Ich versuche, Keplers zweites Gesetz zu verwenden, um die Dauer der Umlaufbahn der Venus zu ermitteln. Ich gehe von Kreisbahnen aus (mit Erde und Venus, also geringe Exzentrizität). Hier ist mein Prozess:
Angenommen, der Radius der Erdumlaufbahn beträgt 150 Millionen km, dann ist die überstrichene Fläche an einem Tag $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ ca. 194 \ text {million km} ^ 2 $ .
Die Venus muss zur gleichen Zeit denselben Bereich fegen. Angenommen, ein Orbital Radius von 108 Millionen km für Venus und unter Verwendung von $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ können wir den zentralen Winkel für finden der überstrichene Sektor, dh der Winkel, der an einem Tag auf der Erde zurückgelegt wurde:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ impliziert \ theta = 1,90 ^ {\ circ} $ pro Tag der Erde.
Daher sollte die Umlaufzeit $ \ frac {360} {1,90 sein } \ ca. 189 $ Erdentage.
Natürlich beträgt die Umlaufzeit der Venus $ 224,7 $ Erdentage. Der Unterschied zwischen 189 und 224.7 scheinen weit über den Fehler hinauszugehen, der durch meine Annahme von Kreisbahnen verursacht wurde.
Was mache ich falsch?
Ich weiß, dass dies möglicherweise ein umständlicher Weg ist, diese Berechnung durchzuführen. Mein Ziel ist es, eine Mathematikübung zu schreiben, die den Bereich der Sektoren auf sinnvolle Weise nutzt.
Kommentare
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+1für das Zeigen aller Arbeiten und das Stellen einer sehr klaren Frage!
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Keplers Gesetze Geben Sie an, dass ein Planet gleiche Flächen zu gleichen Zeiten fegt, während er sich in seiner elliptischen Umlaufbahn bewegt. Es heißt nicht, dass verschiedene Planeten dieselbe Fläche fegen.
Das Gesetz „gleiche Flächen“ kann aus dem abgeleitet werden „Erhaltung des Drehimpulses“. Tatsächlich ist dA / dt = L / (2 m) (wobei A die Fläche ist, L der Drehimpuls ist und m die (reduzierte) Masse ist).
Verschiedene Planeten fegen verschiedene Gebiete aus. Um die Periode zu berechnen, haben Sie Keplers drittes Gesetz verwendet: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = Umlaufzeit, a = Halb-Hauptachse). If Der Einfachheit halber nehmen Sie a in AU und T in Erdjahren, dann die Konstante $ k = 1 $ .
Für Venus ist a = 0,72 $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ oder ungefähr 223 Tage.
Hyperphysik hat einen Abschnitt über Keplers Gesetze