Was meinen wir mit dem Begriff “ Anzahl der Dinge ”?

Das Buch ist sehr alt: 2. Auflage 1903; 1st ed 1890.

Wie Sie aus Fußnote Seite 131 sehen können, werden Cantor und Dedekind als „interessante Beiträge zur Literatur des Faches“ erwähnt …

Sie können es also nicht Erwarten Sie, dass die zu Beginn ohne Definition eingeführten Konzepte , die als primitiv verwendet werden, um die folgende Behandlung „aufzuklären“, genau in moderne (dh nach 1930) satztheoretische Begriffe übersetzt werden können.

Ich denke, dass:

group eine endliche Sammlung von Objekten bedeuten muss (Dinge)

und das:

Anzahl der Dinge in einer Gruppe ist „eindeutig“ (aus der Diskussion) das Äquivalent der modernen Kardinalität (beschränkt auf endliche Sammlungen) und wird als „Eigenschaft“ von bezeichnet die Sammlung (Gruppe).

Meine Interpretation ist, dass Dinge „individuell“, konkret oder abstrakt (falls vorhanden) sind. Natürlich ist es leicht, sie als konkrete Objekte zu betrachten, wie Peebles in einer Tasche oder Soldaten in einem Zug.

Ein Zug ist eine Gruppe von Soldaten und den Anzahl der Dinge im Zug ist die Anzahl der einzelnen Soldaten, die ihn bilden.

Diese Interpretation ist auch im Hinblick auf die folgende Definition von Addition sinnvoll (siehe CoolHandLouis) „s Antwort).

Bitte beachten Sie, dass hier group die“ generische „Bedeutung von Sammlung oder Aggregat hat; es hat nichts mit dem Fachbegriff“ Gruppe „von Gruppentheorie .

Wenn wir von den „Charakteren“ der einzelnen Dinge „abstrahieren“ (dh ihre individuellen Eigenschaften wie Farbe, Größe, Form für eine Sammlung von Kugeln bilden) und aus der Reihenfolge der Objekte in der Sammlung (es ist dasselbe für das „moderne“ set -Konzept: {A, B, C} ist „dasselbe“ Set wie {C, B, A} ) Was wir erhalten, ist die „Anzahl“ der Dinge in der Gruppe (die Anzahl der Mitglieder der Sammlung).

Erinnern Sie sich r dass die ursprüngliche Notation von Cantor zur Darstellung der Kardinalzahl der Menge A ein „doppelter Überstrich“ über A war:

das Symbol für eine Menge, die mit einem einzelnen Überstrich über A gekennzeichnet ist. daher stellte es den Auftragstyp der Menge dar. Ein doppelter Überstrich über A zeigte dann an, dass die Reihenfolge aus dem Satz entfernt und somit die Kardinalnummer des Satzes angezeigt wurde.

Kommentare

• Was verstehen wir unter dem Begriff Anzahl der Dinge im allgemeinen Englisch?
• @Anupam – Entschuldigung, aber ich ‚ bin kein englischer Muttersprachler . Ich ‚ habe nach Cambridge Dictionary online gesucht: Es gibt keine direkte Paraphrase: die ähnlichste Position I ‚ Wir haben festgestellt, dass “ mehrere bestimmte Dinge sind: Ich habe mich aus mehreren Gründen entschieden, nicht zu gehen. “ Wir müssen die Position von Fine ‚ als primitiven “ Fachbegriff „.
• Ich denke, “ Gruppe “ ist nicht die “ setze “ unserer modernen Mathematik. Eine Menge ist eine Sammlung von abstrakten Objekten andererseits “ group “ ist eine Sammlung von Dingen (die nicht abstrakt sind). Die Mengenlehre hat nichts mit meiner Frage zu tun.
• Ich habe ‚ diese Arbeit nicht gelesen, aber als jemand mit mehr mathematischem Hintergrund den Satz “ Gruppe muss eine endliche Sammlung von Objekten (Dingen) bedeuten. “ lässt mich zusammenzucken.
• @JamesKingsbery – aber “ Gruppe “ ist hier nicht wie in Gruppentheorie gedacht; Die Bedeutung ist “ Sammlung “ oder “ Aggregat “ einzelner Objekte.

Vorwort

Ich habe zwei angegeben Antworten auf diese Frage:

• Die andere Antwort ist die bessere Antwort und meine primäre Antwort. Es deutet darauf hin, dass sich Mr. Fine auf die naive Mengenlehre bezieht.

• Ich habe diese Antwort angegeben, weil Das OP bestand darauf, dass {A, A, A} drei verschiedene Elemente enthält „und postete ein Kopfgeld. Ansonsten gab es absolut kein überzeugendes OP. Warum also nicht einfach zustimmen und das Kopfgeld erhalten? 🙂

  Die beiden Antworten ergänzen sich tatsächlich, da sie zeigen, wie man dieselben mathematischen Phänomene beschreiben kann, indem man Axiome, Definitionen und Regeln an verschiedenen Stellen ändert. Sie sagen TOE MAY TOE Ich sage TOE MAH TOE. Wie sich herausstellt, diese Antwort enthält einen niedlichen“ mathematischen Beweis „, dass Mr. Fine dachte, dass {A, A, A} drei verschiedene Elemente darstellt“. Aber bitte lesen Sie hier eine ironische Haltung Antwort.

Anupam,

Sie haben Recht, Mr. Fine berücksichtigt {A, A, A} = 3.

Ich sende eine weitere Antwort, weil ich dies herausgefunden habe, aber meine alte Antwort hinterlassen wollte der Geschichte zuliebe. Sie haben Recht! Henry Burchard Fine meinte drei konkrete Dinge, also wird {A, A, A} als drei gezählt. Seine Aussage kann kein Fehler sein, denn ist es seine Hauptvoraussetzung, alle seine numerischen Arithmetiken – die Grundlage seines gesamten Buches – zu begründen, beginnend mit dem Zusatz:

Ergänzung: Wenn zwei oder mehr Gruppen von Dingen zu einer einzigen Gruppe zusammengeführt werden, wird das Zahlensymbol dieser Gruppe als Summe der Zahlen der einzelnen Gruppen bezeichnet.

Wenn die Summe s und die ist Zahlen der getrennten Gruppen abc usw. Die Beziehung zwischen ihnen wird symbolisch durch die Gleichung s = a + b + c + etc ausgedrückt, wobei die Summengruppe durch Verbinden der zweiten Gruppe gebildet werden soll, zu der b gehört Zuerst die dritte Gruppe, zu der c zur resultierenden Gruppe gehört usw.

Die Operation zum Finden von s, wenn abc usw. bekannt sind, ist Addition. Addition wird als Zählung abgekürzt.

6 Addition If zwei oder mehr Gruppen von Dingen, die zusammengeführt werden sollen, um eine einzige Gruppe zu bilden, wird das Zahlensymbol dieser Gruppe die Summe der Zahlen der getrennten Gruppen genannt. Wenn die Summe s und die Zahlen der getrennten Gruppen abc usw. sind, ist die Beziehung zwischen ihnen symbolisch ausgedrückt durch die Gleichung sab c + usw., wobei die Summengruppe durch Verbinden der zweiten Gruppe, zu der b zur ersten gehört, der dritten Gruppe, zu der c zur resultierenden Gruppe gehört, usw. gebildet werden soll. Die Operation des Findens von s, wenn abc usw. bekannt ist die Addition Addition wird abgekürzt Zählen

• Gegeben sind a, b, c „Gruppen / Mengen“,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Sei d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Summe (d) = Summe (a) + Summe (b) + Summe (c)

• Definieren Sie nun die Gruppen / Mengen wie folgt:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Summe (d ) = Summe (a) + Summe (b) + Summe (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Daher muss der „Gewerkschaftsoperator“ von Mr. Fine d = {A, A, A} und die Summe ({A, A, A}) = 3 erstellen.

• Wenn Mr. Fines „Gewerkschaftsoperator“ die normale Notation war, dann ist d = {A} und es gibt keine Möglichkeit, daraus „3“ zu erhalten.

Daher betrachtet Herr Fine {A, A, A} = 3.

Dies ist der Fall, wenn A bestimmte konkrete Objekte wie 3 Münzen darstellt in einer Tasche.

Kommentare

• Ich denke ‚ nicht, dass dies die richtige Schlussfolgerung ist. Ich denke, Fine geht einfach davon aus, dass beim “ Zusammenführen der Gruppen “ zum Zwecke der Summierung die “ Gruppen “ sind disjunkt.
• Nehmen Sie den Buchstaben $ A $ als “ abstraktes Objekt an “ oder “ konkretes Objekt „. Wenn $ A $ als “ abstraktes Objekt “ angenommen wird, haben $ a $, $ b $ und $ c $ alle $ 1 , 1,1 $ Anzahl der Dinge in ihnen, aber $ d $ hat keine $ 3 $ Anzahl der Dinge, da der Begriff Anzahl der Dinge nur für “ definiert ist Gruppen “ mit unterschiedlichen Dingen. Wenn Sie $ “ A “ $ als “ konkretes Objekt “ dann ist alles in Ordnung.
• +1 Zu deinem Kommentar über Anupam!Anupam, das ist wahrscheinlich die beste Frage, die Sie ‚ in Kommentaren gestellt haben! Bravo und +1 auf diese Frage! Diese ganze Antwort von mir hängt davon ab, was ich meinte! Das heißt, Sie können nicht sicher sein, ob dies korrekt ist oder nicht, es sei denn, ich sage Ihnen, ob ich “ abstract “ oder “ Beton „. Ausgezeichnet! Ich liebe es! Ich denke, dies entspricht der ursprünglichen Frage bezüglich der Absicht dessen, was Mr. Fine meinte.
• “ A “ ist ein konkretes Objekt.

Die Arbeit, die Zunächst fällt Edmund Husserls Philosophie der Arithmetik ein. Er geht ausführlich auf die offensichtliche Schwierigkeit der Zahl ein: Um die gezählten Dinge zu zählen, müssen beide unterschiedlich sein (es kann also mehr als eine geben). und das gleiche (Sie zählen bestimmte Dinge). Wenn ich „drei Äpfel“ sage, sind sie alle in einem Sinne gleich (sie sind „Äpfel“) und sie sind alle in einem anderen Sinne unterschiedlich (es gibt drei von ihnen, die sich durch ihre räumliche unterscheiden Beziehung, wenn nichts anderes)

Es gibt gleichzeitig „Vielheit“ und „Einheit“. Dies führt zu der Frage „auf welche Weise gleich und auf welche Weise unterschiedlich“.

Ich erinnere mich am meisten an die Diskussion über Unterschiede und Unterscheidungen. Es ist etwas, worüber es sich zu sprechen lohnt. Es gibt zwei Begriffe, die gegenübergestellt werden können: „unterschiedlich“, „unterschieden“.

• Um zwischen zwei Dingen zu unterscheiden, müssen wir machen Ein Urteil
• Anders ist eine notwendige, aber nicht ausreichende Bedingung, um Dinge zu unterscheiden.

In der Mathematik wird alles, was anders ist, unterschieden und man betrachtet eine Gesamtheit verschiedener Dinge. Dies vermeidet den kniffligen Teil: das menschliche Urteil.

Dieses Urteil fällt uns oft leicht. Es ist klar, dass wir viele Dinge als verschieden wahrnehmen und dass die Welt zu Objekten „kristallisiert“. Obwohl diese Wahrnehmung nicht immer ist Alles, was zur Unterscheidung zwischen Dingen benötigt wird, reicht in den meisten alltäglichen Situationen aus. Nur in Randfällen müssen wir über das Erscheinungsbild von im Raum getrennten Objekten hinausgehen und eine andere Art der Beurteilung anwenden.

Die Fähigkeit, zwischen Dingen zu unterscheiden, ist das Hauptthema des wissenschaftlichen Feldes der Psychophysik, das wirklich begann um die 1890er Jahre und dauert bis heute an. Es gab auch viele philosophische Schriften über diese menschliche Fähigkeit, tatsächlich bin ich der Meinung, dass es die Hauptfrage der Philosophie ist (andere mögen nicht zustimmen).

Um Ihre Frage direkt zu beantworten: Mathematik schließt menschliches Urteilsvermögen aus. Wenn wir also ein formales System aufbauen, müssen wir nach dem Urteil beginnen – Wir tun dies, indem wir annehmen, dass seine Objekte alle voneinander unterscheidbar sind. Wenn Objekte in der Mathematik nicht unterscheidbar sind, werden sie als gleich angesehen. Dies gilt nicht für reale Dinge, die unterschiedlich sein können, aber nicht unterschieden werden.

Hinweis: Die Details, wie Arithmetik von menschlichen Urteilen abstrahiert wird, werden im Rest von Husserls Buch behandelt. Ich bin nicht wirklich in der Lage, es hier zu artikulieren. Ich denke, es könnte einige Probleme damit geben, angesichts der jüngsten wissenschaftlichen Forschung „zahlreich“ . Ich bin es nicht sicher noch.

Kommentare

• Das Problem von “ Eins über viele “ stammt aus Plato; siehe Argument des dritten Mannes , aber es gibt uns wenig Einblick darüber, was Zahlen sind und wie sie den menschlichen Prozess “ unterstützen “ des Zählens. Die Mathematik kann Zahlen als primitiv angeben oder versuchen, “ “ sie durch Mengenlehre unter Verwendung der Konzepte zu erklären von Korrespondenz (Kardinalzahlen) und Reihenfolge (Ordnungszahlen). Aber das Problem ist immer noch da: Was sind Zahlen und warum können wir sie “ “ auf die äußere Realität anwenden?
• @MauroALLEGRANZA Ja, es ist ‚ alt, es ist ‚ die Hauptfrage;) Der Rest von Husserl ‚ In seinem Buch geht es um die Beziehung zwischen abstrakter Arithmetik und der Welt, weshalb ich sie ‚ eher als irgendetwas anderes erwähne. Ich habe ‚ nicht detailliert darauf eingegangen, weil es 1) ziemlich technisch (Hauptgrund) 2) möglicherweise falsch ist und 3) nicht benötigt wird, um “ Warum Mr. Fine diesen Begriff nur für diejenigen Gruppen beschränkt hat, die alle unterschiedlichen Elemente haben. “
• I ‚ Ich sage nicht, dass Husserl sich geirrt hat … Mein persönliches Verständnis ist, dass Fine (1890!) hat versucht, “ “ das Konzept der Zahlenvermeidung “ platonist “ Flavour, wobei jeglicher Verweis auf “ abstrakte “ Objekte vermieden wird. Ich ‚ bin nicht davon überzeugt, dass Platon Recht hatte … aber ich ‚ bin davon überzeugt, dass bis jetzt nein Soundargument für „, das “ erklärt, welche Zahlen gefunden wurden, die alle Verweise auf “ abstract “ Objekte oder Konzepte.
• @MauroALLEGRANZA Ich wollte nicht ‚ sagen, dass Sie es waren. Husserl steht der Idee, dass Zahlen auf physische Objekte (insbesondere Mill) beschränkt sein sollten, ziemlich kritisch gegenüber, sagt er “ Die bloße Anspielung auf psychische Handlungen oder Zustände, was sicherlich genauso gut gezählt werden kann wie physischer Inhalt, widerlegt [this] „. Wenn man abstrakte Objekte zählen kann, wäre eine Theorie, die abstrakte Referenzobjekte weglässt, unvollständig. Aber vielleicht verstehe ich Sie ‚ nicht ganz.
• Wieder stimme ich Ihnen zu; Ich “ liebe “ G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (“ Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung des Konzepts der Zahl „), Breslau, 1884, wo er “ abgerissene “ Mill ‚ empiristische Zahlentheorie. Es gab Verbindungen (und Kontakte) zwischen H und F; siehe von Claire Ortiz Hill, Husserl oder Frege? Bedeutung, Objektivität und Mathematik .

Vorwort

Ich habe zwei Antworten auf diese Frage gegeben:

• Diese Antwort ist die bessere Antwort und legt nahe, dass sich Mr. Fine auf die naive Mengenlehre bezieht. Auch hier gibt es keinen großen Versuch der Strenge, und Mr. Fine springt einfach zu seinem Thema von Interesse. Diese Antwort ist meine primäre Antwort.

• Ich habe angegeben eine andere Antwort in der gleiche Thread, weil das OP darauf bestand, {A, A, A} als enthaltend zu betrachten „drei verschiedene Elemente“ und postete ein Kopfgeld. Ansonsten gab es absolut kein überzeugendes OP. Warum also nicht einfach zustimmen und das Kopfgeld erhalten? 🙂

  Die beiden Antworten ergänzen sich tatsächlich, da sie zeigen, wie man dieselben mathematischen Phänomene beschreiben kann, indem man Axiome, Definitionen und Regeln an verschiedenen Stellen ändert. Sie sagen TOE MAY TOE Ich sage TOE MAH TOE. Wie sich herausstellt, enthält die andere Antwort einen niedlichen „mathematischen Beweis“ dafür Mr. Fine dachte {A, A, A} repräsentiert drei verschiedene Elemente. Es kann interessant sein zu sehen, wie ich einen solchen Vorschlag verteidigt habe.

1. Das Buch verweist auf die Theorie der naiven Mengen

Der folgende Link zu Google Books ist einfacher zu referenzieren: Das Zahlensystem der Algebra: Theoretisch und historisch behandelt „ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, veröffentlicht 1907). Das Folgende ist der fragliche Auszug aus diesem Buch von 1907:

I. DER POSITIVE INTEGER UND DIE GESETZE, DIE DIE ERGÄNZUNG UND MULTIPLIKATION POSITIVER INTEGER REGELN

1 Nummer. Wir sagen von bestimmten Dingen, dass sie eine Gruppe bilden (mit Gruppe meinen wir eine endliche Gruppe, die nicht in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung gebracht werden kann 2 mit einem Teil von sich selbst), wenn wir sie gemeinsam zu einem einzigen Objekt unserer Aufmerksamkeit machen.

Die Anzahl der Dinge in einer Gruppe ist die Eigenschaft der Gruppe, die bei jeder Änderung in der Gruppe, die dies tut, unverändert bleibt die Getrennten nicht zerstören s der Dinge voneinander oder ihre gemeinsame Trennung von allen anderen Dingen.

Solche Änderungen können Änderungen in den Eigenschaften der Dinge oder in ihrer Anordnung innerhalb der Gruppe sein. Wiederum können Änderungen der Anordnung Änderungen entweder in der Reihenfolge der Dinge oder in der Art und Weise sein, in der sie in kleineren Gruppen miteinander verbunden sind.

Wir können daher sagen: Die Anzahl der Dinge in Jede Gruppe unterschiedlicher Dinge ist unabhängig von den Charakteren dieser Dinge in der Reihenfolge, in der sie in der Gruppe angeordnet sein können, und von der Art und Weise, in der sie in kleineren Gruppen miteinander verbunden sein können.

2 Numerische Gleichheit. Die Anzahl der Dinge in zwei Gruppen unterschiedlicher Dinge ist gleich, wenn für jede Sache in der ersten Gruppe eine in der zweiten und für jede Sache in der zweiten Gruppe eine ist in der ersten. Somit ist die Anzahl der Buchstaben in den beiden Gruppen A, B, C; D, E, F ist das gleiche … [Mr. Fine spricht weiterhin über 1-zu-1-Korrespondenz – CoolHandLouis] …

Es ist Jedem, der eine „Set Theory 101“ -Klasse für Anfänger besucht, ist klar, dass dieses Buch die Grundlagen der Mengenlehre beschreibt. Wir können zuversichtlich sagen, dass Mr. Fines Verweise auf eine „Gruppe“ genau und genau das sind, was heute als „Menge“ bekannt ist, und auf „Elemente“, als er „verschiedene Dinge“ beschrieb Der gesamte Beitrag bezieht sich tatsächlich auf das, was als „naive Mengenlehre“ bezeichnet wird, aber das spielt für diese Frage / Antwort keine Rolle.)

Angesichts der Tatsache, dass sich Mr. Fine auf die Mengenlehre bezieht und sein Buch 1907 geschrieben wurde Mein erster Vorschlag ist, dass Sie Mr. Fine vollständig vergessen und nach guten Referenzen für Anfänger“ Set-Theorie “ und schauen Sie sich auch einige der kurzen Videos zum gleichen Thema an.

Mr. Fines Fußnote“ Mit Gruppe meinen wir endliche Gruppe, die ist eine, die nicht in eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit irgendeinem Teil von sich selbst gebracht werden kann „ist ein sehr starker Beweis dafür, dass er über (naive) Mengenlehre spricht. Er vermeidet offensichtlich unendliche Mengen und basiert auf der Geschichte der Mengenlehre kann für pol gewesen sein itische Gründe. Es gibt keinen Grund für ihn, zu diesem Zeitpunkt seiner Karriere umstritten zu sein, und jeden Grund, auf Nummer sicher zu gehen, insbesondere bei diesem Buch.

Aber das ist eine Meta-Antwort. Hier ist eine echte Antwort:

2. Antwort auf Frage – Einführung

Lassen Sie uns zunächst den Rest der Sprache dieses Beitrags auf das 21. Jahrhundert standardisieren: Eine Menge ist eine Sammlung unterschiedlicher Elemente. Sprechen wir also nicht mehr über „Dinge“ oder „Gruppen“. Und es spielt keine Rolle, ob Sie sind konkret oder abstrakt, real oder imaginär.

Das Ändern der Namen für diese Begriffe führt nicht zu in Ändern Sie auf jeden Fall eines der Probleme, auf die Sie stoßen. Die neuen Wörter beziehen sich genau auf das, was Mr. Fine gesagt hat. Es ist alles eine Frage der Definition, und ich werde alles definieren, während wir Ihnen den Unterschied zeigen führt zu Verwirrung.

3. Wie Sie „Unterscheidbar“ und „Zählen“ betrachten

Erstens haben Sie in gewisser Weise Recht. Nach Ihrem persönlichen Verständnis / Glaubenssystem / Definitionen von „verschieden“, „Sammlung“, „Menge von Dingen“ und „Gruppe“, und wie man mit ihnen umgeht, sind Sie „schlüssig“ ng „das“ du hast recht „. Und weder ich noch irgendein Mathematiker können in diesem Sinne gegen Ihre „Richtigkeit“ argumentieren. Basierend auf Ihren Definitionen und Denkmethoden haben Sie absolut Recht. Aber das ist nur ein Anfang; das löst die Verwirrung nicht.

Lassen Sie uns ein System erfinden / erfinden, in dem Sie „Recht“ haben. (Denken Sie daran, dass wir genauso gut „Gruppen“ und „Dinge“ sagen könnten, aber ich standardisiere auf „Mengen“. und „Elemente“. Die verwendeten Wörter machen keinen Unterschied , solange wir sie definieren.)

Nicht standardmäßige Regeln für die Mengenlehre gemäß Originalplakat

• Eine Menge ist eine Sammlung von Elementen.
• Jedes Element wird durch ein oder mehrere Symbole (alphanumerisch) dargestellt.
• Die Größe der Menge entspricht der Gesamtzahl der Elemente.
• OP „s Definition von Distinct: Jedes Element wird als“ different „betrachtet, wenn es an einer anderen Position erscheint, also {A. , A} enthält zwei unterschiedliche Elemente, da sie sich an unterschiedlichen Positionen befinden (Position eins und Position zwei).

Frage: Wie viele Elemente gibt es in {A, A, A} gemäß der über nicht standardmäßigen Regeln von Ori Hauptplakat? Antwort: 3.

4. Wie die Mathematik-Mengen-Theorie (Mr. Fines Buch) „Unterscheidbar“ und „Zählen“ definiert

Betrachten wir dies nun genauer anhand der mathematischen Standarddefinition.

Standardregeln für die mathematische Mengenlehre

• Eine Menge ist a Sammlung unterschiedlicher Elemente.
• Jedes Element wird durch ein oder mehrere Symbole dargestellt.
• Die Größe einer Menge entspricht der Gesamtzahl der Elemente.
• Set Theory Definition of Distinct: Jedes Element wird als „verschieden“ betrachtet, wenn festgestellt werden kann, dass es sich von allen anderen Elementen unterscheidet. Bei der Darstellung durch Buchstaben und Wörter betrifft die nur die Unterscheidbarkeit, ob Elemente unterschiedliche Namen haben oder nicht. In der schriftlichen Mathematik sind verschiedene Namen unterschiedlich.

Für die Zwecke dieser Antwort ist etwas mit demselben Namen nicht eindeutig – es bezieht sich auf dasselbe. Also ist {A, A} wie zu sagen: {Indien, Indien}. Es bezieht sich nur auf ein Land, nicht auf zwei Länder. Es bezieht sich zweimal auf dasselbe Land. Also, was ist die Zählung? Das eine Land oder die zwei Male, in denen es erwähnt wird? In der Mengenlehre ist es das erstere.

„Aber warum?“ du könntest fragen. In gewisser Weise kann man sich das als völlig willkürlich vorstellen. „Es ist per Definition.“ (Aber es ist aus gutem Grund so; es lässt viele andere Dinge in der Mengenlehre gut funktionieren, aber das geht über diese Diskussion hinaus.) Also muss man es einfach akzeptieren , genau wie „Wir müssen akzeptieren, dass Sie mit Ihrer Definition richtig liegen“.

Frage: Wie viele verschiedene Länder gibt es in {Frankreich, Frankreich, Frankreich, Frankreich, Indien, Indien, Indien, Brasilien, Brasilien}? Antwort: 3, weil sich das Set nur auf drei verschiedene Orte bezieht = {Frankreich, Indien, Brasilien}.

5. Münzen in Ihrer Tasche

Es ist Aus diesem Grund und der Einfachheit halber fügen wir der Mengenlehre einfach eine weitere Regel hinzu:

• In Mengen sind keine Duplikate zulässig.

Warum? Weil a Das Set ist wie eine „Tasche voller Dinge“ (konkret oder abstrakt). Betrachten wir zum Beispiel am Montag vier Münzen in Ihrer linken Tasche. Nehmen wir an, wir wissen nicht, was sie sind. Wir nennen sie also C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Angesichts dieser Idee macht es Es macht keinen Sinn, dies als {C1, C1, C1, C2, C3, C4} zu bezeichnen. Warum dreimal auf die erste Münze verweisen? Es befindet sich bereits in Ihrer Tasche. Es muss nur einmal erwähnt werden. Weisen wir nun den Münzen einige Attribute zu:

• C1 = Typ = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Gewicht = 2,4993399494 g; Bedingung = Minze
• C2 = Typ = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Gewicht = 2,4990044384 g; Zustand = gut
• C3 = Typ = Nickel; FaceValue = 0,05; Datum = 2002; Gewicht = 5.0002292833 g; Zustand = sehr gut
• C4 = Typ = Nickel; FaceValue = 0,05; Datum = 2003; Gewicht = 5,0010022229 g; Zustand = Sehr gut

Jetzt, da wir wissen, dass zwei davon Pennys sind, ist der Satz Münzen in Ihrer Tasche immer noch derselbe:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Jetzt können wir fragen, wie viele verschiedene (unterschiedliche) Münztypen sich in Ihrer Tasche befinden:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Lassen Sie uns am Dienstag die Münzen C2, C3 und C4 in Ihre rechte Tasche schieben. Was haben Sie am Mittwoch in Ihrer Tasche?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Kommentare

• Nach dem Studium des Konzepts von Typ-Token Ich bezweifle die logische Genauigkeit des Buches von Fine ‚. Ich erstelle eine neue Frage im Zusammenhang mit der Fußnote zu “ Gruppe $ {} ^ 1 $ „.
• Nein, bitte warten Sie auf alle ‚ sake …. warten Sie nur ein bisschen. Keine andere Frage, hier geht es nur darum, festgenagelt zu werden. Geben Sie den Antwortenden etwas Zeit, um auf meine Antwort und Ihre Bedenken zu antworten. “ Gruppe “ in Fine ‚ s Buch ist genau die Menge der modernen Mathematik. Sie ‚ gehen ganz auf eine andere Tangente los, wenn Sie dies auf eine andere Frage übertragen.
• “ Gruppe “ in fine ‚ s Buch ist genau nicht das Set in der modernen Mathematik. Diesmal bin ich richtig.
• Ok was ist dein Beweis dafür. Ich habe viel Zeit für diese Antwort aufgewendet, also bleiben Sie bitte ein wenig bei mir, ok?
• Meine persönliche Ansicht ist, dass Fragesteller angesichts des kostenlosen Service eines Antwortenden alle Antworten, die sie beantworten, positiv bewerten sollten Geben Sie einen Wert an, auch wenn ‚ nicht die richtige Antwort ist. ‚ ist eine Art zu sagen: “ Vielen Dank, dass Sie zum Finden der Antwort beigetragen haben. “ Ebenso glaube ich, dass jeder, der eine Frage beantwortet, die Frage positiv bewerten sollte; Sicherlich, wenn sie Zeit damit verbracht haben zu antworten, muss es einen gewissen Wert haben. Sei großzügig mit Stimmen. Sie sind freie, abstrakte Zeichen der Wertschätzung. Lassen Sie andere über engere Verdienste nach oben / unten stimmen. Es ist ‚ Ihre Wahl, aber ich würde ‚ nicht über eine solche Technik abstimmen.

Q1: Da $ A $ und $ A $ nicht verschieden sind, nur $ A $ und $ B $ sind verschieden (es sei denn, Sie sind rabulistisch und unterscheiden „den ersten Tintenklecks, der ein $ A $ bildet“ von „den zweiten Tintenklecks, der ein $ A $ bildet“, aber das macht es unmöglich, zu erwähnen Jeder dieser $ A $ s als der konkrete Buchstabe (Tintenklecks) $ A $, der zur Erwähnung eines bestimmten Buchstabens (Tintenklecks) verwendet wird. $ A $ unterscheidet sich entgegen der Absicht automatisch von diesem Tintenklecks In all diesen Fällen sprechen wir von der „Idee“ von $ A $, dh jede Instanz von „$ A $“ im Text bezieht sich auf dasselbe Objekt, das selbst außerhalb des Textes zu denken ist (um es im ersten zu ermöglichen) Ort, an dem „$ A $“ verwendet wird, um über $ A $ zu sprechen). Nur in diesem Sinne ist $ A = A $ (denn als konkrete Tintenkleckse auf dem Papier haben sie unterschiedliche Positionen, wodurch sie sich unterscheiden) und die beiden $ A $ s in „$ A, B, A $“ fehlt die Unterscheidbarkeit. Ihre Gruppe ist also dieselbe wie die mit den Elementen $ A, B $ (oder $ B, A $, wenn Sie möchten), dh der Zahl ist $ 2 $.

F2: Sie sind immer noch nicht mit Objekten identisch. Z.B. Sie können den ersten und den zweiten in Ihren Schrank legen, während Sie den dritten heiß bügeln. Sie würden es sicher bemerken, wenn Sie tatsächlich das gleiche Hemd wie das, das Sie tragen, heiß bügeln würden. Die Hemden sind nicht durch die Eigenschaft „Farbe“ zu unterscheiden (wie sie vorher bereits durch die Eigenschaft „Größe“ nicht zu unterscheiden waren, nehme ich an), aber sie sind immer noch durch die Eigenschaft „Raumposition“ zu unterscheiden. Interessanterweise haben wir das Problem, dass wir Schwierigkeiten haben, die Hemden von heute mit denen von gestern zu identifizieren. Man muss eine ganze Weile darüber nachdenken, was „verschieden“ (im Gegensatz zu „unterscheidbar“) und „dasselbe“ bedeuten.

F3: Die Unterscheidbarkeit von Elementen (die identische farbige Hemden ermöglichen können) ist wesentlich. da Sie das gleiche Objekt nicht noch einmal zählen möchten (dies würde Sie zu einem reichen Mann machen, der nur eine einzige Münze in der Tasche hat). Ein völlig (?) Anderer Ansatz besteht darin, „Zahl“ als Äquivalenzklasse von Mengen zu definieren (und es scheint, dass Fines „Gruppe“ das ist, was wir heute „Menge“ nennen würden) unter „Äquinumerierbarkeit“ (dh Existenz einer Bijektion) zwischen den Mengen). Auf diese Weise entspricht (oder ist) das Konzept von 2 oder Zwei-ness der Klasse aller Mengen $ X $, so dass es eine Bijektionsform $ X $ für eine bestimmte Menge von (was wir nennen) gibt ) zwei Elemente, wie $ \ {\ Emptyset, \ {\ Emptyset \} \} $. Wenn Sie einen Horror über (richtige) Klassen haben, kann man feststellen, dass jede solche Äquivalenzklasse eine spezielle „einfache“ Menge enthält, eine Ordnungszahl (zumindest im endlichen Fall und im Allgemeinen unter der Annahme des Axioms der Wahl).

Kommentare

• Womit meinen wir? Anzahl der Dinge ? Warum sagen wir in Q1, dass Gruppe G: {A, A, B} 2 Anzahl von Dingen hat, warum nicht 3, wie es sein sollte, weil es 3 Anzahl von Dingen in Gruppe G gibt Sogar die beiden Dinge in Gruppe G sind gleich, aber sie existieren und wir sollten sie zählen Ö. Verwenden wir den Begriff Anzahl der Dinge in der Mathematik anders als im normalen Leben? Das primitive Konzept des Zählens kümmert sich nicht um die Unterscheidung verschiedener Dinge in einer Gruppe, während die Anzahl der Dinge in einer Gruppe berechnet wird. Warum haben wir in der Mathematik diese ungewöhnliche Definition des Begriffs Nr. .
• Sir, ich habe meine Frage so bearbeitet, dass sie direkter ist. Würden Sie zumindest erklären, was wir unter Anzahl der Dinge verstehen?

„Anzahl der Dinge“ im allgemeinen Englisch: Der Begriff allein enthält nicht genügend Informationen, um eine Antwort zu geben.

Das Problem ist der Begriff „Dinge“. Im allgemeinen Englisch würde sich dies auf einige beziehen Die Anordnung ist bereits definiert, z. B. die Anzahl der Elemente in derselben Farbe oder die Anzahl der Eier in einer Schachtel oder die Anzahl der Ziffern „3“ in einer Telefonnummer.

Ohne diese Bedeutung „Nummer“ of things „ist vielfältig – es ist die Anzahl der Objekte in einem Container jeder Art / Größe, klassifiziert nach einer Methode, die Sie sich vorstellen möchten.

Kommentare

• Angenommen, eine Gruppe {A, A, A} ist vorhanden. Ich frage , wie viele Buchstaben sich in dieser Gruppe befinden . Was sollte die Antwort sein?
• Bitte beziehen Sie sich auf Typen und Token
• @MauroALLEGRANZA den Link, den Sie haben gegeben ist ziemlich interessant. Sie scheinen zu implizieren, dass “ Typ “ = “ Abstraktes Objekt “ und “ Token “ = “ Konkrete „. In dem Buch Me.Fine at the outsaet heißt es: “ Wir sagen von bestimmten Dingen , dass sie eine Gruppe bilden “ “ Sache “ = “ Beton “ = “ Token “ habe ich recht?
• @Mauro, Entschuldigung, aber ihr habt es rückwärts. Das Wort “ thing “ leitet die Bedeutung von ‚ nicht von “ Typ / Token-Philosophie „. Die Definition von google.com/search?q=definition+thing enthält “ eine abstrakte Entität oder ein abstraktes Konzept: ‚ Trauer und Depression sind nicht dasselbe ‚. Synonyme: Merkmal, Qualität, Attribut, Eigenschaft, Merkmal, Merkmal, Punkt, Aspekt, Facette, Eigenart …
• @Mauro, auch “ eine endliche Sammlung “ impliziert keine konkreten Dinge. Hier sind einige endliche Sammlungen abstrakter Dinge / Elemente: {1,2,3,4,5}, {Liebe, Krieg, Frieden}. Höchstwahrscheinlich vermied er unendliche Mengen, da sie zu dieser Zeit sehr kontrovers waren: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor‘ s_theory .

Ich empfehle Ihnen, die Definition von Fine mit der folgenden zu vergleichen Diskussion von RL Goodstein, Theorie der rekursiven Zahl (1957) :

Die Frage „Was ist die Natur einer mathematischen Entität?“ ist eine, die Denker seit über zweitausend Jahren interessiert und sich als sehr schwer zu beantworten erwiesen hat. Selbst die erste und wichtigste dieser Entitäten, die natürliche Zahl hat die Eitelkeit eines Irrlichts, wenn wir versuchen, sie zu definieren.

Eine der Ursachen für die Schwierigkeit, zu sagen, was Zahlen sind, ist, dass es nichts gibt, auf das wir hinweisen können in der Welt um uns herum, wenn wir nach einer Definition der Zahl suchen. Die Zahl sieben zum Beispiel, ist keine bestimmte Sammlung von sieben Objekten, denn wenn es so wäre, könnte man nicht sagen, dass keine andere Sammlung sieben Mitglieder hat; Denn wenn wir die Eigenschaft, sieben zu sein, mit der Eigenschaft identifizieren, eine bestimmte Sammlung zu sein, dann ist sieben eine Eigenschaft, die keine andere Sammlung haben kann. Ein vernünftigerer Versuch, die Zahl sieben zu definieren, wäre zu sagen, dass die Eigenschaft, sieben zu sein, die Eigenschaft ist, die alle Sammlungen von sieben Objekten gemeinsam haben. Die Schwierigkeit bei dieser Definition besteht jedoch darin, genau zu sagen, was alle Sammlungen von sieben Objekten wirklich gemeinsam haben (selbst wenn wir so tun, als könnten wir jemals alle Sammlungen von sieben Objekten kennenlernen). Sicherlich ist die Nummer einer Sammlung keine Eigenschaft davon in dem Sinne, dass die Farbe einer Tür eine Eigenschaft der Tür ist, denn wir können die Farbe einer Tür ändern, aber wir können die Nummer einer Sammlung nicht ändern, ohne die Sammlung zu ändern selbst. Es ist durchaus sinnvoll zu sagen, dass eine Tür, die früher rot war und jetzt grün ist, dieselbe Tür ist, aber es ist Unsinn, von einer Sammlung von sieben Perlen zu sagen, dass es dieselbe Sammlung ist wie eine Sammlung von acht Perlen. Wenn die Nummer einer Sammlung eine Eigenschaft einer Sammlung ist, ist sie eine definierende Eigenschaft der Sammlung, ein wesentliches Merkmal.

Dies bringt uns jedoch einer Antwort auf unsere Frage „Was haben alle Sammlungen von sieben Objekten gemeinsam?“ nicht näher. Ein guter Weg, um mit einer solchen Frage Fortschritte zu erzielen, besteht darin, sich zu fragen: „Woher wissen wir, dass eine Sammlung sieben Mitglieder hat?“ denn die Antwort auf diese Frage sollte sicherlich etwas ans Licht bringen, das Sammlungen von sieben Objekten gemeinsam haben. Eine offensichtliche Antwort ist, dass wir die Nummer einer Sammlung durch Zählen der Sammlung herausfinden, aber diese Antwort scheint uns nicht zu helfen, da wir beim Zählen einer Sammlung anscheinend nur jedes Mitglied der Sammlung mit „beschriften“ eine Zahl. (Stellen Sie sich eine Reihe nummerierter Soldaten vor.) Es gibt eindeutig keine Definition der Nummer, um zu sagen, dass die Nummer eine Eigenschaft einer Sammlung ist, die durch Zuweisen von Nummern zu den Mitgliedern der Sammlung gefunden wird.

Um jedes Mitglied einer Sammlung mit einer Nummer zu kennzeichnen, wie wir es beim Zählen zu tun scheinen, müssen Sie eine Korrespondenz zwischen den Mitgliedern zweier Sammlungen, den zu zählenden Objekten und den natürlichen Zahlen herstellen . Beim Zählen von beispielsweise einer Sammlung von sieben Objekten stellen wir eine Entsprechung zwischen den gezählten Objekten und den Zahlen von eins bis sieben her. Jedem Objekt wird eine eindeutige Nummer zugewiesen, und jede Nummer (von eins bis sieben) wird einem Objekt der Sammlung zugewiesen. Wenn wir sagen, dass zwei Sammlungen ähnlich sind, wenn jede eine eindeutige Zuordnung in der anderen hat, kann das Zählen einer Sammlung eine Sammlung von Zahlen bestimmen, die der gezählten Sammlung ähnlich sind.

Die Schwäche der Definition liegt in diesem Begriff der Korrespondenz. Woher wissen wir, wann zwei Elemente übereinstimmen?Die Tassen und Untertassen in einer Sammlung von Tassen, die in ihren Untertassen stehen, haben eine offensichtliche Entsprechung, aber wie ist die Entsprechung beispielsweise zwischen den Planeten und den Musen? Es hat keinen Sinn zu sagen, dass wir, selbst wenn es keine Patentkorrespondenz zwischen den Planeten und den Musen gibt, leicht eine herstellen können, denn woher wissen wir das und, was noch wichtiger ist, welche Art von Korrespondenz erlauben wir? Bei der Definition von Zahlen in Bezug auf Ähnlichkeit haben wir lediglich das schwer fassbare Konzept der Zahl durch das ebenso schwer fassbare Konzept der Korrespondenz ersetzt.

Einige Mathematiker haben versucht, sich der Schwierigkeit zu entziehen, Zahlen zu definieren, indem sie Zahlen mit Zahlen identifizierten. Die Nummer eins wird mit der Ziffer 1 identifiziert, die Nummer zwei mit der Ziffer 11, die Nummer drei mit 111 und so weiter. Dieser Versuch schlägt jedoch fehl, sobald man erkennt, dass die Eigenschaften von Zahlen nicht die Eigenschaften von Zahlen sind. Ziffern können blau oder rot, gedruckt oder handgeschrieben, verloren und gefunden sein, aber es macht keinen Sinn, diese Eigenschaften Zahlen zuzuweisen, und umgekehrt können Zahlen gerade oder ungerade, Primzahlen oder zusammengesetzte Zahlen sein, aber dies sind keine Eigenschaften von Ziffern.

Der Gegensatz von „Zahl“ und „Zahl“ ist in der Sprache üblich, und seine vielleicht bekannteste Instanz findet sich in den beiden Begriffen „Satz“ und „Satz“. Der Satz ist eine physikalische Darstellung des Satzes, kann jedoch nicht mit dem Satz identifiziert werden, da verschiedene Sätze (z. B. in verschiedenen Sprachen) denselben Satz ausdrücken können. [siehe Typen und Token ]

Das Schachspiel bietet, wie oft beobachtet wurde, eine hervorragende Parallele zur Mathematik (oder auch zur Sprache selbst). Den Zahlen entsprechen die Schachfiguren und den Rechenoperationen die Züge des Spiels.

Hier finden wir endlich die Antwort auf das Problem der Natur der Zahlen. Wir sehen zunächst, dass wir zum Verständnis der Bedeutung von Zahlen auf das „Spiel“ schauen müssen, das Zahlen spielen, das heißt auf die Arithmetik. Die Zahlen eins, zwei, drei usw. sind Zeichen im Arithmetikspiel. Die Teile, die diese Zeichen spielen, sind die Ziffern, und was ein Zeichen zur Ziffer einer bestimmten Zahl macht, ist die Rolle, die es spielt, oder als Wir können in einer Form von Wörtern sagen, die besser zum Kontext passen. Was ein Zeichen ausmacht, das Zeichen einer bestimmten Zahl, sind die Transformationsregeln des Zeichens. Daraus folgt, dass das Objekt unserer Studie NICHT SELBST NUMMER, sondern DIE TRANSFORMATIONSREGELN DER NUMMERZEICHEN ist. p>

Interseting, aber umstritten …

Vor mehr als 60 Jahren kritisierte Frege diese Ansicht bereits; siehe Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik (1893), neue englische Übersetzung von Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, Seite xiii:

[es gibt eine] weit verbreitete Tendenz, nur das zu akzeptieren, was als solche wahrgenommen werden kann. […] Nun sind die Objekte der Arithmetik, die Zahlen, nicht wahrnehmbar; Wie kann man damit umgehen? Sehr einfach! Deklarieren Sie die Zahlenzeichen als Zahlen. […] Gelegentlich scheinen die Zahlenzeichen wie Schachfiguren und die sogenannten Definitionen wie Spielregeln zu sein. In diesem Fall bezeichnet das Zeichen nichts, sondern ist das Ding selbst. Ein kleines Detail wird dabei natürlich übersehen; nämlich, dass ein Gedanke durch „3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2“ ausgedrückt wird, während eine Konfiguration von Schachfiguren nichts sagt.

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• Ich erinnere mich an die Aufregung, die ich empfand, als ich die Einführung von Goodstein ‚ zum ersten Mal las. Er ‚ ist kein Frege, aber es ist ‚ großartig, eine klare Aussage über eine Ansicht zu erhalten, so dass man es kann, wenn man nicht einverstanden ist Sagen Sie genau mit was.

Um die Definition von Anzahl der Dinge „, die sich deutlich von der “ modernen “ satztheoretischer Ansatz, ich denke, kann nützlich sein, um ihn auf die philosophische Tradition des britischen Emprizismus des 19. Jahrhunderts zu verweisen.

Insbesondere der Philosoph John Stuart Mill widmete einen Teil seiner Arbeit Ein System von Logik, Ratiozinativ und Induktiv (1843) der Diskussion der Grundlagen der Arithmetik.

Hier einige Passagen, die – wie ich hoffe – die Definition von Fine verdeutlichen können:

Drei Kieselsteine in zwei getrennten Paketen und Drei Kieselsteine in einem Paket machen nicht den gleichen Eindruck auf unsere Sinne – und die Behauptung, dass dieselben Kieselsteine durch eine Änderung des Ortes und der Anordnung hergestellt werden können, um entweder den einen oder den anderen Satz von Empfindungen zu erzeugen, wenn auch einen sehr Der vertraute Satz ist nicht identisch. […]

Die grundlegenden Wahrheiten dieser Wissenschaft [der Wissenschaft der Zahlen] beruhen alle auf dem Beweis des Sinnes – sie werden bewiesen, indem sie unseren Augen gezeigt werden und unsere Finger, die eine beliebige Anzahl von Objekten, beispielsweise zehn Kugeln, durch Trennung und Umlagerung für unsere Sinne alle verschiedenen Sätze von Zahlen aufweisen können, deren Summe gleich zehn ist. ( CW VII, 256-57)

Wenn wir also sagen, dass der Würfel von 12 1782 ist, bestätigen wir Folgendes: Wenn wir eine ausreichende Anzahl von Kieselsteinen oder anderen Objekten haben, setzen wir sie zusammen th die bestimmte Art von Paketen oder Aggregaten, die als Zwölf bezeichnet werden; und diese selbst zu ähnlichen Sammlungen zusammenstellen – und schließlich zwölf dieser größten Parzellen bilden: das so gebildete Aggregat wird so sein, wie wir es 1728 nennen; nämlich das, was (um die bekannteste seiner Bildungsweisen zu nehmen) durch Verbinden des Pakets hergestellt werden kann, das als tausend Kiesel bezeichnet wird, das Paket, das siebenhundert Kiesel genannt wird, das Paket, das zwanzig Kiesel genannt wird, und das Paket, das acht Kiesel genannt wird. ( CW VII: 611-12)

Mills naturalistischer Ansatz zu den Grundlagen von Die Arithmetik basiert auf den “ grundlegenden “ Prozessen des Verbindens und Trennens, die “ aggregiert “ von physischen Objekten.

Die empiristische Sichtweise von Mill wurde von Gottlob Frege scharf kritisiert in seiner grundlegenden Die Grundlagen der Arithmetik ( Die Grundlagen der Arithmetik ) (1884).

Für eine Darstellung von Mills Philosophie der Mathematik siehe Philip Kitcher, Mill, Mathematik und die naturalistische Tradition , in John Skorupski (Herausgeber), The Cambridge Companion to Mill (1998), Seite 57-on.

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• Sir, vielen Dank für diese weitere sehr nützliche Antwort . Es wird einige Zeit dauern, bis ich so viele verwandte Texte gelesen habe (ich schaue mir gerade die Bücher an, die Sie und andere bereits erwähnt haben). Gibt es ein endgültiges Buch, das sich vollständig der Geschichte der Arithmetik widmet? Ein Buch, das Dinge aus der Geschichte erklären und schließlich erklären kann, wie sich die moderne Arithmetik etabliert hat. Ein Buch, das alle verwandten Dinge erklären würde, d. H. Wer, wie, wann, warum der Arithmetik. In einem Monat werde ich zwei sehr philosophische (und technische) Fragen zur Arithmetik stellen, soll ich Sie anpingen.
• Über die Geschichte der “ modernen “ Philosophie der Arithmetik , ab Kant (aber JSMill wird nicht diskutiert) können Sie Michael Potter sehen, Grund ‚ s Nearest Kin: Philosophien der Arithmetik von Kant bis Carnap (2002).

In dem Buch unterscheidet sich die „Anzahl der Dinge“ effektiv von ihrer Darstellung. Angenommen, Sie haben Gäste, die Sie zu einer Party einladen möchten. Wie viele Gäste laden Sie ein?

Wenn Sie 5 Freunde einladen, nennen wir sie John, Fred, Mary, Jill und Barney. Es gibt 5 Gastfreunde. Dinge, die Sie zur Party einladen.

Aber was ist, wenn die Party ein Maskenball ist und sie alle verkleidet sind? John ist als Geist verkleidet, Fred als Kobold, Mary als Hexe, Jill als Kürbis und Barney als Dinosaurier. Nur weil sie jetzt Geister, Kobolde, Hexen, Kürbisse und Dinosaurier sind, ändert dies nichts an der Anzahl der Gast-Freund-Dinge, die Sie zur Party eingeladen haben. Ihre Eigenschaften haben sich geändert – sie sehen nicht mehr wie Ihre Freunde aus, sie sehen aus wie ihre Verkleidungen.

Was ist, wenn die 5 von ihnen alle als ununterscheidbare Geister verkleidet sind? Bedeutet das, dass wir sagen, dass nur ein Geist zu Ihrer Gruppe gekommen ist? Nein, weil sie immer noch durch ihren Raum unterschieden werden können Ort, Ankunftszeit, Größe, Gewicht, Blattfarbe usw.

Was wäre, wenn sie genau das gleiche Kostüm trugen und Sie nie mehr als eines gleichzeitig sahen – so dass es keine definierenden Merkmale gab, die eines trennten Freund von einem anderen. Sie sind sich vielleicht nicht sicher, wie viele Gast-Freund-Dinge Sie auf Ihrer Party hatten. Diese Transformation hat die Unterscheidbarkeit zerstört, die sie zuvor getrennt hat, daher ist sie keine gültige Transformation für die Aufzählung der Anzahl der Dinge.

Die Idee der „Anzahl der Dinge“ in Bezug auf Ihre Einladungen ist spezifisch die Eigenschaft der Gruppe, sodass Änderungen (erneutes Aktivieren, Umnummerieren, Neuordnen, aber NICHT Duplizieren, Eliminieren) vorgenommen werden oder das Zählen von Teilmengen), die die Unterscheidbarkeit der Elemente bewahren, behält diese Eigenschaft bei. Es geht nicht darum, ob der Wert dieser Immobilie 1, 5 oder eine Million Milliarden beträgt oder nicht, sondern nur darum, dass die „Anzahl der Dinge“ ein endlicher Wert ist, der diese Eigenschaft behält.

In Bezug auf Im Klartext ist die Anzahl der Dinge nur … die Anzahl der interessanten Elemente. Einfacher geht es nicht, und weil es ein so einfaches Konzept ist, ist es sehr schwierig, eine genaue Definition zu schreiben, die keine Probleme mit möglichen umgangssprachlichen Ausdrücken verursacht.

Diese Frage (und viele der Antworten) übersehen den Zweck der mathematischen Theorie, Axiome als etwas Gegebenes zu behandeln. Wir gehen davon aus Wir haben eine Vorstellung von (zum Beispiel) Unterscheidbarkeit und untersuchen dann die Konsequenzen dieser Vorstellung.

Mit anderen Worten, es ist unmöglich, die Frage zu stellen: „Wie viele Elemente sind in der Menge $ \ { A, A, B \} $? „, Ohne zuvor Axiome über $ A $ und $ B $ anzugeben. Gemäß der mathematischen Standardsyntax sollten wir diese Frage wirklich erst stellen, nachdem wir $ \ {A, A“, B neu beschriftet haben \} $, um Verwirrung zu vermeiden, aber dies ist eine Frage der Kommunikation und der Praktikabilität, kein Dogma und sicherlich keine Wahrheit über Mengen.

Mathematik ist nach den Worten von Roberto Unger eine „visionäre Erforschung“eines Simulacrums der Welt „. Wenn Sie mit der Vision eines anderen nicht einverstanden sind, ist das vollkommen in Ordnung. Wenn Sie jedoch glauben, ein Problem mit der Mathematik selbst zu haben, besteht die Möglichkeit, dass Sie durch den Missbrauch der Sprache Ihre eigenen Widersprüche erzeugen. Wenn Sie sich darüber im Klaren sind, welche Eigenschaften Ihr Begriff der Unterscheidbarkeit haben soll, dann gilt Mengenlehre , es ist nur eine Frage, wie. Es schreibt keine bestimmte Form der Unterscheidbarkeit vor, sondern untersucht die Gemeinsamkeiten zwischen allen Formen der Unterscheidbarkeit.

Es scheint dass die Antwort auf Ihre Frage stark mit dem verknüpft ist, was „eine Sache“ ist. Sie wissen vielleicht, dass eine abstrakte Frage in der Physik im Kontext der Quantenfeldtheorie und der Grundlagen der Quantenmechanik wiederholt gestellt wurde (siehe beispielsweise Paul Teller und Chris Isham). Eine der Schlussfolgerungen ist, dass das Konzept einer Sache als eine Essenz, an der Eigenschaften „haften“, abzulehnen ist. Dies beschreibt Teller als das Problem mit dem „markierten Tensorprodukt Hilbert-Raumformalismus“, da es mit den tatsächlich beobachteten physikalischen Verhaltensweisen nicht kompatibel ist. Wenn Sie also eine universelle Definition von „Anzahl der Dinge“ wünschen, können Sie diese Überlegungen nicht vermeiden, was eine Sache ist und welche Unterscheidbarkeit aus physikalischer Sicht besteht (es sei denn, Sie möchten eine Definition, die für ein Universum gilt, das dies ist ist nicht unsere eigene).

Um Ihnen ein Beispiel zu geben, nehmen wir an, Sie haben ein Photon in Ihrer rechten und eines in Ihrer linken Hand. Sie können sie unterscheiden, indem Sie sich darauf beziehen, in welcher Hand sie sich befinden. Die „Anzahl der Möglichkeiten, sie in Ihre Tasche zu stecken“ beträgt also 2 (zuerst die in Ihrer linken Hand, dann die in Ihrer rechten Hand oder umgekehrt). . Sobald sie jedoch in der Tasche sind, sind sie physisch nicht mehr zu unterscheiden und „die Anzahl der Möglichkeiten, sie herauszunehmen“ ist 1 (heraus kommt einer, dann der andere).

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• In den Photonen in einem Taschenbeispiel, das Sie geben, scheint mir das ‚ re zwei Photonen zu sein. Ihre Identität (links / rechts) geht verloren (einer, der weiß, welcher ist, der erste, der andere zweite). Es gibt ‚ noch zwei davon, auch wenn Sie ‚ ein paar Informationen verloren haben. Die Daten, die verloren gehen, stammen von der “ in der linken / rechten “ -Eigenschaft, die nicht ta Eigenschaft von Photonen im Allgemeinen. Sie scheinen zu sagen, dass alle Eigenschaften auf ähnliche Weise entbehrlich sind, aber ich kann ‚ nicht herausfinden, wenn Sie sagen, dass dies ein unüberwindbares Problem für eine universelle Definition von ‚ Anzahl der Dinge ‚ „. Oder ist das Zeug trotzdem zählbar?
• Oh ja, es sind immer 2 Photonen da. Ich ‚ spreche über die Konsequenz des Identitätsverlusts für unsere Zählfähigkeit, und dies ist eine Konsequenz der Natur von ‚ einer Sache ‚ wie ein Photon. Das gegenteilige Verhalten tritt bei Fermionen auf, die immer unterscheidbar sein müssen, und dies verhindert, dass Sie zu viele an derselben Stelle stopfen (was das Pauli-Ausschlussprinzip ist).Das Zählen von Dingen durch (wie im Beispiel) Zählen der Möglichkeiten, wie Sie sie neu anordnen können, funktioniert also nicht immer ‚. Ich ‚ weiß nicht, ob dies ein unüberwindbares Problem ist, aber eine universelle Definition kann es sicherlich nicht ignorieren.