Wenn 1 + 1! = 2, dann 1 – 1! = 0, was bedeutet, dass die Ladung auf den Protonen in einem Kern die nicht mehr aufhebt Ladung auf den Elektronen. Somit erhalten alle Atome eine elektrische Nettoladung und alle makroskopischen Körper werden mit einer unglaublichen Kraft – 36 Größenordnungen stärker als die Schwerkraft – voneinander angezogen (oder abgestoßen). Dies würde das gesamte Universum in relativ kurzer Zeit zu einem subatomaren Zellstoff zerdrücken …

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• Sicher, aber dann würde es auch mache das nicht.
• Totale protonische Umkehrung? Das Überqueren der Streams ist schlecht, Ray.
• Dies ist tatsächlich die einzige Antwort, die ich ' hier gelesen habe und die eine Theorie zum was würde passieren " Teil der Frage. Bravo, Oscar.
• " Wenn 1 + 1! = 2, dann 1 – 1! = 0 " Ich ' verstehe es nicht. Wie wird diese Schlussfolgerung gezogen?
• @CPHPython Dies kann passieren, wenn 1 + 1 = 2 falsch ist ( und wenn die elektrische Ladung den Regeln von + entspricht ). Wenn es jedoch ' widerlegt ist, bedeutet dies nur, dass die Art und Weise, wie wir Widerlegungen vornehmen, fehlerhaft ist.

Was passieren würde, ist konzeptionell sehr einfach. Das Papier, das „¬1 + 1 = 2“ beweist, wird mit „ Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre inkonsistent “ versehen und veröffentlicht.

Von dort wird es schwieriger. Abhängig davon, wie der Beweis funktioniert, sollten wir einen neuen, schwächeren Satz erhalten, der zur Wiederherstellung der Konsistenz führt. Oder etwas Schlimmeres; Die Peano-Axiome könnten ungültig sein, was zur Folge hat, dass ich es ehrlich gesagt nicht weiß. Einige Operationen, an die wir gewöhnt sind, gehen weg, aber sie haben gewonnen „t be Addition. Integer Addition kann im endlichen Bereich nicht widerlegt werden (danke Wissenschaft!), so dass etwas anderes auf dem Weg zum Counterproof weggeworfen wird. Vielleicht ist der Umgang mit Unendlichkeit in jeder Mathematik falsch. Vielleicht etwas anderes. Es tut mir leid, wenn das nach Spekulation klingt. Die Spekulation ist tatsächlich in Frage. Es hängt irgendwie davon ab, wie groß ein Loch ist, das Sie schlagen möchten.

Auf der praktischen Seite wissen wir bereits, was passiert 1 + 1 = 2 gilt weiterhin für alle vernünftigen Domänen und Anwendungsfälle, sodass wir sie weiterhin verwenden. Nach einer Weile wird der Fehlermodus verstanden und sorgfältig (oder nicht so sorgfältig) ausgeschlossen, wie wir es in der Informatik für tun Überlauf jetzt.

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• " Die Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie ist inkonsistent " – oder ein noch besserer Titel, wenn der Beweis ' nicht alle ZF-Axiome erfordert.
• Pudlak vermutet, dass wenn a In den Peano-Axiomen wurde ein Widerspruch festgestellt. Wir würden das Induktionsaxiom auf " kleine " Formeln beschränken, um eine Definition von klein zu erhalten würde wahrscheinlich die Konsistenz wiederherstellen.
• Und diese Art von passiert bereits einmal mit Russels Paradox ' bearbeitet. (Außer ich ' weiß nicht, dass die Mengenlehre von Cantor ' zu dieser Zeit allgemein als gute Grundlage für die gesamte Mathematik angesehen wurde, wie ZF [C] ist jetzt.)

1 + 1 = 2 ist eine notwendige Wahrheit — ungefähr eine Aussage, die in jeder möglichen Welt wahr ist. Ihre Frage lautet daher nach wahren kontrafaktischen Bedingungen mit unmöglichen Voraussetzungen. Diese werden manchmal als counterpossibles bezeichnet (z. B. Abschnitt 5.1 hier ).

Früher war dies die traditionelle Ansicht Alle diese Gegenmöglichkeiten sind trivial wahr. Nach dieser Ansicht wäre „wenn eins plus eins nicht zwei wäre, dann q “ für beliebiges q wahr. In jüngerer Zeit haben mehrere Philosophen argumentiert, dass ein Sinn für Wissenschaft und alltägliches Denken eine Semantik für Gegenmotive erfordert, die ihre Wahrheit nicht trivial beinhaltet. Siehe Verweise auf diese Debatte im letzten oben verlinkten SEP-Eintrag.

Seien Sie auf jeden Fall versichert, eins plus eins entspricht notwendigerweise zwei.

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• " in jeder möglichen Welt ". Das ist umstritten. Es kann eine Welt geben, die wir ' nicht verstehen und uns nicht einmal vorstellen können, da es sich um ' logische Gesetze handelt (und arithmetisch, wenn sie überhaupt dort existieren) sind völlig anders.
• @ rus9384 Der Konsens unter den Theoretikern, die an diesem Thema arbeiten, ist, dass logische Wahrheiten notwendig sind. Unter der Annahme, dass das OP nicht daran interessiert ist, die Wahrheit der Peano-Axiome in Frage zu stellen, ist 1 + 1 = 2, das sich aus diesen Axiomen ergibt, notwendig. In der möglichen Welt, die aus der Notwendigkeit besteht, bedeutet notwendig zu sein, in jeder möglichen Welt wahr zu sein. Da wir, wie Sie sagen, manchmal über unmögliche Sachverhalte nachdenken müssen, arbeiten einige Theorien mit einem Begriff der unmöglichen Welt für genau diesen Zweck.
• Also, diese Welt ist unmöglich, weil wir ' nicht daran denken können? Blinde können ' nicht sehen, aber das ' ist nicht das Problem. Es gibt Farben, die andere Tiere wahrnehmen und die wir ' nicht wahrnehmen (es sei denn, die Technologie wird viel weiter voranschreiten). Es ist nur so, dass unser Sinn für Logik die Wahrnehmung anderer logischer Systeme nicht zulässt. Und wir können ' nicht sicher sein, ob Peano-Axiome wirklich in unserer Welt funktionieren. Sogar 1 + 1 = 2 kann auf Quantenebene angefochten werden.
• Nun, lassen Sie ' Folgendes sagen: Möglichkeit ist ein nützlicher Begriff, da nicht jeder Brunnen Der im Indikativ formulierte Satz repräsentiert einen möglichen Sachverhalt. Nehmen Sie einen Satz, der eines dieser nicht möglichen Dinge ausdrückt. Wie sollen wir über sie argumentieren? Einige sagen: Indem sie zusätzliche Welten postulieren, in denen pro Unmöglichkeit solche Dinge wahr sind.
• @ rus9384 Ich ' denke nicht an 1+ 1 = 2 kann auf jeder Ebene bestritten werden. Was Sie bestreiten könnten, ist, dass die Peano-Axiome die Welt auf Quantenebene gut modellieren. Dies bedeutet jedoch nicht, dass ' 1 + 1 = 2 angesichts der Peano-Axiome nicht wahr ist.

Der Beweis muss in einem formalen System erbracht worden sein, sonst ist er weniger ein Beweis als ein überzeugendes Argument. Wir haben also einen Beweis in einem System der Aussage 1 + 1! = 2.

Philosophen im Bereich Logik und Mathematiker würden sich die Details dieses Beweises genau ansehen. Da alle formalen Systeme, an denen jeder interessiert ist, das Gegenteil dieser Aussage beweisen, Der Nachweis dieser Aussage zeigt auch, dass jedes verwendete System inkonsistent ist. Daher konnte dieses System nicht mehr für ernsthafte Arbeiten verwendet werden. Daher hätten Logiker etwas extrem Wichtiges über dieses bestimmte logische System gelernt, und sie Ich möchte wissen, welche anderen Systeme dieselbe Technik als inkonsistent erweisen wird.

Das Universum könnte nicht „ins Chaos gestürzt“ werden, wenn man nicht an irgendeine Art von (wage ich es zu glauben) glaubt y it: magisch?) Effekt, durch den die Bewegung von Sternen in der Andromeda-Galaxie maßgeblich davon beeinflusst wird, welche Markierungen Sie auf einem Blatt Papier auf der Erde vornehmen. Ich nehme an, ein Solipsist könnte glauben, dass das Universum nur durch seinen persönlichen Glauben an logische Konsistenz gestützt wird und dass das Universum daher durch das Lesen dieses Beweises grundlegend verändert würde. Die meisten Menschen haben genug Vertrauen in die Existenz einer äußeren Realität, um nicht zu glauben, dass das Universum ein Interesse daran hat, was Menschen beweisen oder nicht.

Ich erwarte, dass Philosophen nicht an Logik und formalen Beweisen interessiert sind Systeme würden das Ergebnis meistens ignorieren, zumindest bis die Logiker ihnen genau erklärten, unter welchen Bedingungen sie (die Nicht-Logiker) tatsächlich dasselbe fehlerhafte System verwenden, das 1 + 1! = 2 beweist, und daher welche Argumentation sie benötigen die Verwendung zu beenden.

Natürlich hängt es auch in gewissem Maße davon ab, was Sie damit meinen, dass Sie 1 + 1 = 2 widerlegen. Man könnte sich eher einen „physischen Beweis“ als einen formalen logischen vorstellen. Wenn Sie meinen, dass jemand bewiesen hat, dass er eine Orange in eine leere Schüssel und dann eine andere Orange in dieselbe Schüssel geben kann und keine anderen Orangen hinzugefügt oder entfernt wurden und dass die Schüssel jetzt eine andere Anzahl von Orangen als enthält 2, man könnte sagen, sie haben 1 + 1 bewiesen! = 2. Aber jeder erwartet, dass tatsächlich eine Art bisher unbekannter physischer Prozess mit Orangen involviert ist. Während Sie also etwas entdeckt haben, das unsere Vorstellungen von der Natur der Realität wirklich verändert, liegt dies nicht daran, dass die „grundlegendste Gleichung“ logisch falsch ist, sondern daran, dass Orangen (oder physische Objekte) im Allgemeinen) anscheinend nicht mehr der Arithmetik gehorchen, und daher ist die Gleichung für sie nicht mehr anwendbar. Dies wäre natürlich äußerst beunruhigend, da die Menschen ständig darauf angewiesen sind, Dinge zählen zu können, und daher könnte die menschliche Gesellschaft ins Chaos geraten.

Für die Diskussion ist möglicherweise Inkonsistente Mathematik :

Es handelt sich um das Studium alltäglicher mathematischer Objekte wie Mengen, Zahlen und Funktionen, wobei Einige [ Hervorhebung hinzugefügt ] Widersprüche sind zulässig.

Und siehe Die Diskussion über Arithmetik :

Eine inkonsistente Arithmetik kann als Alternative oder Variante angesehen werden in der Standardtheorie wie eine nichteuklidische Geometrie.

Die Standardaxiome der Arithmetik sind Peanos, und ihre Konsequenzen – die Standardtheorie der Arithmetik – heißen PA Das Standardmodell der Arithmetik ist N = {0, 1, 2, …} , zero und seine Nachfolger.

Die konsistenten Nicht-Standardmodelle sind alle ex Spannungen des Standardmodells, Modelle mit zusätzlichen Objekten. Inkonsistente Arithmetikmodelle sind das natürliche Dual, wobei das Standardmodell selbst eine Erweiterung einer grundlegenderen Struktur darstellt, die auch alle richtigen Sätze wahr macht.

Inkonsistente Arithmetik wurde erstmals 1970 von Robert Meyer untersucht „s. Dort nahm er die parakonsistente Logik R und fügte Axiome hinzu, die Nachfolger, Addition, Multiplikation und Induktion regeln, was dem System R # gab.

1975 bewies Meyer, dass seine Arithemtik nicht trivial ist. weil R # Modelle hat. Insbesondere hat R # endliche Modelle mit einer Zwei-Elemente-Domäne {0, 1} , mit Die Nachfolgerfunktion bewegt sich in einem sehr engen Kreis über die Elemente.

Solche Modelle machen alle Sätze von R # wahr, behalten jedoch Gleichungen wie 0 = 1 bei nur falsch.

Also was? Vielleicht können wir bis zu einem (begrenzten?) überleben. Ausmaß der Inkonsistenz .

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Aber bedenken Sie dies h-Experiment, basierend auf einem intuitiven Beispiel, abgeleitet von Graham Priest Analyse der allgemeinen Struktur von Modellen inkonsistenter Arithmetik:

Stellen Sie sich das Standardmodell der Arithmetik bis zu einem inkonsistenten Element vor.

n = n + 1 .

Dieses n wird als sehr vermutet , sehr große Anzahl [ Hervorhebung hinzugefügt ], " ohne physische Realität oder psychologische Bedeutung. " Je nach Geschmack ist dies die größte endliche oder die am wenigsten inkonsistente Zahl. Wir stellen uns ferner vor, dass wir für j, k > n j = k .

Wenn im klassischen Modell j ≠ k , dann ist dies auch wahr; daher haben wir eine Inkonsistenz, j = k und j ≠ k . Alle Tatsachen, die für Zahlen größer als n zutreffen, gelten für n auch, da nach n alle Zahlen mit n .

Es gehen keine Fakten aus dem konsistenten Modell verloren.

Betrachten Sie nun den Fall, dass n sehr sehr groß ist, aber nicht " ohne psychologische Bedeutung " und stellen Sie sich vor, Ihr Bankkonto addiert sich zu einem Betrag von n USD (oder GBP oder was auch immer).

Ab diesem Moment wächst das Bankkonto nicht mehr, ohne dass eine " Störung " in den üblichen Gesetzen der Arithmetik.

Dürfen wir es als einen Fall von " Das Universum wird ins Chaos gestürzt. " ?

er Satz von Gödel besagt grob, dass jedes ausreichend nützliche mathematische System entweder unvollständig oder widersprüchlich ist, dh es gibt Aussagen, die nicht bewiesen oder widerlegt werden können, oder es gibt Aussagen, die sowohl als wahr als auch als falsch bewiesen werden können.

Es gibt viele Aussagen, die wir nicht als wahr oder falsch beweisen konnten (aber das könnte daran liegen, dass wir nicht klug genug waren), und es wurde kein Widerspruch bewiesen (aber das könnte auch daran liegen, dass wir waren nicht klug genug), so dass es nicht unvorstellbar ist, dass „1 + 1 ≠ 2“ bewiesen werden kann. 1 + 1 = 2 wäre dann gleichzeitig wahr und falsch.

Was würde passieren?Unter Mathematikern würde viel fluchen. Es wird viel darüber diskutiert, wie wir diese Tatsache ignorieren und nützliche Mathematik erhalten können. Das Universum würde sich nicht ändern.

In Anbetracht der Frage: „1 + 1 = 2“ kann und wird niemals widerlegt werden (was bedeutet, dass der Beweis, der nicht viel mehr als die einfache Anwendung von Axiomen ist, bewiesen ist falsch sein). Was aus der Ferne möglich ist, ist, dass es neben dem Beweis, dass es wahr ist, auch einen Beweis geben kann, dass es falsch ist.

Mathematik und / oder Naturwissenschaften würden sich verbessern.

Mathematiker suchen und verwenden Muster, um neue Vermutungen zu formulieren; sie lösen die Wahrheit oder Falschheit von Vermutungen durch mathematische Beweise auf ( aus Wikipedia ). Wir könnten argumentieren, dass 1 + 1 = 2 aus der Definition stammt, nicht aus dem Beweis, dass die Frage streitig oder schlecht geformt ist. Aber Ihre Frage ist im weiteren Sinne immer noch gültig. Ein mathematischer Beweis kann falsch sein. Es ist bereits geschehen. Diese Mathoverflow-Frage ist voller historischer Beweise und Beschwörungen, die nicht korrekt sind. Wenn ein solcher Fehler entdeckt wird, nein etwas, was das Universum erschüttert, passiert. Wir hören einfach auf, falsch zu liegen und werden richtig, wir haben unsere Kenntnisse der Mathematik verbessert.

Nehmen wir also an, wir arbeiten mit Axiomen, die nicht 1 + 1 = 2 enthalten. Und dass wir durch mathematisches Denken zu 1 + 1 = 2 gelangen und einen mathematischen Beweis dafür erstellen. Und sagen wir mal, um der Argumentation willen entdecken wir später, dass ein solcher Beweis falsch ist, tatsächlich 1 + 1 = 3. Nein, das würde das Universum nicht ins Chaos stürzen. Das Universum war das, was es war, bevor die Menschen dazu kamen das Konzept von 1 + 1 = 2 (oder so, ich nehme an, ich war nicht wirklich da, um es zu beobachten, aber wir haben viele gute Beweise, die uns helfen zu wissen, wie es war). Und jedes Mal, wenn sich ein mathematischer Beweis als falsch erwiesen hat, hat das Universum nicht ins Chaos geworfen. Was sich geändert hat, war unser Verständnis von Mathematik. Es ist vernünftig anzunehmen, dass es für 1 + 1 = 3 dasselbe wäre.

Es gibt eine Sache, die ins Chaos geworfen würde. Mathematiker Jetzt, da wir wissen, dass 1 + 1 = 2 falsch ist, ist jeder Beweis, der davon abhängt, fehlerhaft. Fehlerhaft, nicht genau falsch. Die Aussagen, die durch Beweise bestätigt werden, die von 1 + 1 = 2 abhängen, mögen immer noch wahr sein, aber die alten Beweise würde nicht dazu dienen, diese Wahrheit zu stabilisieren. Viel Material müsste überarbeitet und neu geschrieben werden, es würde viel Diskussion folgen. Aber wir würden klüger aus dem herauskommen im Chaos.

Was ist mit wissenschaftlichen Theorien, die von 1 + 1 = 2 abhängen?. Wie in eine andere Antwort auf diese Frage beschrieben. Nein, dies würde nicht das gesamte Universum in relativ kurzer Zeit zu einem subatomaren Zellstoff zerdrücken. Das Universum war das, was es war, bevor wir 1 + 1 = 3 entdeckten, und würde es auch weiterhin sein (ich nehme an, da dies für andere widerlegte Beweise geschehen ist). Da wir herausgefunden hätten, dass die alten wissenschaftlichen Theorien das Universum nicht richtig erklären, würden bessere Modelle entwickelt.

If solche elementaren Dinge werden in Zweifel gezogen, so dass a fortiori viel weniger elementare Dinge sind, wie die Schritte des Denkens, die erforderlich sind, um zu beweisen, dass eins und eins nicht zu zwei addieren. Es wäre daher vernünftig, an einem solchen Beweis zu zweifeln. Tatsächlich würde ich den Beweis ignorieren – zusammen mit dem Dutzend anderer unglaublicher Behauptungen, denen ich jeden Tag begegne – wie (ich vermute) die meisten anderen Menschen.

Infolgedessen würde ich den Beweis erwarten haben ebenso viel Einfluss auf die Welt wie eine neue Demonstration der euklidischen Winkeltrisektion (wie sie schon oft eingereicht wurde). Das heißt, es würde vorübergehend die relativ wenigen Leute beschäftigen, die es sich angesehen haben.

Kurze Antwort: Ja. Wenn Sie beweisen könnten, dass eine solche elementare und scheinbar offensichtliche Aussage falsch ist, dann würde dies viel von dem in Frage stellen, was wir über Mathematik zu wissen glauben, und wahrscheinlich viele andere Dinge über das Universum.

Na und? Sofern Sie keine Beweise dafür haben, dass diese Aussage falsch ist, ist sie „sinnlos hypothetisch. In der Tat habe ich viele Gespräche geführt, in denen mir jemand eine Hypothese über ein komplexes Thema vorgelegt hat, wie“ Was wäre, wenn bewiesen wäre, dass diese politische Politik dass Sie unterstützen, funktioniert nicht? „oder“ Was ist, wenn Gott Ihnen befohlen hat, etwas Böses zu tun? „usw. Und meine Antwort lautet im Allgemeinen:“ Ich glaube nicht, dass die von Ihnen beschriebene hypothetische Situation wahrscheinlich eintreten wird. Was ist, wenn jemand bewiesen hat, dass 1 + 1 = 2 falsch ist? „

Im engeren mathematischen Sinne sehe ich nicht, wie Sie 1 + 1 = 2 falsch beweisen können, weil es per Definition wahr ist Die Definition von „2“ ist „1 + 1“. Zumindest wurde mir dies im Unterricht in Zahlentheorie beigebracht. Angesichts der Komplexität der modernen Mathematik gibt es wahrscheinlich andere Definitionen in anderen Zweigen. Aber Sie können nicht beweisen, dass eine Definition falsch ist. Sie ist wahr durch … Definition.

Der Realität würde nichts passieren – sie würde so bleiben, wie sie ist. Wir würden dann jedoch eine Änderung unserer Zähltheorie benötigen, die sich in anderen mathematischen Theorien niederschlägt, die auf dem Zählen aufbauen. Da diese Gleichung der Arithmetik effektiv eine Definition von zwei ist (siehe z. B. den Aufbau der Arithmetik in mathematischen Axiomensystemen), würde ein Beweis, dass diese Gleichung falsch ist, bedeuten, dass wir eins und eins nicht gültig addieren können ( oder genauer gesagt, jedes Axiomensystem, mit dem wir eins und eins hinzufügen können, ist logisch inkonsistent. Dazu müssten wir alternative Axiomensysteme der Mathematik formulieren, die die Inkonsistenz vermeiden. Die Realität tuckerte wie gewohnt weiter, während wir versuchten, das herauszufinden.

Sie können ein Axiom nicht widerlegen und Peanos Axiome besagen, dass 1 + 1 = 2 ist.

Kontextumschaltung bedeutet in boolescher Logik + etwas anderes und 1 + 1 = 1.

Kommentare

• Ich ' bin mir ziemlich sicher, dass ' s zirkuläre Logik. Sie haben im Wesentlichen gesagt, dass ' ein Axiom ist, weil es ' in einer Liste von Axiomen steht.
• @ Ruadhan2300 Die Peano-Axiome sind die üblichen Axiome der Logik. Sie mögen es als dogmatisch betrachten, aber es ist so trivial wie " Jede Zahl hat einen Nachfolger. "
• Nicht zu leugnen, dass die Peano-Axiome definitiv eine sehr glaubwürdige Quelle sind, aber " es ' ist wahr, weil es ' s wahr " ist immer noch ein seltsames Argument.