Was ist eine Mannigfaltigkeit?

Nicht technisch gesehen ist eine Mannigfaltigkeit eine kontinuierliche geometrische Struktur mit endlicher Dimension: eine Linie, eine Kurve, eine Ebene, eine Oberfläche, eine Kugel, eine Kugel, ein Zylinder, ein Torus, ein „Klecks“ … Etwa so:

Dies ist ein allgemeiner Begriff, der von verwendet wird Mathematiker sagen „eine Kurve“ (Dimension 1) oder „Oberfläche“ (Dimension 2) oder ein 3D-Objekt (Dimension 3) … für jede mögliche endliche Dimension $ n $. Eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist einfach eine Kurve (Linie, Kreis …). Ein zweidimensionaler Verteiler ist einfach eine Oberfläche (Ebene, Kugel, Torus, Zylinder …). Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist ein „volles Objekt“ (Kugel, voller Würfel, der 3D-Raum um uns herum …).

Eine Mannigfaltigkeit wird oft durch eine Gleichung beschrieben: Die Menge der Punkte $ (x, y) $ wie $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ ist eine eindimensionale Mannigfaltigkeit (ein Kreis).

Ein Verteiler hat überall die gleiche Dimension. Wenn Sie beispielsweise eine Linie (Dimension 1) an eine Kugel (Dimension 2) anhängen, ist die resultierende geometrische Struktur keine Mannigfaltigkeit.

Im Gegensatz zu den allgemeineren Begriffen des metrischen Raums oder des topologischen Raums, die auch unsere natürliche Intuition einer kontinuierlichen Menge von Punkten beschreiben sollen, soll eine Mannigfaltigkeit etwas lokal Einfaches sein: wie ein Vektorraum mit endlicher Dimension: $ \ mathbb {R} ^ n $. Dies schließt abstrakte Räume (wie Räume mit unendlichen Dimensionen) aus, die häufig keine geometrische konkrete Bedeutung haben.

Im Gegensatz zu einem Vektorraum können Mannigfaltigkeiten verschiedene Formen haben. Einige Verteiler können leicht visualisiert werden (Kugel, Kugel …), andere sind schwer zu visualisieren, wie die Klein-Flasche oder die reale projektive Ebene .

In der Statistik, beim maschinellen Lernen oder in der angewandten Mathematik wird das Wort „Mannigfaltigkeit“ häufig verwendet, um „wie ein linearer Unterraum“ zu sagen, möglicherweise jedoch gekrümmt . Jedes Mal, wenn Sie eine lineare Gleichung schreiben wie: $ 3x + 2y-4z = 1 $, erhalten Sie einen linearen (affinen) Unterraum (hier eine Ebene). Wenn die Gleichung nicht linear ist wie $ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $, ist dies normalerweise eine Mannigfaltigkeit (hier eine gestreckte Kugel).

Zum Beispiel die „ Mannigfaltigkeitshypothese „von ML besagt, dass“ hochdimensionale Daten Punkte in einer niedrigdimensionalen Mannigfaltigkeit mit hochdimensionalem Rauschen sind „. Sie können sich Punkte eines 1D-Kreises mit etwas 2D-Rauschen vorstellen. Während die Punkte nicht genau auf dem Kreis liegen, erfüllen sie statistisch die Gleichung $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. Der Kreis ist die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit:

Eine (topologische) Mannigfaltigkeit ist ein Raum $ M $, der lautet:

(1) „lokal“ „äquivalent“ zu $ \ mathbb {R} ^ n $ für einige $ n $.

„Lokal“ kann die „Äquivalenz“ über $ n $ Koordinatenfunktionen $ c_i: M \ bis \ mathbb {R} $ ausgedrückt werden, die zusammen eine „strukturerhaltende“ Funktion $ bilden c: M \ to \ mathbb {R} ^ n $, genannt Diagramm .

(2) kann auf eine „strukturerhaltende“ Weise als Teilmenge von realisiert werden $ \ mathbb {R} ^ N $ für einige $ N \ ge n $. (1) (2)

Beachten Sie dies, um Um „Struktur“ hier präzise zu machen, muss man die Grundbegriffe der Topologie ( def. ), wodurch man präzise Vorstellungen von „local“ Verhalten und damit „lokal“ oben. Wenn ich „äquivalent“ sage, meine ich eine äquivalente topologische Struktur ( homöomorph ), und wenn ich „strukturerhaltend“ sage, meine ich dasselbe (erzeugt ein Äquivalent) topologische Struktur).

Beachten Sie auch, dass für Kalkül auf Verteilern eine zusätzliche Bedingung benötigt wird, die sich nicht aus dem ergibt über zwei Bedingungen, die im Grunde genommen so etwas wie „Die Diagramme sind gut genug verhalten, um Kalkül zu machen“ sagen. Dies sind die in der Praxis am häufigsten verwendeten Mannigfaltigkeiten. Im Gegensatz zur allgemeinen Topologie Verteiler erlauben neben der Berechnung auch Triangulationen , was in Anwendungen wie sehr wichtig ist Ihre mit Punktwolkendaten .

Beachten Sie, dass nicht alle Personen dieselbe Definition für eine (topologische) Mannigfaltigkeit verwenden. Mehrere Autoren definieren sie als nur erfüllend Bedingung (1) abo ve, nicht unbedingt auch (2). Die Definition, die sowohl (1) als auch (2) erfüllt, verhält sich jedoch viel besser und ist daher für Praktiker nützlicher. Man könnte intuitiv erwarten, dass (1) (2) impliziert, aber es tut es tatsächlich nicht.

BEARBEITEN: Wenn Sie wissen möchten, was genau eine „Topologie“ ist, ist die euklidische Topologie von $ \ das wichtigste zu verstehende Beispiel für eine Topologie mathbb {R} ^ n $. Dies wird in jedem (guten) Einführungsbuch über „echte Analyse“ ausführlich behandelt.

Kommentare

• Vielen Dank für Ihre Antwort: Können Sie bitte erklären, was eine Topologie auch in einem nichttechnischen Begriff ist? Wird der Begriff Topologie und Mannigfaltigkeit synonym verwendet? Dimension muss eine ganzzahlige Zahl sein? Was ist es eine reelle Zahl? Dann denke ich, dass die Struktur als Fraktale bekannt ist, wenn sich die gesamte Struktur aus jedem Unterteil selbst wiederholt.
• @RiaGeorge $ n $ steht für eine natürliche Zahl (ganze Zahl $ \ ge 1 $), ebenso wie $ N $. Es könnte eine fortgeschrittenere Theorie für gebrochene / r geben eal-wertige Dimensionen, aber ‚ wird nicht so oft angezeigt. “ Topologie “ und “ Verteiler “ bedeuten zwei sehr unterschiedliche Dinge, daher sind sie keine austauschbaren Begriffe. Ein “ -Verteiler “ hat eine “ -Topologie „. Das Gebiet der Topologie untersucht Räume mit “ Topologien „, die Sammlungen von Mengen sind, die drei Regeln / Bedingungen erfüllen. Ein Ziel der Untersuchung von “ -Topologien “ besteht darin, Begriffe von “ lokales “ Verhalten.
• @RiaGeorge Die Axiome für eine “ Topologie “ finden Sie auf der Wikipedia-Seite: en.wikipedia.org / wiki / General_topology # A_topology_on_a_set – Beachten Sie auch, dass der Link, den ich Ihnen für die (äquivalente) Definition der “ -Topologie “ In Bezug auf die Nachbarschaft, die auf etwas verwandtes, aber nicht dasselbe verweist, habe ich meine Antwort bearbeitet, um dies widerzuspiegeln: en.wikipedia.org/wiki/… Beachten Sie jedoch, dass die Definition in Bezug auf Nachbarschaften schwieriger zu verstehen ist (ich kann mir vorstellen, dass ich sie gut verstehen könnte, aber ich ‚ t stört mich auch, weil ich ‚ faul bin
• also ist es ‚ meine persönliche voreingenommene Meinung, dass Sie nicht ‚ Sie müssen die Nachbarschaftsdefinition der Topologie nicht kennen – wissen Sie nur, dass die einfachere Definition Ihnen die gleiche Kraft der Nachbarschaftsdefinition gibt, wenn es darum geht, das lokale Verhalten genau zu beschreiben, da dies der Fall ist gleichwertig). Wenn Sie sich für Fraktale interessieren, werden Sie diese Wikipedia-Seiten vielleicht interessant finden – ich kann Ihnen ‚ jedoch nicht weiterhelfen, da ich mit dem nicht sehr vertraut bin Theorie und ‚ kennen oder verstehen die meisten Definitionen nicht – ich habe nur von einigen der
• gehört. Dies ist die einzige Antwort, die bisher Aufmerksamkeit schenkt auf die moderne mathematische Idee, ein globales Objekt aus lokalen Daten zusammenzusetzen. Leider schafft es ‚ nicht ganz auf das Maß an Einfachheit und Klarheit, das für ein “ nicht-technisches Konto.

In diesem Zusammenhang ist der Begriff Mannigfaltigkeit korrekt. ist aber unnötig highfalutin. Technisch gesehen ist eine Mannigfaltigkeit jeder Raum (Satz von Punkten mit einer Topologie), der ausreichend glatt und kontinuierlich ist (auf eine Weise, die mit einigem Aufwand mathematisch genau definiert werden kann).

Stellen Sie sich den Raum vor aller möglichen Werte Ihrer ursprünglichen Faktoren. Nach einer Dimensionsreduktionstechnik sind nicht alle Punkte in diesem Raum erreichbar. Stattdessen sind nur Punkte auf einem eingebetteten Unterraum in diesem Raum erreichbar. Dieser eingebettete Unterraum erfüllt zufällig die mathematische Definition einer Mannigfaltigkeit. Für eine lineare Dimensionsreduktionstechnik wie PCA ist dieser Unterraum nur ein linearer Unterraum (z. B. eine Hyperebene), was eine relativ triviale Mannigfaltigkeit ist. Für die nichtlineare Dimensionsreduktionstechnik könnte dieser Unterraum jedoch komplizierter sein (z. B. eine gekrümmte Hyperfläche). Für Datenanalysezwecke ist das Verständnis, dass dies Unterräume sind, viel wichtiger als jede Schlussfolgerung, die Sie aus dem Wissen ziehen würden, dass sie die Definition der Mannigfaltigkeit erfüllen.

Kommentare

• “ Highfalutin “ … hat heute ein neues Wort gelernt!
• Mathematisch Eine Mannigfaltigkeit ist ein lokal kontinuierlicher topologischer Raum. Ich mag die Idee, Dinge im Klartext zu erklären, aber diese Charakterisierung funktioniert wirklich nicht ‚. Zunächst einmal ist Kontinuität immer eine lokale Eigenschaft, daher bin ich mir ‚ nicht sicher, was Sie unter lokal kontinuierlich verstehen. Außerdem schließt Ihre Definition viele Dinge nicht aus, die ‚ nicht vielfältig sind, wie z. B. die rationale Zahlenlinie oder die Vereinigung zweier sich schneidender Linien in der euklidischen Ebene.
• Ich stimme Ben zu, technisch gesehen ist es ‚ s “ lokal euklidisch „. Ich ‚ bin mir nicht sicher, ob es einen guten Weg gibt, dies auf einfaches Englisch zu reduzieren.
• Ich muss auch den beiden obigen Kommentaren stark zustimmen. Tatsächlich sollte die Antwort, die ich unten schrieb, ursprünglich ein klarer Kommentar zu dieser Antwort sein, der zu lang wurde. Es gibt keine genaue Vorstellung von einem “ kontinuierlichen “ topologischen Raum (siehe hier: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). Die Definition von Mannigfaltigkeiten in Bezug auf nicht existierende Konzepte ist meiner Meinung nach auf lange Sicht eher verwirrend als klarstellend. Zumindest würde ich vorschlagen, das Wort “ mathematisch “ im ersten Satz durch etwas anderes zu ersetzen.
• Ich ‚ werde diesen Kommentar als Gelegenheit nutzen, um eine kleine Frage zu stellen … Ich (glaube) ich habe die Idee von Mannigfaltigkeiten, aber warum ist es “ lokal “ benötigt? Ist ‚ kein Leerzeichen “ lokal “ kontinuierlich … kontinuierlich als Ganzes?

Wie Bronstein und andere es in Geometric Deep Learning ausgedrückt haben: über euklidische Daten hinaus ( Lesen Sie den Artikel hier )

Ungefähr ein Mannigfaltigkeit ist ein lokal euklidischer Raum. Eines der einfachsten Beispiele ist eine sphärische Oberfläche, die unseren Planeten modelliert: Um einen Punkt herum scheint sie planar zu sein, was Generationen von Menschen dazu gebracht hat, an die Flachheit der Erde zu glauben. Formal gesehen ist eine (differenzierbare) d-dimensionale Mannigfaltigkeit X ein topologischer Raum, in dem jeder Punkt x eine Nachbarschaft hat, die topologisch äquivalent (homöomorph) zu einem d-dimensionalen euklidischen Raum ist, der als Tangentenraum bezeichnet wird.

Kommentare

• Das Zitat ist widersprüchlich. Zu Beginn beschreibt es eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (“ lokal euklidisch „), am Ende jedoch eine topologische Mannigfaltigkeit (Homöomorphismen nicht, müssen per Definition die Differentialstruktur respektieren und daher gilt das Konzept des Tangentenraums nicht).