Was ist ein Pfadintegral? [geschlossen]

Mathematisch ist ein Pfadintegral eine Verallgemeinerung eines mehrdimensionalen Integral. In üblichen $ N $ -dimensionalen Integralen integriert man $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ über einen Unterraum von $ {\ mathbb R} ^ N $, einem $ N $ -dimensionalen Integral. Ein Pfadintegral ist ein unendlichdimensionales Integral $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ über alle möglichen Funktionen $ f (y) $ einer Variablen $ y $, Dies kann eine reelle Zahl oder ein Vektor sein. Die Werte der Funktionen $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ usw. spielen die gleiche Rolle wie die Variablen $ x_1 $, $ x_2 $ usw. im üblichen mehrdimensionalen Integral .

Da der Index $ i $ von $ x_i $ Werte in der endlichen Menge $ 1,2, \ dots N $ annahm und jetzt durch die stetige Variable $ y $ ersetzt wird, ist das Pfadintegral ein unendlich-dimensionales Integral.

Strenge Mathematiker sehen viele Probleme, die verhindern, dass man das unendlich-dimensionale Pfadintegral mithilfe der Maßtheorie definiert. Aber Physiker wissen, dass ähnliche Integrale behandelt werden können. Es gibt einige „ultraviolette Divergenzen“ usw., die man beim Versuch, sie zu berechnen, erlebt, aber sie können behandelt werden. Im Wesentlichen möchte man alle natürlichen Regeln verwenden, die für die endlichdimensionalen Integrale gelten. Zum Beispiel sind die (Pfad-) Integrale einer Summe zweier Funktionen die Summe zweier (Pfad-) Integrale usw.

Zwei der wichtigsten Anwendungen von Pfadintegralen in der Physik liegen in Feynmans Ansatz zur Quantenmechanik, insbesondere zur Quantenfeldtheorie, und zur statistischen Mechanik.

In der (klassischen) statistischen Mechanik möchte man die Partitionssumme $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ berechnen über alle Konfigurationen $ c $ des physischen Systems. Da die Konfigurationen jedoch häufig durch ganze Funktionen $ f (y) $ gekennzeichnet sind – unendlich viele Werte bei allen zulässigen Werten des Arguments $ y $ – ist die Summe nicht „t wirklich a“. Summe“. Es ist nicht einmal ein endlichdimensionales Integral. Es ist ein Pfadintegral.

In der Quantenmechanik werden die komplexen Wahrscheinlichkeitsamplituden usw. als $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ berechnet int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ dh als Pfadintegral über alle Konfigurationen der Variablen $ \ phi (y) $ usw. Der Integrand ist eine Phase – eine Zahl, deren absoluter Wert eins ist – und der Phasenwinkel hängt von der klassischen Aktion ab, die aus der möglichen Historie $ \ phi (y) $ bewertet wird. Die Anfangs- und Endzustände $ i, f $ werden durch Integrieren einbezogen über jene Konfigurationen in den „Zwischenzeiten“, die den entsprechenden Randbedingungen entsprechen.

Fast die gesamte Quantenfeldtheorie kann als Berechnung einiger Pfadintegrale ausgedrückt werden. In diesem Sinne also „alles“ lernen Ein Pfadintegral entspricht dem Erlernen fast der gesamten Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie, die je nach Tiefe zwischen einem Semester und 10 Jahren intensiven Studiums erfordern können. Es kann sicherlich nicht in einer Antwort mit einer zulässigen Größe auf diesem Server behandelt werden.

Die Berechnung der Pfadintegrale mit dem Gaußschen, dh $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ Integranden, möglicherweise mit Polynom Präfaktoren in den Integrationsvariablen sind vielleicht das wichtigste oder „einfachste“ Beispiel für ein nicht triviales Pfadintegral, das wir in der Physik tatsächlich benötigen.

In der Quantenmechanik repräsentiert das Pfadintegral die explizite Endformel für jedes Wahrscheinlichkeitsamplitude Die Amplitude für jeden Übergang vom Zustand $ | i \ rangle $ zum Zustand $ | f \ rangle $ kann direkt als Pfadintegral ausgedrückt werden, und die Wahrscheinlichkeit ist der absolute Wert der Wahrscheinlichkeitsamplitude im Quadrat Die Quantenmechanik ermöglicht die Berechnung von Furunkeln bis zu diesen Wahrscheinlichkeiten – das Pfadintegral repräsentiert also „alles“ in der Quantenmechanik. (Dieser Absatz wurde ursprünglich als Kommentar von mir veröffentlicht, und der Benutzer, der diese Bearbeitung vorschlug, hatte einen guten Grund, dies zu tun.)

Kommentare

• +1, aber ich würde ' die Werte der Funktionen nicht sagen, $ f (0), f (1) $ usw. spielen die Rolle von $ x_1, x_2 $ usw. Da die Funktion ganze Funktionen Zahlen zuordnet, ist sie ' an gesamte Funktion $ f $, die die Rolle eines Wertes von $ x_1, x_2, $ usw. ersetzt.
• Ich verstehe ' nicht, @JamalS, das heißt Eine sehr diplomatische Art zu sagen, dass ich denke, dass Sie ' nicht verstehen. 😉 Es gibt nur eine ganze Funktion $ f $, aber es gibt viele Variablen $ x_1, x_2 $. Die Funktion enthält noch mehr (unendlich oft mehr) Informationen als mehrere Zahlen $ x_1, \ dots, x_N $. Was ist in Ihrem letzten Satz die Konjunktion zwischen $ x_1, x_2 $? Wenn es ' s " oder " ist, dann ' ist falsch, weil man alle Werte aller $ x_i $ angeben muss, um über den Integranden zu sprechen. Wenn es ' s " und " ist, dann OK, aber dann versuchen Sie es einfach um die Tatsache zu verschleiern, dass der Pfad in. mehrdimensional ist.
• Mein Einwand ist nur gegen die Analogie, die Sie zwischen dem endlichen dimensionalen Fall und dem Pfadintegral angeben. So wie Sie es ' geschrieben haben, sagen Sie ' die Werte der Funktion $ f $ an verschiedenen Stellen " spielen die gleiche Rolle wie die Variablen $ x_1, x_2 $ usw. " Nun stimme ich zu, dass dort ' s nur eine Funktion $ f $, und wir summieren über alle möglichen Funktionen. Mein Punkt ist also, dass es ' die verschiedenen Funktionen sind, die analog zum Summieren über verschiedene Werte einer skalaren Variablen, $ x $, sind. Ich sehe ' nicht, wie Sie ' extrapolieren konnten. Ich denke, nur reibungslose Funktionen tragen zu meinem einzelnen Kommentar bei …
• Ich habe nur geschrieben, dass $ \ int D \ phi (y) $ als Kontinuumsgrenze des mehrdimensionalen Integrals $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01) definiert werden kann ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ dots $ für $ 0,01 $ an Null gesendet. Ich glaube nicht, dass diese Behauptung kontrovers sein kann, '. ' ist wirklich die Essenz der Antwort. Wenn Sie nur sagen, dass " ein Integral über alle Werte einer Funktion überall ist ", bewegen Sie sich nicht mit einem Epsilon zur Beantwortung die Frage des OP und die Erklärung, was ein " Integral über Funktionen " tatsächlich ist. Ein Integral im Sinne vor dem Pfadintegral ist immer endlich dunkel.
• Lieber @TAbraham, es repräsentiert die explizite Endformel für jede Wahrscheinlichkeitsamplitude. Die Amplitude für jeden Übergang vom Zustand " i " zum Zustand " f " kann direkt als Pfadintegral ausgedrückt werden, und die Wahrscheinlichkeit ist der absolute Wert der Wahrscheinlichkeitsamplitude im Quadrat. Alles, was die Quantenmechanik zur Berechnung zulässt, läuft auf diese Wahrscheinlichkeiten hinaus – das Pfadintegral repräsentiert also " alles " in der Quantenmechanik.