An vielen Stellen in der statistischen Physik verwenden wir die Partitionsfunktion . Für mich sind die Erklärungen für ihre Verwendung klar, aber ich frage mich, welche physikalische Bedeutung sie haben. Kann jemand bitte mit einem guten Beispiel ohne zu viele mathematische Komplikationen erklären?
Kommentare
- Abgesehen davon, dass es sich um einen Normalisierungsfaktor handelt, sind viele seiner wesentlichen Merkmale für Berechnungen ergeben sich aus seiner Ähnlichkeit mit Z- und Laplace-Transformationen dank der Exponential-mit-Energie-Boltzmann-Verteilung, die eine Art " Co-Indidence ", dass sie ' nicht mit einer anderen Distribution funktionieren würden.
- Haben Sie die gelesen? " bedeutet " Abschnitt im Wikipedia-Artikel ? Wenn ja, was ' befriedigt Sie nicht über " codiert es, wie die Wahrscheinlichkeiten auf die verschiedenen Mikrozustände " ?
- Mögliches Duplikat von Die unangemessene Wirksamkeit der Partitionsfunktion
Antwort
Die Partitionsfunktion ist ein Maß für das Volumen, das das System im Phasenraum einnimmt. Grundsätzlich erfahren Sie, wie viele Mikrozustände in einem bestimmten Ensemble für Ihr System zugänglich sind. Dies ist leicht ab dem mikrokanonischen Ensemble zu erkennen.
Im mikrokanonischen Ensemble, in dem jeder Mikrozustand mit einer Energie zwischen $ E $ und $ E + \ Delta E $ ist ebenso wahrscheinlich, die Partitionsfunktion ist
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E. } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
wobei das Integral nur das Hypervolumen des Bereichs des Phasenraums ist, in dem die Energie (Hamilton) $ \ mathcal ist H $ des Systems liegt zwischen $ E $ und $ E + \ Delta E $, normalisiert durch $ h ^ {3N} $, um es dimensionslos zu machen. Der Faktor $ N! ^ {- 1} $ berücksichtigt die Tatsache, dass sich durch den Austausch des „Labels“ auf zwei Partikeln der Mikrozustand nicht ändert.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
sagt Ihnen, dass die Entropie proportional zu ist Der Logarithmus der Gesamtzahl der Mikrozustände, die dem Makrostatus Ihres Systems entsprechen, und diese Zahl beträgt nur $ Z_ {mc} $.
In den kanonischen und großkanonischen Ensembles bleibt die Bedeutung der Partitionsfunktion erhalten das gleiche, aber da die Energie nicht mehr festgelegt ist, wird sich der Ausdruck ändern.
Die kanonische Partitionsfunktion lautet
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
In diesem Fall integrieren wir über den gesamten Phasenraum, weisen jedoch jedem Punkt $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf zu q_N) $ a weight $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, wobei $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, so dass diese Zustände mit einer Energie viel höher als sind $ k_B T $ sind weniger wahrscheinlich. In diesem Fall ist der Zusammenhang mit der Thermodynamik gegeben durch
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
Dabei ist $ F $ die freie Helmholtz-Energie .
Die großartige kanonische Partitionsfunktion ist
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
wobei wir diesmal auch alle möglichen Werte der Anzahl der Partikel $ N $ summieren und jeden Term mit $ \ exp (\ beta \ mu N) $ gewichten, wobei $ \ mu $ die chemisches Potential .
Der Zusammenhang mit der Thermodynamik ist gegeben durch
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Antwort
Es ist $ e ^ {- F / T} $, wobei $ F / T $ die freie Energie ist, die durch die relevante thermodynamische Energieskala, die Temperatur, normalisiert wird. Das Exponential ist nur eine monotone Neuparametrisierung. Moralisch gesehen ist die Partitionsfunktion nur die freie Energie, die zur Verfügung steht nützliche Arbeit leisten.
Eine andere Interpretation: if Sie normalisieren es so, dass $ E = 0 $ der Grundzustand ist, und grob gesagt ist es der Kehrwert des „Bruchteils des Systems, der sich im Grundzustand befindet“. Extrem heuristisch sei $ g $ die Gesamtmenge des Systems, das sich im Grundzustand befindet, $ e $ die Gesamtmenge des Systems, das sich in einem verlassenen Zustand befindet, und $ s = g + e $ die Gesamtmenge des Systems. Dann ist $ g / s $ der Bruchteil des Systems, der sich im Grundzustand befindet, und sein Kehrwert ist $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Das Boltzmann-Gewicht gibt an, dass das Das relative Gewicht (oder „Betrag“) jedes angeregten Zustands $ i $ mit der Energie $ E_i $ relativ zum Gewicht des Grundzustands beträgt $ e ^ {- \ beta E_i} $.Summiert man alle angeregten Zustände $ i $, so erhält man die Partitionsfunktion $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Antwort
Die physikalische Bedeutung der Partitionsfunktion lautet wie folgt: Sie drückt die Anzahl der thermisch zugänglichen Zustände aus, die ein System Trägern (z. B. Elektronen) bereitstellt.