Bei einem Satelliten in einer äquatorialen Umlaufbahn wird an einem beliebigen Punkt innerhalb der Umlaufbahn eine bestimmte progressive oder retrograde Verbrennung ausgeführt, und ich muss das resultierende Orbital berechnen Ellipse.
Die Technik, die ich verwende, besteht darin, zuerst die Positions- und Geschwindigkeitsvektoren des Satelliten zu verwenden, um den Flugbahnwinkel wie folgt zu ermitteln:
$ \ varphi = cos ^ {- 1} (\ frac {r_pv_p} {r_bv_b}) $
Wobei $ r_p $ und $ v_p $ sind die Positions- und Geschwindigkeitsvektoren an der Periapsis der ursprünglichen Umlaufbahn und $ r_b $ und $ v_b $ sind die Positions- und Geschwindigkeitsvektoren am Brennpunkt und $ v_b = v_ {orig } + \ Delta v $ .
Dann berechne ich die Exzentrizität der resultierenden Ellipse wie folgt:
$ e = \ sqrt {(\ frac {r_bv ^ 2 _b} {GM} -1) ^ 2 \ cos ^ 2 (\ varphi) + sin ^ 2 (\ varphi)} $
From Aufgrund der Exzentrizität kann ich die Semi-Major-Achse trivial berechnen.
Was ich nicht berechnen kann, ist das Argument der Periapsis, $ \ omega $ der resultierenden elliptischen Umlaufbahn. Ich erkenne, dass es eine Funktion der $ \ omega $ der ursprünglichen Umlaufbahn und der Winkelposition der Verbrennung ist, aber ich stecke fest, wenn ich die richtige finde Berechnung. Kennt jemand eine Formel, um sie zu finden?
Kommentare
- Eine Option, die funktionieren sollte, aber ich habe ' hat es nicht versucht, ist in kartesische Koordinaten und zurück zu konvertieren.
Antwort
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Das Argument der Periapsis ist eine Funktion des Exzentrizitätsvektors und des mittleren Bewegungsvektors einer Umlaufbahn und wird basierend auf der Formel berechnet:
$$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {e}} {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {e} |} $$ subject Wenn $$ e_ {Z} < 1, impliziert \ omega = 360 ^ {o} – \ omega $$
wobei die mittleren Bewegungs- und Exzentrizitätsvektoren wie folgt definiert sind: $$ n = \ sqrt \ frac {\ mu} {a ^ 3}, \ boldsymbol { e} = \ frac {(v ^ 2- \ frac {\ mu} {r}) \ boldsymbol {r} – (\ boldsymbol {r} \ cdot \ boldsymbol {v}) \ boldsymbol {v}} {\ mu } $$
Da unser Bestimmer der Kosinus des Arguments der Periapsis ist, bestimmt das Vorzeichen des Z-Vektors oder des dritten Vektors des ECI-Rahmens, wo er liegt.
Sie nehmen also diese Vektoren in den Trägheitsrahmen des Zentralkörpers, verwenden ihr Punktprodukt und normalisieren sie dann durch das Produkt ihrer Größen.
Es gibt drei spe Sonderfälle, abhängig von der Neigung und Exzentrizität der Umlaufbahn. Wenn die Umlaufbahn äquatorial, aber elliptisch ist, $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {e_X} {| \ boldsymbol {e} |} $$
Wenn es kreisförmig, aber geneigt ist, dann $$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {r} } {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {r} |} $$
Und wenn es kreisförmig und äquatorial ist, dann $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {r_X} {| \ boldsymbol {r} |} $$
Dies sind Standardkonvertierungen, wenn Sie Radius- und Geschwindigkeitszustände transformieren zu klassischen Orbitalelementen und kann in den meisten astrodynamischen Büchern / Referenzen gefunden werden.