Ich studiere Elektrodynamik selbst und möchte wissen, was unter einem -Potential . Ich verstehe das Konzept von potentieller Energie , aber was ist mit einem Potential gemeint? Ist es dasselbe wie ein Feld, wie Gravitation oder elektromagnetisch?
Antwort
Elektrisches Potential und elektrische potentielle Energie sind zwei verschiedene Konzepte, die jedoch eng miteinander verbunden sind. Betrachten Sie eine elektrische Ladung $ q_1 $ an einem Punkt $ P $ in der Nähe der Ladung $ q_2 $ (nehmen Sie an, dass die Ladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben).
Wenn wir nun die Ladung $ q_1 $ bei $ P $ freigeben, beginnt sie sich zu bewegen lade $ q_2 $ auf und habe somit kinetische Energie. Energie kann nicht durch Magie erscheinen (es gibt kein kostenloses Mittagessen). Woher kommt sie also? Es kommt von der elektrischen potentiellen Energie $ U $, die mit der attraktiven „konservativen“ elektrischen Kraft zwischen den beiden Chages verbunden ist. Um die potentielle Energie $ U $ zu berücksichtigen, definieren wir ein elektrisches Potential $ V_2 $, das am Punkt $ P $ gegen Gebühr $ q_2 $ eingerichtet wird.
Das elektrische Potential existiert unabhängig davon, ob sich $ q_1 $ am Punkt $ P $ befindet. Wenn wir uns dafür entscheiden, die Ladung $ q_1 $ dort zu platzieren, ist die potentielle Energie der beiden Ladungen auf die Ladung $ q_1 $ und das bereits vorhandene elektrische Potential $ V_2 $ zurückzuführen, so dass:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Sie können dasselbe Argument verwenden, wenn Sie chage $ q_2 $ berücksichtigen. In diesem Fall ist die potenzielle Energie dieselbe und ist gegeben durch: $$ U = q_2V_1 $$
Antwort
In der Sprache der Vektorrechnung:
Das Wort Potential wird im Allgemeinen verwendet, um eine Funktion zu bezeichnen, die, wenn sie auf besondere Weise differenziert wird, ein Vektorfeld ergibt. Diese Vektorfelder, die sich aus Potentialen ergeben, werden als konservativ bezeichnet. Bei einem Vektorfeld $ \ vec F $ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
- $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
- $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
- $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ für jede geschlossene Schleife $ C $ (daher der Name „konservativ“)
Die in $ (2) $ vorkommende Funktion $ \ phi $ wird als Potential von $ \ vec F bezeichnet. $ Jedes irrotationale Vektorfeld kann also als Gradient geschrieben werden einer möglichen Funktion.
Speziell im Elektromagnetismus besagt das Faradaysche Gesetz, dass $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partielle \ vec B} {\ partielle t} $. Für Magnetfelder, die dies nicht tun variieren mit der Zeit (Elektrostatik) wir erhalten, dass $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ und somit $ \ vec E = – \ nabla V $ wobei $ V $ das Potenzial von $ \ vec E $ ist. Genau das ist Wir nennen das elektrische Potential oder „Spannung“, wenn Sie kein Physiker sind. In dem Fall der Elektrodynamik, in dem $ \ frac {\ partielle \ vec B} {\ partielle t} \ neq 0 $, existiert immer noch ein Begriff des elektrischen Potentials, da wir das elektrische Feld in die Summe eines irrotationalen Feldes und eines Solenoidfeldes aufteilen können (Dies nennt man den Helmholtz-Satz). Wir können dann Maxwells Gleichungen verwenden, um $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partielle \ vec A} {\ partielle t} $ zu erhalten, wobei $ V $ das gleiche elektrische Potential und $ \ vec A ist $ ist ein Vektorfeld, das wir als Vektorpotential bezeichnen.
Der Fall der Schwerkraft ist analog. Wenn $ \ vec g $ ein irrotationales Gravitationsfeld ist (was immer der Fall ist in der Newtonschen Schwerkraft) dann $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ wobei $ \ phi $ das Gravitationspotential ist. Dies hängt eng mit der Energie des Gravitationspotentials zusammen, indem eine Masse $ m $ in das Gravitationsfeld $ \ vec g gelegt wird $ hat potentielle Energie $ U = m \ phi $.
Kommentare
- +1 für die detaillierte Antwort. Bedingungen 1. und 3 Es ist möglich, ein Vektorfeld zu haben, so dass $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ und $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Siehe für Instanz Warum ist dieses Vektorfeld kräuselfrei? .
- @Diracology Guter Punkt. Wir müssen verlangen, dass $ \ vec F $ n tut in einem von $ C $ begrenzten Bereich nicht auseinander gehen. Unter der Annahme, dass 1. wahr ist, haben wir im Allgemeinen $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A. = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ wobei $ S $ eine Fläche mit der Grenze $ C $ ist und die erste Gleichheit von Stoke ' ist s Satz. Wenn $ \ vec F $ in $ S $ abweicht, werden wir eindeutig auf einige Probleme mit diesen Gleichungen stoßen.