu erreichen, sind jedoch einige Exkursionen und Verallgemeinerungen erforderlich, da dies viele implizite Fragen aufwirft: Warum diese Definition von“ symmetrisch „? Kann es andere Arten von Symmetrien geben? Wie ist die Beziehung zwischen einer Verteilung und ihren Symmetrien und umgekehrt, wie ist die Beziehung zwischen einer „Symmetrie“ und jenen Verteilungen, die diese Symmetrie haben könnten?
Die fraglichen Symmetrien sind Reflexionen der echte Linie. Alle haben die Form
$$ x \ bis 2a-x $$
für eine Konstante $ a $.
Nehmen wir also an, $ X $ hat diese Symmetrie für mindestens ein $ a $. Dann impliziert die Symmetrie
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
Dies zeigt, dass $ a $ ein Median von $ X $ ist. Wenn $ X $ eine Erwartung hat, folgt unmittelbar, dass $ a = E [X] $ ist. Daher können wir normalerweise $ a $ leicht festlegen. Selbst wenn nicht, wird $ a $ (und damit die Symmetrie selbst) immer noch eindeutig bestimmt (falls überhaupt vorhanden).
Um dies zu sehen, sei $ b $ ein beliebiges Symmetriezentrum. Wenn wir dann beide Symmetrien anwenden, sehen wir, dass $ X $ unter der Übersetzung $ x \ zu x + 2 (b-a) $ unveränderlich ist. Wenn $ b-a \ ne 0 $, muss die Verteilung von $ X $ eine Periode von $ b-a $ haben, was unmöglich ist, da die Gesamtwahrscheinlichkeit einer periodischen Verteilung entweder $ 0 $ oder unendlich ist. Somit ist $ ba = 0 $, was zeigt, dass $ a $ eindeutig ist.
Im Allgemeinen wenn $ G $ ist eine Gruppe, die auf der realen Linie (und im weiteren Sinne auf allen Borel-Teilmengen) treu handelt. Wir könnten sagen, dass eine Verteilung $ X $ „symmetrisch“ ist (in Bezug auf $ G $), wenn
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
für alle messbaren Mengen $ E $ und Elemente $ g \ in G $, wobei $ E ^ g $ bezeichnet das Bild von $ E $ unter der Aktion von $ g $.
Als Beispiel sei $ G $ immer noch eine Gruppe der Ordnung $ 2 $, aber jetzt Lassen Sie seine Aktion darin bestehen, den Kehrwert einer reellen Zahl zu nehmen (und lassen Sie $ 0 $ reparieren). Die standardmäßige lognormale Verteilung ist in Bezug auf diese Gruppe symmetrisch. Dieses Beispiel kann als ein Beispiel einer Reflexionssymmetrie verstanden werden, bei der eine nichtlineare Reexpression der Koordinaten stattgefunden hat. Dies legt nahe, sich auf Transformationen zu konzentrieren, die die „Struktur“ der realen Linie berücksichtigen. Die für die Wahrscheinlichkeit wesentliche Struktur muss sich auf Borel-Mengen und das Lebesgue-Maß beziehen, die beide als (euklidischer) Abstand zwischen zwei Punkten definiert werden können.
Eine entfernungserhaltende Die Karte ist per Definition eine Isometrie. Es ist bekannt (und leicht, wenn auch ein wenig kompliziert zu demonstrieren), dass alle Isometrien der realen Linie durch Reflexionen erzeugt werden. Wenn verstanden wird, dass „symmetrisch“ symmetrisch in Bezug auf eine Gruppe von Isometrien bedeutet, muss die Gruppe durch höchstens eine Reflexion erzeugt werden, und wir haben gesehen, dass Reflexion eindeutig durch bestimmt wird jede symmetrische Verteilung in Bezug darauf. In diesem Sinne ist die vorstehende Analyse erschöpfend und rechtfertigt die übliche Terminologie von „symmetrischen“ Verteilungen.
Übrigens eine Vielzahl von multivariaten Beispielen von Verteilungen, die unter Gruppen von Isometrien invariant sind, wird durch Berücksichtigung von „sphärischen“ Verteilungen erzielt. Diese sind bei allen Rotationen unveränderlich (relativ zu einem festen Zentrum). Diese verallgemeinern den eindimensionalen Fall: Die „Rotationen“ der realen Linie sind nur die Reflexionen.
Schließlich ist darauf hinzuweisen, dass eine Standardkonstruktion – Mittelung über die Gruppe – einen Weg gibt Lasten symmetrischer Verteilungen zu erzeugen. Im Fall der reellen Linie sei $ G $ durch die Reflexion über einen Punkt $ a $ erzeugt, so dass er aus dem Identitätselement $ e $ und dieser Reflexion $ g $ besteht. Sei $ X $ eine beliebige Verteilung. Definieren Sie die Verteilung $ Y $, indem Sie
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [setzen E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
für alle Borel-Mengen $ E $. Dies ist offensichtlich symmetrisch und es ist leicht zu überprüfen, ob es sich um eine Verteilung handelt (alle Wahrscheinlichkeiten bleiben nicht negativ und die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt $ 1 $).
Zur Veranschaulichung des Gruppenmittelungsprozesses wird das PDF einer symmetrisierten Gamma-Verteilung (zentriert bei $ a = 2 $) in Gold angezeigt. Das ursprüngliche Gamma ist blau und seine Reflexion rot.
Kommentare
- (+1) Ich möchte hinzufügen, dass in der multivariaten Einstellung die Definition von Symmetrie ist nicht eindeutig. In diesem Buch gibt es 8 mögliche Definitionen symmetrischer multivariater Verteilungen.
- @Procrastinator I ‚ bin neugierig, was Sie unter “ nicht eindeutig verstehen könnten. “ AFAIK, alles, was den Namen rechtfertigt “ Symmetrie “ bezieht sich letztendlich auf eine Gruppenaktion auf einem Raum. Es wäre interessant um zu sehen, welche verschiedenen Arten von Aktionen Statistiker nützlich fanden. Da dieses Buch vergriffen und nicht im Internet verfügbar ist, können Sie ein kurzes Beispiel für zwei wirklich unterschiedliche Arten von Symmetrie geben, die in diesem Buch berücksichtigt werden?
- Ihre Intuition ist korrekt, dies hängt mit statistischen Merkmalen zusammen : Zentrale Symmetrie $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Sphärische Symmetrie $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ für alle orthogonalen Matrix $ {\ bf O} $. Ich kann mich nicht an den Rest erinnern, aber ich werde versuchen, das Buch an diesen Tagen auszuleihen. In diesem -Link finden Sie einige davon.
- @Procrastinator Danke. Beachten Sie, dass die beiden von Ihnen angebotenen Beispiele Sonderfälle der von mir angegebenen allgemeinen Definition sind: Die zentrale Symmetrie erzeugt eine Gruppe von Isometrien mit zwei Elementen, und die sphärischen Symmetrien sind auch eine Untergruppe aller Isometrien. Die elliptische Symmetrie “ “ in der Verknüpfung ist eine sphärische Symmetrie nach einer affinen Transformation und veranschaulicht so das Phänomen, auf das ich mit dem Lognormal hingewiesen habe Beispiel. Die “ Winkelsymmetrien “ bilden wieder eine Gruppe von Isometrien. Die “ Halbraumsymmetrie “ [sic] ist keine Symmetrie, erlaubt jedoch diskrete Abweichungen davon: dass ‚ ist neu.
Antwort
Die Antwort hängt davon ab, was Sie damit meinen Symmetrie. In der Physik ist der Begriff der Symmetrie von grundlegender Bedeutung und sehr allgemein geworden. Symmetrie ist jede Operation, bei der das System unverändert bleibt.Im Fall einer Wahrscheinlichkeitsverteilung könnte dies in jede Operation $ X \ bis X „$ übersetzt werden, die die gleiche Wahrscheinlichkeit $ P (X) = P (X“) $ zurückgibt.
Im einfachen Fall des ersten Beispiels beziehen Sie sich auf die Reflexionssymmetrie um das Maximum. Wenn die Verteilung sinusförmig wäre, könnten Sie die Bedingung $ X \ bis X + \ Lambda $ haben, wobei $ \ Lambda $ die Wellenlänge oder Periode ist. Dann ist $ P (X) = P (X + \ lambda) $ und würde immer noch zu einer allgemeineren Definition der Symmetrie passen.